Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

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1 Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples, qui seront ensuite utilisés pendant la suite. Bien que de niveau collège, ils peuvent être utiles pour des étudiants fâchés avec les mathématiques. Forme de ce document : les définitions, propriétés, théorèmes sont donnés sous cette forme. Les exemples ont pour objectif de présenter les méthodes appliquées, qui sont ensuite reprises par les étudiants dans les exercices. Les parties grisées sont des bonus, qui sont difficilement abordable dans le temps imparti, mais peuvent servir de complément si le groupe est motivé, ou que des questions sont posées, qui nécessitent de compléter les définitions existantes. Introduction Dans ce cours, sauf indication contraire, toute variable sera une variable réelle (c est-à-dire appartenant à R).. L ensemble des réels, intervalles Réels : R = ] ; + [ Intervalles ouverts à gauche, à droite, fermés à gauche, à droite. Rappel des notations R +, R +, R, R, R.2 Fractions Vocabulaire : numérateur, dénominateur. Addition : a c + b c = a+b c Multiplication : a c b d = a b c d Multiplication par un nombre : a b c = a b c Notion de dénominateur commun..3 Développement Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a : k(a + b) = ka + kb k(a b) = ka kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.4 Identités remarquables Identités remarquables du second degré : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 Ces notes de cours sont en partie inspirée des notes d Anastasiya Shtiliyanova

2 .5 Factorisation On utilise les équations de développement et des identités remarquables dans l autre sens. Exercice : Factoriser les expressions suivantes : 2 x + x+ + 2x+3 x 4 3x+2 x+4 3x+8 x+3 2 2x x+3 x+2 x 6.6 Trigonométrie TODO : dessiner le cercle trigonométrique cos 2 θ + sin 2 θ = cos 2 θ = +cos(2θ) 2 sin 2 θ = cos(2θ) 2 cos( θ) = cos(θ) sin( θ) = sin(θ) cos(θ + 2π) = cos(θ) sin(θ + 2π) = sin(θ) cos(π θ) = cos(θ) sin(π θ) = sin(θ) cos(π + θ) = cos(θ) sin(π + θ) = sin(θ) tan( θ) = tan(θ) cos ( π 2 θ) = sin(θ) sin ( π 2 θ) = cos(θ) cos ( π 2 + θ) = sin(θ) sin ( π 2 + θ) = cos(θ).7 Modélisation Le salaire mensuel fixe d un représentant est 00 e. Ce salaire est augmenté d une commission de 4% sur le montant des ventes du mois.. Si le représentant a touché 500 e, déterminer le montant des ventes. 2. Quel doit être le montant des ventes si son salaire est supérieur à e? 2 Fonctions réelles 2. Définition Définition 2. Soit l application suivante : f : U R x f(x) où U est une partie de R. Une telle application s appelle une fonction et l ensemble U son domaine de définition. Exemple : La fonction f(x) = x + est définie sur tout R. La fonction f : ], 0[ ]0, + [ R x x est définie sur U = ], 0[ ]0, + [ et ceci pour tout nombre réel x 0. Exercice : Étudier le domaine de définition de la fonction f(x) = x(x+3 x 2. Définition 2.2 Soit f : U R x f(x) une fonction et soit V une partie non vide de U. Alors : La fonction f est positive ou nulle sur V si f(x) 0 pour tout x V. On définit de même une fonction négative ou nulle. La fonction f est strictement positive sur V si f(x) > 0 pour tout x V. On définit de même une fonction strictement négative sur V. S il existe un nombre a tel que f(x) = a pour tout x V, on dit que f est constante sur V. Si a = 0, on dit que f est nulle sur V. Si U = V, on dit simplement que f est constante de valeur a et que f est nulle si a = 0. 2

3 TODO : Introduire la représentation en tableau de signes. Exemple : La fonction f : R R x f(x) = x 2 + x peut s écrire sous la forme f(x) = x(x + ). Donc sur les intervalles ], [ et ]0, [, la fonction f est strictement positive, elle est négative ou nulle sur le segment [, 0]. La fonction x 2 cos 2 x cos 2x est constante de valeur. Ce résultat vient des formules de trigonométrie : cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x. Exemple : Étudier le signe de la fonction f(x) = x(x+3 x Parité, majorants sur son ensemble de définition. Définition 2.3 Soit I l ensemble R ou un intervalle de centre 0. Soit f : I R. On dit que : f est paire si l on a f( x) = f(x) quel que soit x I. f est impaire si l on a f( x) = f(x) quel que soit x I. Exemple : La fonction x x 2 est paire. Utiliser la parité pour faciliter la représentation graphique. La fonction x x 3 est impaire. Utiliser la parité pour faciliter la représentation graphique. La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. Exercice : Étudier la parité de la fonction x sin(2x/3). Définition 2.4 Soit f : R R et soit T R +. On dit que f est T-périodique, ou de périodique de période T, si f(x + T ) = f(x). Exemple : Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions 2π-périodiques. Exercice : Montrer que la fonction x sin(2x/3) est 3π-périodique. Définition 2.5 Soit la fonction f : U R et V un intervalle non vide de R. On dit que : f est croissante sur V si x, y V, on a x y f(x) f(y). La fonction f est strictement croissante si x > y f(x) > f(y). f est décroissante sur V si x, y V, on a x y f(x) f(y). On définit de même une fonction strictement décroissante sur V. f est monotone sur V si f est croissante ou décroissante sur V, strictement monotone sur V si f est strictement croissante ou strictement décroissante sur V. 2H Exemple : La fonction racine carrée : [0, + [ R est strictement croissante. Propriété 2. Soient f et g des fonctions. On a les propriétés suivantes Si f et g sont croissante sur U, alors f + g est croissante sur U. Supposons que f et g sont positives ou nulles sur U. Si f et g sont croissante sur U, ou si f et g sont décroissantes sur U, alors fg est croissante sur U. Si f et g sont toutes deux croissantes ou bien toutes deux décroissantes, alors leur composée, si elle existe est croissante. Si l une des fonctions f ou g est croissante et l autre décroissante, la composée est décroissante. Exemple : Soit f une fonction strictement positive et u(x) = x, pour x R +. Soit la fonction f = u f. La fonction u est décroissante sur ]0, + [. Si f est croissante, alors f est décroissante. Si f est décroissante, alors f est croissante. Exercice : Soit f : R R x f(x) = x2 2+cos x. 3

4 Montrer que f est paire. Montrer que f est croissante et positive sur l intervalle [0, π]. Soit w(x) = x, montrer que f w est décroissante sur [ π, 0]. En déduire que f est décroissante sur le même intervalle. Définition 2.6 Soient f : U R et g : U R. Un majorant de f est un nombre réel M tel que f(x) M pour tout x U. S il existe un majorant M de f, on dit que f est majorée par M. f est majorée par M si et seulement si f est minorée par M. Un minorant de f est un nombre réel m tel que f(x) m quel que soit x U. S il existe un minorant m de f, on dit que f est minorée par m. Si f est minorée par m, alors f est majorée par m. On dit que f est bornée si f est majorée et minorée. Si f et g sont majorées (minorées), alors f + g est majorée (minorée). Supposons que f et g sont positives ou nulles. Si f et g sont majorées, alors fg est majoré. Soit f une fonction. La fonction f est bornée si et seulement si f : x f(x) est majorée. Exemple : La fonction f(x) = x 2 définir sur R est positive ou nulle, donc minorée par 0. Mais f n est pas majorée. Montrons-le par l absurde : soit M le majorant de f. Alors f(m + ) = M 2 + 2M + > M, par conséquent M n est pas un majorant de f. Exercice : f : [ a, a] R Soit a R et x f(x) = x 2. Montrer que f est bornée. f : R R Soit. Montrer que f est bornée. x f(x) = x2 x 2 + Montrer que f(x) = x est minorée, mais non majorée. 3 Limites 3. Limite d une fonction Soit I un intervalle et f : I R une fonction. Supposons que x 0 est un élément de I, ou bien une extrémité de I. Définition 3. Soit l R. On dit que f a pour ite l en x 0, ou encore que f(x) tend vers l quand x tend vers x 0, si pour tout nombre ɛ > 0, il existe un nombre α > 0 ayant la propriété suivante : (x I, x x 0 et x x 0 < α) f(x) l < ɛ. La propriété f a pour ite l en x 0 se note f(x) = l. Cette définition signifie que f(x) est aussi près que l on veut de l, à condition de choisir x assez près de x 0. Par définition, il revient au même de dire que f(x) l ou que (f(x) l) 0, quand x tends vers x 0. On en déduit les équivalences suivantes : f(x) = l (f(x) l) = 0 f(x) l = 0. Exemple : Montrons que x 0 x = 0. Soit ɛ > 0. On a x0 = 0, posons α = ɛ 2. Comme x, x 0 0, Et donc nous avons montré que x 0 x = 0. Exercice : Montrer que x 0 x 2 + =. Description des ites à l infini avec les mains. Exemple : x x 0 < α 0 < x < α 0 x < ɛ Montrons que x = 0. En effet pour un ɛ > 0, soit r = ɛ. Pour x > r, on a x < r x < ɛ. On a x = +. En effet posons r = A 2, alors x > A, si x > r. 4

5 3.2 Propriétés des ites et opérations Cette partie du cours présente les règles de calcul sur les ites. Ce sont des règles générales, qui sont très souvent utilisées. Propriété 3. Soient f et g des fonctions et l, l R. Supposons f(x) = l et g(x) = l. On a (f(x) + g(x)) = l + l et (f(x)g(x)) = ll. Si l f(x) 0, alors x x g(x) = l l. 0 Supposons de plus que g(x) = +. On a x x g(x) = 0. 0 Si f est minorée, alors (f(x) + g(x)) = +. Si f est minorée par un nombre strictement positif, alors f(x)g(x) = +. Si f(x) = l, alors f(x)g(x) = +. Si f(x) = 0 et f(x) 0 pour tout x, alors x x f(x) = +. 0 Exemple : Si n Z\ {0}, alors on a xn = { + si n > 0 0 si n < 0. Montrons que Cela montre que n>0 n>0 d après la propriété donnée plus haut, Exercice : x n = +. Donnons nous un nombre A >, alors on a x x n x x n x > A. x n = +. Supposons n < 0, alors x n = x n. Or on sait que x n = 0. On peut en déduire que n<0 Trouver la ite de P : R R x P (x) = 5x 0 5x + 6x 3 quand x +. Trouver la ite de f(x) = sin x x 2 quand x. xn = +, donc x n = 0. Théorème 3. Soit f une fonction et l un réel. Si f(x) 0 quel que soit x et si f(x) = l, alors l 0. Théorème 3.2 [Passage à la ite dans les inégalités] Soient f et g des fonctions telles que f g. Si f(x) = l et g(x) = l, alors l l. Remarque : Attention même si on a f > g, il se peut que l on ait f(x) = g(x). Théorème 3.3 [théorème des gendarmes] Soient f, g, h des fonctions et l R. Si f g h et f(x) = h(x) = l, alors g(x) = l. Si f g et f(x) = +, alors g(x) = + sin x Exemple : Montrons que x = 0. Pour tout x réel, on a : sin x. Si de plus x est strictement positif, alors on peut diviser l inégalité par x... Propriété 3.2 Soient f et g des fonctions. Si f est bornée et si g(x) = 0, alors f(x)g(x) = 0. Exemple : Cherchons cos x x = 0. cos x x. La fonction cosinus est bornée et de plus on sait que 5 x = 0. Donc

6 Propriété 3.3 Soient f et g des fonctions. Si f(x) = + et f(x) = l, alors g f(x) = l. Propriété 3.4 Soient n, p Z, n, p et les fonctions polynôme : x P (x) = a n x n +... a x + a 0 et Q(x) = b n x n +... b x + b 0. Si les nombres réels a n, b n sont tous deux strictement positifs, alors P (x) + si n > p Q(x) = a n bn si n = p 0 si n < p. Exercice : Calculer la ite de x2 4x 2 x 2 4 Soit a R. Calculer la ite de x2 +ax 2 x 2 quand x tend vers + et. pour x + et x. Calculer la ite de f(x) = x 2 + x 2 2 en +. Soit a R. Calculer la ite de ax x 2 + quand x. 3.3 Asymptotes Exemple : Comportement de la fonction f(x) = 3.3. Asymptote verticale x2 x 2 en,, + et. Définition 3.2 La droite d équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f (en a) si f(x) = + ou f(x) = pour x > a ou x < a. x a x a Asymptote horizontale Définition 3.3 La droite d équation y = b (b R) est une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f si f(x) = b ou f(x) = b. x Asymptote oblique Exemple : Soit la fonction f(x) = 2x3 x Étudier la ite de f(x) (2x + 2) en +. Définition 3.4 La droite d équation y = ax + b est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si f(x) (ax + b) = 0. x ± Remarque : Les valeurs de a et b sont calculées de la manière suivante : a = f(x) x ± x, b = f(x) ax. x ± Exercice : Déterminer l asymptote à la courbe de f(x) = x2 x+ en +. 4 Dérivées On introduit ici la notion de dérivée par une approche graphique. 4. Tangente Intuitivement, la tangente à une courbe en un point A est une droite qui localement ne touche la courbe qu en A (ajouter une illustration). On peut aussi la voir comme la position ite de la sécante à la courbe passant en A. 6

7 4.2 Définition et propriétés des dérivées Définition 4. Soit f une fonction définie sur U, et D sa représentation graphique. On appelle taux d accroissement de f en x 0 et avec un pas de h la quantité t x0 (h) = f(x0+h) f(x0) h. Si t x0 (h) admet une ite finie l lorsque h tend vers 0, alors l est le coefficient directeur de la tangente à D en x 0, et on appelle ce nombre la dérivée de f en x 0. On note alors ce nombre f (x 0 ) = h 0 t x0 (h). Remarque : Analogie entre taux d accroissement et élasticité (en économie, l élasticité est le changement proportionnel d une variable y relativement à une autre variable x). Exemple : Calculer la dérivée de f(x) = 5x + 2 en h = 3. Propriété 4. Soit u et v deux fonctions, et a R. On a les propriétés suivantes : (au) = au (u + v) = u + v (uv) = u v + uv ( ) = v v v 2 ( u v ) = u v uv v 2 (g f) = (g f).f D autre part, si n N, et si f(x) = x n alors on a f (x) = nx n. De même, si g(x) = x, alors g (x) = 2 x. Exercice : Calculer les dérivées des fonctions suivantes : x 5x + 2 x x2 x+ 5 Études de fonctions 5. Principe de l étude de fonction Voici les étapes de l étude d une fonction :. Étudier le domaine de définition de la fonction. 2. Calculer la dérivée de la fonction sur son ensemble de définition. 3. Calculer le comportement de la fonction au voisinage des valeurs exclues du domaine de définition, et à l infini. 4. Étudier le signe de la fonction. 5. Identifier la possible parité ou périodicité de la fonction. 6. Dresser le tableau de variation de la fonction. 7. Déterminer les éventuelles asymptotes de la fonction. 8. Tracer la représentation graphique de la fonction (en utilisant une table de valeurs). 5.2 Quelques exemples Exercice : Réaliser l étude des fonctions suivantes : f(x) = x2 x+ f(x) = 5x 2 f(x) = x 5 2x + 3 x 3 f(x) = (x 3 2x + ) 3 7

8 6 Primitives et intégrales 6. Définition de la primitive Définition 6. La primitive d une fonction f définie sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que x I, F (x) = f(x). Propriété 6. Soit f et g deux fonctions, F une primitive de f, et G une primitive de g. Alors on a : Une primitive de kf est kf, avec k réel. Une primitive de f + g est F + G. Si F est aussi une primitive de f, alors il existe un entier k 0 tel que F = F + k 0. Remarque : Pour une fonction donnée, il n y a pas une unique primitive. On calcule donc les primitives à la constante près. 6.2 Primitives usuelles Propriété 6.2 Fonction f Primitive F de f Intervalle de définition f(x) = x n, avec n N F (x) = xn+ n+ + C, C R I = R f(x) = x 2 F (x) = x + C, C R I =]0, + [ ou I =], 0[ Propriété 6.3 Fonction f Primitive F de f Intervalle de définition u u n, avec n N n+ un+ + C, C R I = R u u 2 u + C, C R x I, avec u(x) > 0 u u n, n R, n 2 n u n + C, C R x I, avec u(x) 0 Exercice : Déterminer une primitive pour chaque fonction suivante : f(x) = 0x 4 + 6x 3 f(x) = (x )(x + 3) f(x) = 2 x x 2 sur ]0; + [ 6.3 Intégrales Définition 6.2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une de ces primitives. Soient a et b deux points de I. La quantité F (b) F (a) est appelée l intégrale de f entre a et b, et est notée b a f(x)dx. La variable x dans l intégralle est une variable muette, elle peut être remplacée par toute autre inconnue. En faisant a = b, on a b f(x)dx = 0. a Le résultat de l intégrale ne dépend pas de la primitive choisie (les constantes s annulent). Théorème 6. [fondamental de l analyse] Si f est une fonction continue et positive sur l intervalle [a; b], alors l aire de la région déitée par la courbe de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = a et x = b est égale à b a f(x)dx. Exercice : Utiliser le théorème fondamental de l analyse pour calculer l aire suivante : 8

9 Même question avec l aire de la surface comprise entre la ligne des abscisses, la courbe de la fonction f(x) = x 2, et entre les droites d équation x = et x = 2. 7 Fonctions logarithme et exponentiel 7. Logarithme Définition 7. La primitive de f(x) = x qui s annule en est appelée logarithme naturel, et noté ln x. On a donc : x x R +, ln x = x dx. Propriété 7. Pour x R +, on a ln x = x. De même, pour toute fonction u, on a (ln u) = u u. Propriété 7.2 On a ln(x) =, ln(x) = + et ln() = 0. x 0 Propriété 7.3 [Logarithme transforme les produits en sommes] Soient a et b des réels strictement positifs, et n N. Alors on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b). ln( a b ) = ln(a) ln(b). ln(a n ) = n ln(a). Exercice : Simplifier les formules suivantes : f(x) = ln(4x 2 ) f(x) = ln(x 2 2x + ) Calculer la dérivée de f(x) = ln x 2. Calculer une primitive de g(x) = 4x. 7.2 Exponentiel La fonction logarithme est strictement monotone sur R +, on peut donc définir sa fonction réciproque. Définition 7.2 On appelle exponentiel la fonction exp( ) telle que ln(exp(x)) = x, pour tout x R. On note aussi exp(x) = e x. Propriété 7.4 On a exp(x) = 0, exp(x) = +, x e0 = et e Propriété 7.5 [Exponentiel transforme les sommes en produits] Soient a et b des réels strictement positifs, et n N. Alors on a : exp(a + b) = exp(a) exp(b). exp(a b) = exp(a) exp(b). 9

10 e ab = (e a ) b. a b = e b ln(a). Propriété 7.6 (e x ) = e x. Exercice : Simplifier les formules suivantes : f(x) = e x2 e x f(x) = ex+2 e x+2 f(x) = e 2+ln(x) Calculer les dérivées de : f(x) = e 2x2 +3 f(x) = 2 x Calculer une primitive de f(x) = xe x2. 0