Mathématiques. Ce classeur de mathématiques a été prévu pour y mettre des résumés du programme de la 6ème à la 3ème.

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1 Mathématiques Ce classeur de mathématiques a été prévu pour y mettre des résumés du programme de la 6ème à la 3ème. Il pourra aussi servir plus tard au lycée pour des révisions.. A1 p1 Les nombres A2 p2 Opérations A3a p3 Les fractions (1) A3b p4 Les fractions (2) A4 p5 Calculs avec des relatifs A5 p6 Puissances A6 p7 Equations A7 p8 Pourcentages A8a p9 Proportions (1) A8b p10 Proportions (2) A8c p11 Proportions (3) A9 p12 Calcul algébrique (1) A10 p13 Calcul algébrique (2) A11 p14 Racines carrées A12 p15 Statistiques A13 p16 Diviseurs A14 p17 Fonctions linéaires et affines A15 p18 Inéquations A16 p19 Systèmes d'équations G1a p20 Parallèles et perpendiculaires (1) G1b p21 Parallèles et perpendiculaires (2) G2a p22 Angles (1) G2b p23 Angles (2) G3a p24 Figures (1) G3b p25 Figures (2) G4a p26 Triangles (1) G4b p27 Triangles (2) G4c p28 Triangle rectangle (1) G4d p29 Triangle rectangle (2) G5 p30 Longueurs et périmètres G6 p31 Aires G7 p32 Volumes G8a p33 Solides (1) G8b p34 Solides (2) G8c p35 Solides (3) G10 p38 Théorème des milieux et Thalès(1) G11 p39 Coordonnées G12 p40 Thalès (2) G13 p41 Cercles et angles G14 p42 Distance, tangentes, vecteurs

2 DROITES PARALLELES ET PERPENDICULAIRES (1) Notations A et B sont deux points du plan (AB) : droite qui passe par A et B [AB] : segment d'extrémités A et B [AB) : demi-droite d'origine A et qui passe par B AB : longueur du segment [AB] : "appartient à" : "n'appartient pas à" : "est perpendiculaire à" // : "est parallèle à" Construction à l'équerre d'une perpendiculaire passant par un point donné ou Construction au compas de la médiatrice d'un segment (d) (d') (d) // (d') Propriétés DROITES PARALLELES ET PERPENDICULAIRES (2) Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Données : (d 1 ) // (d 3 ) et (d 2 ) // (d 3 ) Conclusion : (d 1 ) // (d 2 ) Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Données : (d 1 ) (d 3 ) et (d 2 ) (d 3 ) Conclusion : (d 1 ) // (d 2 ) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Données : (d 1 ) // (d 2 ) et (d 3 ) (d 1 ) Conclusion : (d 3 ) (d 2 ) Médiatrice d'un segment Définition : La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par son milieu et qui lui est perpendiculaire. Propriété n 1 : Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Propriété n 2 : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Construction à la règle et à l'équerre d'une parallèle passant par un point donné Construction au compas d'une parallèle passant par un point donné

3 ANGLES (1) ANGLES (2) 1) Vocabulaire 4) Angles adjacents 5) Angles opposés par le sommet Angle xoy : 2) Classification angle notation mesure figure plat xoy ou yox 180 Les angles xoy et yoz sont adjacents Propriété : si les angles xot et uoy sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. droit xoy ou yox 90 nul xox 0 saillant il peut être : aigu ou obtus xoy ou yox angle aigu : mesure inférieure à 90 angle obtus : mesure comprise entre 90 et 180 angle aigu angle obtus 6) Angles complémentaires Deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 sont complémentaires. 7) Angles supplémentaires Deux angles dont la somme des mesures est égale à 180 sont supplémentaires. 8) Angles alternes-internes et angles correspondants rentrant mesure supérieure à 180 yaz et tbu sont alternes-internes tax et tbu sont correspondants. 3) Bissectrice La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux. Construction au compas : Propriétés : a. Si les droites (xy) et (uv) ci-dessus sont parallèles, alors : les angles alternes-internes yaz et tbu sont de même mesure. les angles correspondants tax et tbu sont de même mesure. b. Si les angles alternes-internes yaz et tbu sont de même mesure, ou : si les angles correspondants tax et tbu sont de même mesure, alors les droites (xy) et (uv) ci-dessus sont parallèles.

4 Cercle et disque FIGURES (1) Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M du plan tels que OM = r Le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M du plan tels que OM r Centre : O Rayon [OE] Diamètre : [EF] Corde : [AB] Arc : DC Diamètre = 2 rayon Trapèze Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Les côtés parallèles [AB] et [CD] sont les bases du trapèze Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles. Propriétés -Les côtés opposés sont de même longueur -Les diagonales se coupent en leur milieu -Les angles opposés sont de même mesure -Le point d'intersection des diagonales est centre de symétrie. (il n'y a pas d'axe de symétrie pour un parallélogramme quelconque) Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme : -Quadrilatère + diagonales se coupant en leur milieu parallélogramme -Quadrilatère + côtés opposés parallèles parallélogramme -Quadrilatère non croisé + côtés opposés de même longueur parallélogramme -Quadrilatère + deux vecteurs égaux parallélogramme Rectangle Propriétés FIGURES (2) - Toutes celles du parallélogramme - Les quatre angles sont droits - Les diagonales sont de même longueur - Les médiatrices des côtés sont des axes de symétrie. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle - Quadrilatère + 3 angles droits rectangle - Parallélogramme + 1 angle droit rectangle - Parallélogramme + diagonales de même longueur rectangle Losange Propriétés - Toutes celles du parallélogramme - Les quatre côtés sont de la même longueur - Les diagonales sont perpendiculaires - Les diagonales sont des axes de symétrie. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un losange : - Quadrilatère + 4 côtés de même longueur losange - Parallélogramme + 2 côtés consécutifs de même longueur losange - Parallélogramme + diagonales perpendiculaires losange Carré Propriétés - Toutes celles du parallélogramme - Toutes celles du rectangle - Toutes celles du losange Pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré : - Quadrilatère + rectangle + losange carré Collèg

5 TRIANGLES (1) Un triangle a : - Trois sommets, A, B et C - Trois côtés [AB], [AC] et [BC] - Trois angles BAC, ABC et ACB Ce triangle peut s'appeler ABC, ACB, BAC... Triangle équilatéral : triangle ayant ses trois côtés de la même longueur Propriétés : - Ses trois angles mesurent 60 - Il a trois axes de symétrie Triangle rectangle : triangle ayant deux côtés perpendiculaires ABC est un triangle rectangle en A Les médiatrices TRIANGLES (2) Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle (cercle qui passe par les trois sommets du triangle) Les hauteurs Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à (BC). Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre du triangle. Les bissectrices Triangle isocèle : triangle ayant deux côtés de la même longueur. Propriétés : - Il a deux angles de même mesure - Il a un axe de symétrie Ce triangle ABC est isocèle en A. Propriété : Si un triangle a deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Somme des mesures des angles d'un triangle : La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180. Inégalité triangulaire Si A, B et C sont trois points quelconques du plan, alors AC AB + BC De même, on a : AB AC + BC et BC BA + AC Cas de l'égalité : Si AC = AB + BC, alors B [AC] Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle (cercle tangent aux trois côtés) Les médianes Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre de gravité du triangle. Ce centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Droites remarquables d'un triangle isocèle Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane, médiatrice et bissectrice. (c'est un axe de symétrie du triangle)

6 Cercle circonscrit LE TRIANGLE RECTANGLE (1) Si un triangle est rectangle, alors : - le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse - la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse Propriété de l'angle droit Si Alors Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. Si Propriété de Pythagore alors Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si Alors AC² = AB² + BC² Application : Dans un triangle rectangle, si on connaît deux longueurs de côté, on peut calculer la troisième. Réciproque de la propriété de Pythagore Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Si Alors AC² = AB² + BC² Application : Dans un triangle, si on connaît les trois longueurs de côté, on peut essayer de prouver que le triangle est rectangle. LE TRIANGLE RECTANGLE (2) Trigonométrie Définitions dans le triangle rectangle cosinus = côté adjacent hypoténuse sinus = côté opposé hypoténuse Dans le triangle ABC rectangle en C : cos B = BC AB sin B = AC AB tan B = AC BC Exemples dans le triangle rectangle tangente = côté opposé côté adjacent a) On connaît un angle et une longueur. On cherche une longueur. Ex 1 : sin B = AC AB ; sin 35 = AC ; 6 6sin 35 = AC ; AC 3,44 b) On connaît deux longueurs. On cherche un angle. Ex 2 : tan B = AC BC ; tan B = 3 5 = 0,6 ; B = tan -1 (0,6) 31 Propriétés tan a = sin a cos a ; (cos a)² + (sin a)² = 1

7 Les préfixes: LONGUEURS ET PERIMETRES kilo : 1000 ; hecto : 100 ; déca : 10 ; déci : 1 10 centi : ou 0,01 ; milli : 1 ou 0, Le tableau de conversion: ou 0,1 Pavages simples LES AIRES Exemple de deux figures de formes différentes, mais de même aire (8 unités) km hm dam m dm cm mm 0, , 0 1 Le périmètre 0,0001 hm = 10 mm 1000 mm = 0,01 hm 0,01 dam = 0,1 hm 0 Définition: le périmètre d une figure est la longueur de son contour. a) le rectangle. Périmètre = L + L + + = (2 L) + (2 ) = 2 (L + ) Les unités d'aires 1 m², c'est l'aire d'un carré de 1 m de côté. km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Les formules d'aires ha a ca unités agraires m² = 100 dm² hm² = 1 ha = m² ,01 dam² = 1 m² Rectangle Triangle rectangle Carré b) le carré d) le triangle Aire = L Aire = L 2 Aire = c c = c² périmètre = 4 c c) le losange périmètre = a + b + c e) le cercle. Parallélogramme Triangle Disque périmètre = 4 c R: rayon D :diamètre périmètre = 2 π R ou D π Aire = b h Aire = b h 2 Aire = r²

8 VOLUMES SOLIDES (1) Mesures par comptage Exemple de deux solides de même volume (8 unités) Parallélépipède rectangle (ou pavé droit) Dessin en perspective Cube Les unités de volume 1 m 3 c'est le volume d'un cube de 1 m d'arête. 1 dm 3 c'est le volume d'un cube de 1 dm d'arête... Ce cube de 1 m de côté contient 1000 dm 3. 1 m 3 = 1000 dm 3 1 L = 1 dm 3 ; 1 dl = 1 10 L ; 1 cl = L ; 1 ml = L 8 sommets 12 arêtes (4 L, 4 et 4 h) 6 faces rectangulaires Description Exemple de patron Formule de volume 8 sommets 12 arêtes de même longueur 6 faces carrées V = L h V = = a a a ou a 3 Tableau de conversion km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Prisme droit Dessin en perspective Cylindre L dl cl ml hm 3 = m L = 23,5 m ,4 cm 3 = 2400 mm 3 Description 2 bases polygonales superposables 2 bases en forme de disque Les autres faces sont des rectangles Aire latérale A = Périmètre de la Base x hauteur Formule de volume V = Aire de la Base hauteur

9 Pyramide SOLIDES (2) Dessin en perspective Cône SOLIDES (3) Sections planes Description Une base polygonale Une base en forme de disque Formule de volume Volume = Aire de la base hauteur 3 Section d'un pavé par un plan parallèle à une face rectangle Section d'un pavé par un plan parallèle à une arête rectangle Section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe cercle G8b (suite) Sphère et boule Définitions La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = r (c'est une surface). La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM r (c'est l'intérieur de la sphère). Intersection avec un plan L'intersection de la sphère de centre O et de rayon r avec le plan P0 passant par O est un "grand cercle" de même rayon r. L'intersection de la sphère de centre O et de rayon r avec le plan P1 est un cercle de rayon inférieur à r. Section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe rectangle Section d'un cône par un plan parallèle à sa base cercle Section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base polygone (réduction de la base) Si on connaît r et a, on peut calculer le rayon de ce cercle en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle grisé Volume d'une boule : 4 3 π r3 Surface d'une sphère : 4 π r 2 n

10 DROITE DES MILIEUX ET THALES (1) Théorèmes des milieux dans un triangle La droite passant par le milieu du côté d un triangle et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. En résumé : milieu + parallèle autre milieu La droite passant par les milieux de 2 côtés d un triangle est parallèle au 3 ème côté. En résumé : milieu + milieu parallèle Le segment qui joint les milieux de 2 côtés d un triangle mesure la moitié du 3 ème côté. Propriété de Thalès (niveau 4ème : Triangles emboîtés) Dans un triangle ABC, soit M un point de [AB] et N un point de [AC]. Si (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM AB = AN AC = MN BC. Ce qui revient à dire que les longueurs des côtés des triangles ABC et AMN sont proportionnelles. COORDONNEES 1) Repérage sur une droite graduée Chaque point d une droite graduée peut être repéré par un nombre appelé abscisse du point. point O I A B C D abscisse ,5-3,5 Notation : A (4) ou x A = 4 2) Repérage à l aide de deux axes Dans un repère, chaque point du plan peut être repéré par deux relatifs appelés coordonnées du point. Notation : B ( 3 ; 1 ) abscisse ordonnée point O I J A B C coordonnées (0;0) (1;0) (0;1) (-1;-2) (3;1) (-2;2) 3) Coordonnées du milieu d un segment Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ( x A+x B 2 4) Coordonnées d un vecteur Les coordonnées du vecteur AB sont AB Exemple : A(-1;-2) B(3;1) AB x B x A y B y A AB 3 ( 1) 1 ( 2) 5) Distance entre deux points AB 4 3 x B x A y B y A ; y A+y B 2 ) Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et OI = OJ), la longueur AB est AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Exemple : la distance entre les deux points A et B précédents est AB = (3 (-1))² + (1 (-2))² = 4² + 3² = = 25 = 5. n

11 Remarque : SiAB 4 3 x y, alors AB = x2 + y 2. Avec l'exemple précédent : AB donc AB = 4² + 3² = 16+9 = 25 = 5 THALES (2) Si AM AB = AN, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. AC 1) Propriété de THALES Soient ABC et AMN deux triangles disposés de façon que M soit sur la droite (AB) et que N soit sur la droite (AC). Si (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM AB = AN AC = MN BC. Différents cas de figure : Remarque : L'égalité AM AB = AN AC = MN signifie que les longueurs des côtés des deux BC triangles sont proportionnelles, c'est-à-dire que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : longueur des côtés de AMN AM AN MN longueur des côtés correspondants de ABC AB AC BC 2) Réciproque de la propriété de Thalès Si les points A, B, C, M et N sont disposés de façon analogue à l'une des trois figures ci-dessus, alors on a la propriété suivante :

12 CERCLES ET ANGLES DISTANCE, TANGENTE, VECTEUR. Distance d'un point à une droite. (d) est une droite et A un point A n'appartenant pas à (d) La longueur AH est appelée la distance du point A à la droite (d). Propriété : pour tout point M de (d) non confondu avec H on a : AH < AM. H est le point de (d) tel que : (AH) (d) Tangente à un cercle en un point La droite (d) est tangente en A au cercle C. Le point A est le seul point d'intersection entre la droite (d) et le cercle C. La droite (d) est perpendiculaire au rayon [OA] au point A. Vecteur. Egalité de vecteurs AA' = BB' signifie : - Les droites (AA') et (BB') sont parallèles (même direction) - Les demi-droites [AA') et [BB') ont le même sens - Les segments [AA'] et [BB'] ont la même mesure. Vecteur et parallélograme. 1) Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme. 2) Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. Somme de deux vecteurs. Relation de Chasles : quels que soient les points A, B et C du plan on a : AB + BC = AC.