DIPLÔME NATIONAL DU BREVET MATHÉMATIQUES

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1 Collège Georges Brassens PERSAN Mai 2010 DIPLÔME NATIONAL DU BREVET MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures L emploi de la calculatrice est autorisé. Barème : Activités numériques : Activités géométriques : Problème : Expression écrite et présentation : 13 points 11 points 12 points 4 points ACTIVITES NUMERIQUES 13 points Exercice 1 : (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Compléter le tableau prévu à cet effet dans l annexe (à rendre avec la copie sans oublier de réécrire le numéro de candidat). On répondra par A, B ou C. N Questions A B C est égal à (7xx 4) 2 = 49xx 2 56xx xx xx² + 56xx = On tire une carte au hasard parmi les 8 cartes ci-contre. 4 Quelle est la probabilité de «Tirer un 9 de pique»? 1 chance 1 chance sur 8 aucune chance 5 Quelle est la probabilité de «Tirer un carreau»? ,4 6 Quelle est la probabilité de «Tirer un nombre pair»?

2 Pour les questions suivantes, on considère une série de 99 valeurs rangées dans l ordre croissant. La moyenne est de 895, la médiane est de 520, le 1 er quartile est 450 et le 3 ème quartile est Le 1 er quartile est la 24 ème donnée 24,75 ème donnée 25 ème donnée 8 La 75 ème donnée est : L étendue de cette série est : 10 50% des données sont environ Exercice 2 : (3 points) On ne peut pas savoir. Inférieures ou égales à Inférieures ou égales à 520 égales à 520. Une balade d une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes. Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50. Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50. 1) Ecrire un système d équations traduisant les données du problème. 2) Résoudre ce système afin de trouver le prix d un ticket pour un adulte et le prix d un ticket pour un enfant. Exercice 3 : (5 points) Une classe de 3 ème souhaite participer à un concours régional de mathématiques. Le professeur souhaite faire une sélection des candidats, il organise pour cela une évaluation. Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par la classe M. Ledix. Effectifs Notes 1) Compléter le tableau de l annexe. 2) Combien d élèves y-a-t-il dans cette classe? 3) Calculer la moyenne des notes obtenues dans la classe de M. Ledix. 4) Déterminer la note médiane de cette série de notes. Puis, en donner une phrase d interprétation. 5) Déterminer les 1 er et 3 ème quartiles de cette série statistique. 6) Calculer l étendue de cette série statistique.

3 ACTIVITES GEOMETRIQUES 11 points Exercice 1 : (10 points) Un équipage, participant à une régate, décide de refaire les voiles de son trois mâts. Dans tout l exercice, l unité de longueur est le mètre. Le dessin n est pas à l échelle. Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. 1. La petite voile est représentée par le triangle EFG, rectangle en E avec EG = 4,5 et FG = 7,5. a. Montrer que EF = 6. b. Calculer la mesure, arrondie au degré, de l angle EEEEEE. 2. La voile moyenne est représentée par le triangle DEC rectangle en C avec EC = 7,5. a. A l aide des configurations géométriques codées sur la figure, démontrer que les droites (DC) et (EF) sont parallèles. b. Sachant que les point G, F et D sont alignés, calculer la longueur DC. 3. Pour la grande voile, représentée par le triangle BAC, l équipage a déjà les mesures qui sont : AB = 24 ; BC = 7 et AC = 25. Le triangle BAC est-il rectangle? Si oui, vous préciserez en quel sommet. Exercice 2 : (1 point) Sur l annexe, construire un triangle IJK rectangle en I tel que tan IIIIII = 3 5 On s aidera de la formule de la tangente afin d obtenir une construction exacte.. Justifier cette construction. PROBLEME 12 points L altitude est la hauteur (en m) d un lieu ou d un objet par rapport au niveau de la mer. M. Amalice a gagné un baptême en montgolfière. Le lieu de rendez-vous pour le décollage est Persan (point A), ville située à 40 mètres d altitude ; le vol est prévu pour une durée d un peu moins de 30 minutes et l atterrissage aura lieu à Vétheuil (point C), charmante petite ville du Val d Oise, dans le Vexin. La trajectoire d une montgolfière se décompose en deux parties : une phase ascendante (de A vers B) et une phase descendante (de B vers C). On dit que la montgolfière décrit une trajectoire parabolique. Sur le repère de l annexe, est représentée l altitude (en mètres) de la montgolfière en fonction du temps t (en minutes).

4 PARTIE 1 : Dans cette partie, vous laisserez apparents les traits utiles à la lecture, sur le repère de l annexe et vous rédigerez vos réponses sur votre copie. 1) a) A quelle altitude se situe la ville de Vétheuil? b) Quelle est la durée totale du vol de M. Amalice? 2) Déterminer graphiquement la durée nécessaire à la montgolfière pour atteindre, lors de la phase ascendante, une altitude de 180 m. 3) Par lecture graphique, déterminer l altitude atteinte par la montgolfière 4 min après le décollage. 4) a) Quelle est l altitude maximale atteinte par la montgolfière? b) Au bout de combien de temps cette altitude est-elle atteinte? PARTIE 2 : Dans cette deuxième partie, on appelle f la fonction représentant l altitude de la montgolfière en fonction du temps t, définie par : ff(tt) = tt tt ) Calculer ff(4). Retrouver le résultat de la question 3) de la partie 1. Faire une phrase utilisant le mot image. 2) a) Calculer les antécédents de 40 par la fonction f. (On pensera pour cela à se ramener à une équation produit nul.) b) Au bout de combien de temps de vol M. Amalice retrouve-t-il son altitude départ? PARTIE 3 : Au moment même où M. Amalice commence son voyage à Persan, un pigeon voyageur prend son envol à Beaumont, situé à 60 m d altitude, en direction de Vétheuil. Dans cette dernière partie, on considère alors la fonction g définie par gg(tt) = 3tt + 60 représentant l altitude du pigeon en fonction du temps. 1) a) Calculer gg(7). Faire une phrase utilisant le mot image. b) Que cela signifie-t-il pour le pigeon? Rédiger une phrase. 2) a) Déterminer, par calcul, la valeur de t pour laquelle gg(tt) = 135. b) Que cela signifie-t-il pour le pigeon? Rédiger une phrase. 3) Compléter le tableau de valeurs sur l annexe. 4) Sur le même graphique que celui de la fonction f de l annexe, tracer la courbe représentative de la fonction g. Indication : c est une droite. 5) Résoudre graphiquement l équation ff(tt) = gg(tt). Laisser apparents les traits utiles à la lecture. Que cela signifie-t-il pour cette situation? 6) Retrouver, par le calcul, le résultat de la question précédente. Indication : on pourra admettre et utiliser l égalité tt² + 21tt 20 = (1 tt)(tt 20)

5 Numéro de candidat : ANNEXE A rendre avec la copie ACTIVITES NUMERIQUES Exercice 1 : Réponse est égal à 2 (7xx 4) 2 = = 4 Quelle est la probabilité de «Tirer un 9 de pique»? 5 Quelle est la probabilité de«tirer du carreau»? 6 Quelle est la probabilité de «Tirer un nombre pair»? 7 Le 1 er quartile est. 8 La 75 ème donnée est : 9 L étendue de cette série est : 10 50% des données sont environ Exercice 3 : Notes obtenues Effectifs 5 Effectifs cumulés croissants ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 2 :

6 PROBLÈME Représentation graphique de la fonction f Altitude (en mètres) 190 B A C Temps t (en minutes) PROBLÈME Partie 3 Question 4) Tableau de valeurs pour la fonction g : Temps (en min) Altitude du pigeon (en m)

7 ACTIVITES NUMERIQUES CORRECTION BREVET BLANC N 2 Exercice 1 : N Questions Réponse est égal à B (7xx 4) 2 = A = C 4 5 Quelle est la probabilité de «Tirer un 9 de pique»? Quelle est la probabilité de «Tirer du carreau»? 6 Quelle est la probabilité de «Tirer un nombre pair»? C 7 Le 1 er quartile est la C 8 La 75 ème donnée est : C 9 L étendue de cette série est : A 10 50% des données sont environ B Exercice 2 : 1) On appelle x : le prix d un ticket pour un adulte et y : le prix d un ticket pour un enfant. 8xx + 3yy = 39,50 Ce problème revient alors à résoudre le système d équations suivant : 7xx + 9yy = 50,50 2) Résolution du système par combinaison : B A 1 ère étape : éliminer une inconnue (par exemple y) : 8xx + 3yy = 39,50 7xx + 9yy = 50,50 ( 3) On est amené alors à résoudre le système suivant : 24xx + ( 9yy) = 118,50 (1) 7xx + 9yy = 50,50 (2) En additionnant (1) et (2), on se ramène à une seule équation à 1 inconnue : 24xx + 7xx + ( 9yy) + 9yy = 118, ,50 17xx = 68 xx = = 44 2 ème étape : Calcul de y : on remplace la valeur de x dans (1) : yy = 39, yy = 39,50 3yy = 39, yy = 7,50 yy = 7,50 = 22, 5555 donc le couple 3 (4 ; 2,50) est solution du système. CONCLUSION : le prix d un ticket pour un adulte est de 4 euros et pour un enfant, il est de 2,50 euros. Exercice 3 : 1) Q 1 Note Médiane Q 3 Notes obtenues Effectifs croissants Effectifs cumulés

8 2) Dans cette classe, il y a 24 élèves ( = 24) 3) Moyenne des notes obtenues = La moyenne des notes obtenues lors de cette évaluation est de = = ) Pour déterminer la note médiane de cette série de notes, on répartit les 24 notes en deux séries de même effectif, soit 12 notes chacune (24 = ), alors, les notes étant rangées dans l ordre croissant, une note médiane est n importe quelle valeur située entre la 12 ème et la 13 ème note soit entre 8 et 8. Par lecture sur le tableau, on trouve : note médiane = 8 OU La médiane de cette série étant la valeur du caractère à partir de laquelle l effectif cumulé devient supérieur ou égal à la moitié de l effectif total. Calcul de la moitié de l effectif total : 2222 = Dans la ligne des effectifs cumulés croissants, la 1 ère valeur supérieure à 12 est : 13. On lit alors la valeur du caractère correspondant, on trouve : 8. La note médiane est donc 8. Phrase d interprétation : Il y autant de notes inférieures ou égales à 8 que de notes supérieures ou égales à 8 ou 50% des notes obtenues lors de cette évaluation sont inférieures ou égales à 8, et 50% des notes sont supérieures ou égales à 8. 5) Calcul du 1 er quartile : = 6 Donc, le 1 er quartile se situe en 6 ème position ; on trouve : Q 1 = 6 Calcul du 3 ème quartile : = 18 Donc, le 3 ème quartile se situe en 18 ème position ; on trouve : Q 3 = 14 6) Etendue des notes = note la plus élevée note la plus basse = 17 5 = 12 ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 1 : 1. a. Dans le triangle EFG rectangle en E, on a, d après le théorème de Pythagore : FG² = EF² + EG² 7,5² = EF² + 4,5² 56,25 = EF² + 20,25 EF² = 56,25 20,25 EF² = 36 EF = 36 = 6m. b. On sait que : le triangle EFG est rectangle en E [EF] est le côté opposé à l angle EEEEEE. [FG] est l hypoténuse. Or, Donc sin EEEEEE = ccôtté oooooooooo é à ll aaaaaaaaaa EEEEEE sin EEEEEE = EEEE FFFF hyyyyyyyy énnnnnnnn soit en remplaçant par les valeurs numériques : sin EEEEEE = 6 = 0,8 7,5 Alors EEEEEE = sin 1 (0,8) 5555 (arrondi au degré)

9 1. a. On sait que : (DC) (BG) et (EF) (BG) Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Donc : (DC) // (EF) b. On sait que : dans le triangle CDG, F [DG] E [CG] (DC) // (EF) alors, d après le théorème de Thalès, on a : GGGG GGGG = GGGG GGGG = EEEE DDDD soit, en remplaçant par les valeurs numériques : 7,5 = 4,5 = 6 GGGG 12 DDDD (en effet, GC = EG + EC car E [CG] GC = 4,5 + 7,5 = 12m) en conservant les deux rapports suivants: 4,5 = 6 12 DDDD en effectuant un produit en croix, on obtient : DDDD = ,5 DDDD = On sait que, dans le triangle ABC, [AC] est le plus long côté. (Donc si le triangle est rectangle, il le sera en B) Je calcule d une part : d autre part : AC ² = 25² = 625 On constate que AC² = AB² + BC² AB² + BC² = 24² + 7² = = 625 Donc, le triangle ABC est rectangle en B, d après la réciproque du théorème de Pythagore. Exercice 2 : D après la définition de la tangente d un angle aigu : tan IIIIII = ccôtté oooooooooo é à ll aaaaaaaaaa IIIIII ccôtté aaaaaaaaaaaaaaaa à ll aaaaaaaaaa IIIIII Or, [IK] est le côté opposé à l angle IIIIII et [IJ] est le côté adjacent à l angle IIIIII, on a alors tan IIIIII = IIII (= 3 ) IIII 5 Donc, il suffit de construire un triangle IJK rectangle en I avec IK = 3 cm et IJ = 5 cm. 3 cm Construction 5 cm

10 PROBLEME Partie 1 : 1) a) La ville de Vétheuil se situe à 15 mètres d altitude. b) La ballade en montgolfière dure 25 minutes. 2) Lors de sa phase ascendante, la montgolfière atteint une altitude de 180 mètres au bout de 10 minutes. 3) 4 minutes après le décollage, la montgolfière a atteint une altitude de 120 mètres. 4) a) et b) L altitude maximale atteinte par la montgolfière est de 184 mètres au bout de 12 minutes de vol. Partie 2 : 1) ff(4) = 4² ff(4) = ff(44) = L image de 4 par la fonction f est 120. Au bout de 4 minutes de vol, M. Amalice a bien atteint une altitude de 120 mètres. 2) a) On doit résoudre ff(tt) = 40 tt² + 24tt + 40 = 40 t² + 24t = 0 tt² + 24tt = 0 soit, en factorisant : tt( tt + 24) = 0 équation produit nul Or, si un produit de plusieurs facteurs est nul, alors l un au-moins des facteurs est nul On est donc amené à résoudre : tt = 0 et tt + 24 = 0 tt = 24 CONCLUSION : Les antécédents de 40 par la fonction f sont : tt = 00 et tt = b) M. Amalice retrouve donc son altitude de départ (40m) au bout de 24 minutes de vol. Partie 3 : 1) a) gg(tt) = 3tt + 60 gg(7) = gg(7) = gg(77) = 8888 L image de 7 par la fonction g est 81. b) Au bout de 7 minutes de vol, le pigeon a atteint une altitude 81 mètres. 2) a) et b) On doit résoudre gg(tt) = 135 soit 3tt + 60 = 135 3tt = tt = 75 tt = 75 = L oiseau a atteint une altitude de 135 mètres au bout de 25 minutes 3

11 3) Tableau de valeurs : temps (en min) Altitude du pigeon(en m) ) Voir graphique ci-dessous. 5) Les solutions graphiques de l équation ff(tt) = gg(tt) sont les instants t correspondant aux points d intersection de la courbe et de la droite. Graphiquement, on lit : tt = 11 et tt = 2222 Cela signifie que le pigeon et la montgolfière sont à la même altitude au bout d 1 minute de vol, mais également au bout de 20 minutes de vol. 6) On doit résoudre par le calcul : ff(tt) = gg(tt) tt² + 24tt + 40 = 3tt + 60 tt² + 24tt tt 60 = 0 tt² + 21tt 20 = 0 soit, à l aide de l indication : (1 tt)(tt 20) = 0 équation produit nul Or, si un produit de plusieurs facteurs est nul, alors l un au-moins des facteurs est nul. On est donc amené à résoudre : 1 tt = 0 et tt 20 = 0 tt = 1 tt = 20 CONCLUSION : Les solutions de cette équation sont : tt = 11 et tt = 2222

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