analyse dimensionnelle

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1 analyse dimensionnelle La physique cherche à décrire les phénomènes de manière qualitative et quantitative. Elle doit donc les caractériser par des grandeurs susceptibles d être mesurées. 1. définitions Une grandeur est une propriété ou qualité que l on attribue à un corps ou à un phénomène et, à laquelle on peut donner une représentation numérique. exemples : l intensité d un courant électrique, la longueur d un objet... Cette représentation numérique permet alors l étude quantitative des phénomènes. Une grandeur est mesurable lorsqu on sait définir l égalité et le rapport de deux grandeurs de cette espèce. Ainsi, la température en degré Celsius est repérable mais non mesurable, à la différence de la température en Kelvin. Pour mesurer une grandeur physique X, on compare sa valeur à la valeur d une autre grandeur, de même nature, prise arbitrairement comme unité, en effectuant leur rapport. Le résultat de la mesure est un nombre, la valeur de X, accompagnée de son unité : la mesure l de la grandeur (L) est le rapport où L 0 est la grandeur unité. l = L L 0 Un système d unité est constitué d unités fondamentales choisies arbitrairement et indépendante de les unes des autres.celles-ci sont définies par un étalon, conventionnellement choisi, en général pour sa simplicité, sa stabilité et l universalité de son mode de réalisation. Toutes les autres unités, dites dérivées, découlent des unités fondamentales à partir de relations de définition. 2. unités de base du système international Par convention, les grandeurs physiques sont organisées selon un système de dimensions. Chacune des sept grandeurs de base du SI est supposée avoir sa propre dimension, représentée symboliquement par une seule lettre majuscule sans empattement en romain. Les symboles utilisés pour les grandeurs de base, les symboles utilisés pour indiquer leur dimension, et leurs unités de bases sont les suivants : Les unités de base du SI sont liées au monde réel par l intermédiaire de constantes de la 1

2 physique, universelles et par nature, invariables. 2

3 3. dimension d une grandeur Il est nécessaire de faire la distinction entre la dimension d une grandeur physique et son unité. Par exemple, une distance a la dimension d une longueur, mais elle pourra s exprimer dans diverses unités (le mètre, le mile, l Angström...). La dimension d une grandeur renseigne sur sa nature physique, c est une caractéristique beaucoup plus générale que son unité. Une grandeur purement numérique, comme le rapport de deux vitesses est dite "sans dimension". 4. équation aux dimensions La dimension d une grandeur s exprime en fonction des sept dimensions fondamentales (L, M,T, I, Θ, N et J). On appelle équation aux dimensions une équation reliant la dimension d une grandeur G à celles des grandeurs de base : [G] = T α.l β.m γ.i γ.θ ε.j ζ.n η Par exemple, si V est une vitesse, on note sa dimension [V] = L.T 1. Remarques : - Les nombres et les angles sont des grandeurs sans dimension. En particulier, un angle, exprimé en radians, est la rapport de la longueur de l arc intercepté au rayon du cercle. C est bien un nombre sans dimension et indépendant de l unité de longueur choisie. - Le rapport de deux grandeurs de même dimension est sans dimension. - Les fonctions mathématiques (cos, sin, tan, exp, ln...) et leurs arguments sont sans dimension. Par exemple cos(x) et x sont sans dimensions. - [ dx dt ] = [x] T 5. analyse dimensionnelle Une équation est homogène si : - tous les termes d une somme ou d une différence ont la même dimension. Dans le cas contraire, l équation est forcément fausse. - Les deux membres d une égalité ont la même dimension. L analyse de l homogénéité constitue un puissant outil pour détecter une erreur puisqu une équation non homogène est nécessairement fausse. À la fin de tout calcul littéral, il faut vérifier l homogénéité de l expression obtenue, en retenant qu une équation non homogène est toujours fausse mais une équation homogène n est pas nécessairement juste!!! exemples : analyser l homogénéité des expressions suivantes : 1. R eq = 1 R R 2 où R eq, R 1 et R 2 sont des résistances. 2. u(t) = E exp( t), où u(t) est la tension aux bornes d un dipôle à la date t et E est une tension. 3. x(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + 1, où x(t) est l abscisse d un point matériel, de vitesse initiale v 0, g étant l intensité de la pesanteur. 3

4 exercice 1 : période d un pendule exercices Soit un pendule simple constitué d une masse m accrochée à l extrémité mobile d un fil de longueur l. On travaille dans le référentiel terrestre où le champ de pesanteur est g. 1. Montrer, par une analyse dimensionnelle, que la période des petites oscillations de ce l pendule peut s écrire T = K, où K est une constante sans dimension. g 2. Quelle remarque concernant T peut-on faire? exercice 2 : Vitesse de libération On définit la vitesse de libération v l (ou vitesse d évasion) d un objet dans l environnement de la Terre par la vitesse que l on doit lui communiquer pour que son énergie mécanique soit nulle (vitesse nulle quand elle se trouve à une distance infinie de la Terre). 1. Quels sont les paramètres pertinents pour exprimer v l? 2. En déduire l expression de v l par une analyse dimensionnelle (cette analyse étant qualitative, l expression s obtient à une constante multiplicative sans dimension près, que seule l analyse quantitative ou l expérience fournit). exercice 3 : grandeurs de Planck En combinant les trois constantes G, c et ħ = h, on obtient les grandeurs de Planck 2π ħg ħg ħc suivantes : c 5, c 3 et G 1. Déterminer quelle grandeur est homogène à : - une longueur, appelée «longueur de Planck» et notée l P. - une masse, appelée «masse de Planck» et notée m P. - une durée, appelée «durée de Planck» et notée τ P. 2. On introduit également la «température de Planck», notée T P à partir des constantes c, k B = 1, J.K 1 et m P. Cette température est la température la plus élevée qui ait un sens dans les théories actuelles et correspondrait à celle du l Univers à la date s après le début du big bang Déterminer l expression de T P. exercice 4 : Vibration d une goutte d eau La fréquence de vibration d une goutte d eau dépend de plusieurs paramètres. On supposera que la tension superficielle est le facteur prédominant dans la cohésion de la goutte ; par conséquent, les facteurs intervenant dans l expression de la fréquence de vibration f seront : - R, le rayon de la goutte ; - ρ, la masse volumique de l eau, pour tenir compte de l inertie ; - A, la constante intervenant dans l expression de la force due à la tension superficielle (la dimension de A est celle d une force par unité de longueur). La tension superficielle est la force qu il faut appliquer par unité de longueur le long d une ligne perpendiculaire à la surface d un liquide en équilibre pour provoquer l extension de cette surface. On écrira donc : f = k 1 R a ρ b A c, où k 1 est ici une constante sans dimension ; a, b et c sont les exposants de R, ρ et A. En déduire les valeurs de a, b et c. 4

5 exercice 5 : Vibration d une étoile : modèle de Lord Raleigh (1915) La surface d une étoile est animé d un mouvement de vibration qui renseigne sur sa composition. La fréquence de vibration d une étoile dépend de plusieurs paramètres. La cohésion d une étoile étant assurée par les forces de gravitation, on s attend à devoir faire intervenir : - R, le rayon de l étoile ; - ρ, la masse volumique de l étoile ; - G, la constante de gravitation universelle. 1. Déterminer a, b et c dans l expression de la fréquence de vibration f en fonction de R, ρ et G : f = k 2 R a ρ b G c (sans expliciter la constante sans dimension k 2 ). 2. Sachant que la valeur de G est connue, quelles données peut-on obtenir à partir de la fréquence de vibration? 5