Vecteurs et droites. u = 0 et on dit que

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1 Vecteurs et droites ) Rappels sur les vecteurs Généralités Définitions : ) Un vecteur u ou B est défini par : une direction (la droite (B)) un sens (de vers B) une longueur : la norme du vecteur u ou B = B ) Lorsque = B, on pose = u = 0 et on dit que u est le vecteur nul Egalité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs sont égaux lorsqu ils sont nuls tous les deux, ou lorsqu ils ont même sens, même direction et même longueur Si, B, C et D ne sont pas alignés, B = CD signifie que BDC est un parallélogramme Remarque : Les vecteurs B et B sont opposés et on a : B = B Somme de deux vecteurs La somme de deux vecteurs est définie par la relation de Chasles : B + BC = C Construction de la somme de deux vecteurs de même origine On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d appliquer la relation de Chasles nnée ère S

2 B) Colinéarité de deux vecteurs Multiplication d un vecteur par un nombre Définition : Soit k un réel, le vecteur k u est tel que : sa longueur est multipliée par k si k > 0 son sens est inchangé si k < 0 son sens est inversé si k = 0 on a : 0 u = 0 Propriété : Bilinéarité La multiplication par un nombre est distributive par rapport à : l addition de deux vecteurs : k ( u + v ) = k u + k v k + k' u = k u + k' u la somme de deux réels : ( ) Condition de colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires Il existe un réel k tel que v = k u Remarque : le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur car : 0 = 0 u Condition de parallélisme et d alignement Propriétés : La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l alignement B et CD colinéaires (B) // (CD) B et C colinéaires, B et sont C alignés Exemple : BC un triangle et E, I et F trois points tels que : E = BC ; CI = CB et F = C CI = CB donc BI = BC = E D où EIB est un parallélogramme et EI = B EF = E + F = CB + C = ( C + CB ) = B Exercice n : Donc EF = EI, on en déduite que EF = EI sont colinéaires D où les points E, F et I sont alignés Soit BCD un parallélogramme I et J sont les points tels que D = I et J = B K est le point tel que IKJ soit un parallélogramme Faire une figure puis démontrer que, K et C sont alignés nnée ère S

3 4 Coordonnées et colinéarité Rappels : formules de nde Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé (en raison de l application du théorème de Pythagore qui nécessite un triangle rectangle), les formules suivantes sont valables dans tout repère Soit deux points ( ) y ) Les coordonnées du vecteur B sont : x ; et B ( B y B ) B ( x x ; y y ) B B x ; ) La distance entre les points et B est : B = ( ) ( ) x B + yb y x x + xb y + yb ) Les coordonnées du milieu I de [B] sont : I ; Propriété : Condition de colinéarité Deux vecteurs x ; y et x ' ; y' sont colinéaires si et seulement si : xy ' x' y = 0 u ( ) v ( ) Remarque : L égalité précédente peut parfois être écrite sous la forme suivante : xy '= x' y Exemples : ) On considère les points ( ; 4) et B ( 5 ; ) dans le repère (O ; i ; j ) a) Calculer les coordonnées de B et la longueur B 5 ; 4 donc 6 ; B ( ) B ( ) B = ( 6) + ( ) = = 40 = 0 b) Calculer les coordonnées du milieu I de [B] + ( 5) 4 + I ; donc I ( ; ) ) Les vecteurs B ( ; ) et CD ( ; 4) sont-ils colinéaires? Que peut-on en déduire? x r y r x r y r = 4 = 8 9 = 0 donc B et CD ne sont pas colinéaires B CD CD B On en déduit que les droites (B) et (CD) sont sécantes ) Soit BCD est un parallélogramme et M, N, P et Q sont quatre points tels que : 4 DM = D ; 5 N = B ; 4 BP = BC et 5 CQ = CD Montrons que (MQ) // (NP) (On travaillera dans le repère ( ; B ; D )) Les coordonnées de M, N et Q sont: M 0 ; ; N ; 0 ; P ; et Q ; Donc MQ ; et NP ; d où x r y r x r y r = = 0 MN NP MN NP MQ et NP sont colinéaires donc les droites (MQ) et (NP) sont parallèles ère S nnée 05 06

4 Exercice n : On considère les points ( ; 5), B ( ; ) et C ( 4 ; ) ) Les points, B et C sont-ils alignés? ) Calculer les coordonnées du point D tel que BCD soit un parallélogramme ) Déterminer le réel k pour que les vecteurs ; 7 et k ; 5 soient colinéaires Exercice n : u ( ) On considère les points ( ; 5), B ( ; ), C ( ; ) E est un point tel que : E = 4B ) Calculer les coordonnées du point E ) Démontrer que les points C, D et E sont alignés Exercice n 4 : BCD est un parallélogramme F est le point tel que F = B et E le point tel que DE = ) Montrer que : EF = B D ) Décomposer le vecteur BD avec les vecteurs B et D ) Démontrer que (EF) et (BD) sont parallèles Théorème : Soit u et v deux vecteurs non colinéaires Pour tout vecteur v ( ) 5 et D ; D w il existe un unique couple de réels ( b) Le couple ( a ; b) est appelé couple de coordonnées du vecteur w dans la base ( u ; v ) a ; tel que : w = a u + b v Exercice n 5 :, B et C sont trois points non alignés On considère le repère ( ; B ; C ) ) Construire les points N et P tels que : N = B + C et BP = CB 5 ) Donner les coordonnées des points, B, C et N dans le repère ( ; B ; C ) ) Exprimer le vecteur P en fonction des vecteurs B et C 4) En déduire les coordonnées du point P dans le repère ( ; B ; C ) 5) Montrer que les points, P et N sont alignés nnée ère S

5 C) Vecteur directeur et équation de droite Equation réduite d une droite Définition : Equation réduite Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées a une unique équation réduite de la forme y = mx + p et le vecteur ; m est un vecteur directeur de cette droite d ( ) Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme x = a et le vecteur 0 ; est un vecteur directeur de cette droite d ( ) Vecteur directeur d une droite Définition : On appelle vecteur directeur d'une droite D, tout vecteur u non nul colinéaire au vecteur B où et B sont deux points distincts de D On dit alors que le vecteur u dirige la droite D Remarque : Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs : ils sont tous colinéaires Exemple : La droite d d'équation y = x + admet les vecteurs suivants pour vecteur directeurs : u ( ; ) ; u ( ; ) ; u ( ; 0) 5 ; u 4 ( ; ) nnée ère S

6 Exemple : Soit D la droite passant par et de vecteur directeur u ( ; ) Equations cartésiennes d une droite Définition : Equations cartésiennes Toute droite peut être déterminée par une équation de la forme ax + by + c = 0 où a, b et c sont des réels tels que a 0 ou b 0 qui est une équation cartésienne de la droite Réciproquement une équation du type ax + by + c = 0 définie une droite de vecteur directeur b ; a nnée d ( ) Propriété : Soit D la droite passant par et de vecteur directeur u M D M et u sont colinéaires Remarques : Une droite a une infinité d équations cartésiennes mais une seule équation réduite Il est très simple de passer de l une à l autre Toutes les droites ont des équations cartésiennes mais elles n admettent pas toutes une équation réduite Exemple : Soit d la droite définie par les point ( ; ) et un vecteur directeur u ( ; ) Déterminons une équation cartésienne de la droite d Soit M ( x ; y) d alors les vecteurs M ( x ; y ) et u ( ; ) sont colinéaires Donc : x r yr xr y r = ( x ) ( y ) ( ) = 0 M u u M D où, en développant, une équation cartésienne de d : x + y 8 = 0 On peut aussi obtenir l équation réduite de d : y = 0,5x + 4 Exercice n 6 : Donner une équation cartésienne de la droite d passant par le point et dont u est un vecteur directeur ou passant par et B dans chacun des cas suivants : ) ( ; 5) et u ( ; ) ) ( ; 5) et B ( ; ) ) ( 4 ; ) et u ( 0 ; ) ; 4 ; 0 4) ( ) et B ( ) ère S

7 Exercice n 7 : On considère les points ( 4 ; ), B ( ; ) et C ( ; ) ) Donner une équation cartésienne de droite (B) ) En déduire l équation réduite de (B) ) Le point C appartient-il à la droite (B)? Exercice n 8 : Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de chacune des droites suivantes : ) ( d ) qui a pour équation : x = 7 ) ( d ) qui a pour équation : 4 x y 6 = 0 d qui a pour équation : y = ) ( ) Exercice n 9 : On considère la droite ( d ) d'équation : x + y 7 = 0 ) Donner les coordonnées de deux points de la droite ( d ) ) Donner l'ordonnée d'un vecteur directeur de la droite ( d ) d'abscisse ) Donner l'abscisse d'un vecteur directeur de la droite ( d ) d'ordonnée 4) Le vecteur de coordonnées ; est-il un vecteur directeur de la droite ( d )? Exercice n 0 : ) Déterminer, graphiquement, l équation réduite puis donner une équation cartésienne pour chacune des droites d, d, d et d 4 représentées ci-dessous ) Déterminer les coordonnées des points d intersection de d et d puis d 4 et d Exercice n : 4 ; nnée ( ), B ( ; 5) et C ( ; ) sont trois points ) Donner une équation cartésienne de la droite ( d ) parallèle à (B) et passant par C ) Donner une équation cartésienne de la médiane issue de dans BC ère S

8 Exercice n : BC est un triangle Le point D est le symétrique du point par rapport au point B E et F sont les points définis par : BE = BC + C et BF = C ) Exprimer le vecteur EF en fonction du vecteur CB ) Exprimer le vecteur FD en fonction du vecteur CB ) Que peut-on en déduire pour les points E, F et D? Exercice n : Le repère utilisé dans cet exercice est orthonormé On considère les points : ( ; 4), B ( 6 ; 5) et C ( ; ) ) Démontrer que le triangle BC est isocèle en ) Calculer les coordonnées du milieu I du segment [BC] ) En déduire une équation cartésienne de la médiatrice du segment [BC] Exercice n 4 : TRI est un triangle et N sont les milieux respectifs des segments [TI] et [R] E est le point défini par IE = IT G est le symétrique du point R par rapport au point I L est le milieu du segment [GE] ) Construire une figure ) Exprimer le vecteur IN en fonction des vecteurs I et IR ) Exprimer le vecteur IL en fonction des vecteurs IE et IG 4) En déduire l'expression du vecteur IL en fonction des vecteurs I et IR 5) Que peut-on conclure pour les points N, I, L? Exercice n 5 :, B et C sont trois points non alignés Les points D et E sont définis par : D = BC et CE = 4 ) Exprimer le vecteur DE en fonction du vecteur C ) Que peut-on en déduire pour les droites (C) et (DE)? 4 B Exercice n 6 : Soit m un réel et soit d m les droites d'équations : m x ( m ) y = 0 d passe-t-elle par le point ( ; ) u ( ; 4) ) Pour quelles valeurs de m, la droite m? ) Existe-t-il des valeurs de m, pour lesquelles le vecteur est un vecteur directeur de la droite d m? ) La droite d m peut-elle être parallèle à la droite d d'équation : 5 x y + 4 = 0? nnée ère S

9 Exercice n 7 : Dans la figure ci-dessous, les quadrilatère BDC et EGF sont des parallélogrammes et les subdivisions des côtés [E] et [F] sont régulières Dans cet exercice, on travaillera dans le repère ( ; B ; C ) nnée ) Donner, par lecture graphique, les coordonnées des points :, B, C, D, E, F et G ) En déduire les équations cartésiennes des droites (BF) et (CE) ) On note H le point d intersection de (BF) et (CE) Déterminer les coordonnées de H 8 9 4) Dans cette question on pourra supposer que H a pour coordonnées ; a) Montrer que les vecteurs GH et GD sont colinéaires b) Que peut-on en déduire pour les droites (BF), (CE) et (GD)? Justifier Exercice n 8 : Soit BCD un parallélogramme non aplati On note E le symétrique de C par rapport à D Le point K est défini par : K = B et L est le centre de gravité du triangle CE On désire prouver l'alignement des points K, L et C de trois manières différentes ) Justifier que L = D ) ère Méthode : a) Exprimer le vecteur C fonction des vecteurs B et D b) En déduire que KC = B + D c) Montrer que KL = B + D d) Conclure en remarquant que B + D = ( B + D ) ) ème Méthode : a) Déterminer dans le repère (, B, D ) les coordonnées des points C, L et K b) En déduire les coordonnées des vecteurs KC et KL c) Conclure 4) ème Méthode : On travaille cette fois encore dans le repère (, B, D ) et on suppose les coordonnées précédentes des points C, L et K connues Donner une équation de la droite (CK) et conclure à l aide de cette équation ère S

10 Exercice n 9 : On considère l algorithme suivant rédigé en langage naturel : Entrée Traitement a un réel b un réel c un réel d un réel tel que b d d b ffecter à m la valeur c a ffecter à p la valeur b m a Sortie fficher m et p ) Quelle est la signification du résultat affiché par cet algorithme? ) Taper le programme correspondant sur votre calculatrice Exercice n 0 : On donne trois carrés BGH, BCFG et CDEF I est le milieu de [G] J est le point d'intersection de (E) et (BG) ) Exprimer I en fonction de B et H ) En déduire que : CI = B + H ) Justifier que BJ = DE 4) En déduire que : CJ = B + H 5) En déduire que les points C, I et J sont alignés nnée ère S