Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane Septembre 2015

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1 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane Septembre 5 EXERCICE Commun à tous les candidats 6 points Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction f n définie et dérivable sur l ensemble R par f n x)= x e nx On note C n la courbe représentative de la fonction f n dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel n non nul, I n = f n x) dx. Partie A : Étude de la fonction f. La fonction f est définie sur R par f x)= x e x. On admet que f est dérivable sur R et on note f sa dérivée. a. f x)=x e x + x )e x = xe x x e x = xe x x) b. Pour déterminer les variations de la fonction f, on étudie le signe de f sur R : x + x + + e x x + + f x) + Donc la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles ] ; ] et [;+ [, et elle est strictement croissante sur l intervalle [; ]. c. On calcule la ite de f en : x =+ x On pose X = x e X =+ X + x x =+ = x e x =+ d. Pour tout réel x, f x)=x e x = x e x ) = xe x ) = On sait que x + e x x =+ donc x + x = et donc e x = x f x)=+ x e x ) x + x ) = : e x f x)= x +. En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu une primitive F de la fonction f est donnée x par F x)= e x + x + ). 4 F est une primitive de f donc : I = f x)dx= F ) F )= e + + )) e ++ ))= 5e

2 Partie B : Étude de la suite I n ). Soit n un entier naturel non nul. a. I n = f n x)dx = x e nx dx Sur [; ], x et e nx > donc f n x) On en déduit que I n représente, en unités d aire, l aire du domaine défini par l ensemble des points M de coordonnées x ; y) telles que x et y f n x). b. Si on trace sur une calculatrice les représentations graphiques des fonctions f, f et f 3, on voit que sur [; ], f x)> f x)> f 3 x)>. Les intégrales entre et sont rangées dans le même ordre que les fonctions donc la suite I n ) semble décroissante et semble tendre vers. O. a. f n+ x)= x e n+)x = x e nx x = x e nx e x = e x f n x) b. x [; ] x x e e x e = e x Sur [; ] f } nx) e x = e x f n x) f n x) f n+ x) f n x) c. Sur [; ] et pour tout n, f n+ x) f n x) donc, d après la positivité de l intégration : f n+ x)dx La suite I n ) est donc décroissante. 3. Soit n un entier naturel non nul. f n x)dx ou autrement dit I n+ I n. a. Sur [; ], x donc, en multipliant par e x >, on obtient x e nx e nx autrement dit : f n x) e nx b. f n x) e nx donc, d après la positivité de l intégration : dx f n x)dx e nx dx I n e nx dx La fonction x e nx a pour primitive la fonction x e nx n. Donc e nx dx = n + e n = n + n = donc n + ] [ e nx n = e n n + n = n + e n n = e nx dx = n + n = = e n n + n + n = On sait que pour tout n, I n e nx dx et que = e nx dx= ; donc, n + n + d après le théorème des gendarmes, la suite I n ) est convergente et I n =. n + Antilles-Guyane septembre 5

3 EXERCICE Commun à tous les candidats 5 points Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d un mois. 4 % des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d orange ; 5 % des bouteilles de jus d orange vendues possèdent l appellation «pur jus». Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d orange, la proportion des bouteilles de «pur jus» est notée x, où x est un réel de l intervalle [ ; ]. Par ailleurs, % des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l appellation «pur jus». On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants : R : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d orange ; J : la bouteille prélevée est une bouteille de «pur jus». Partie A. On représente cette situation à l aide d un arbre pondéré :,5 J,4 R,5=,75 J,4=,6 x J R x J. On sait que % des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l appellation «pur jus» donc PJ)=,. D après la formule des probabilités totales : ) ) PJ)=PR J)+P R J = PR) P R J)+P R P R J)=,4,5+,6 x =,+,6x } PJ) =, =,=,+,6x x = PJ) =,+,6x 6 3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de «pur jus». C est une bouteille de jus d orange avec la probabilité P J R)= PR J) =, PJ), = Partie B Afin d avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des 5 dernières bouteilles de jus de fruits vendues. On note X la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de «pur jus» dans ce lot. On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces 5 bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.. On prend au hasard une bouteille dans un lot de 5 ; il n y a que deux issues possibles : elle est «pur jus» avec une probabilité égale à p =, ou elle ne l est pas avec la probabilité p =,8. On répète de façon indépendante 5 fois cette épreuve donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de bouteilles «pur jus» suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p =,. Antilles-Guyane 3 septembre 5

4 . On cherche PX 75) qui est égal à PX 74). À la calculatrice on trouve PX 74),6 ce qui donne,998 pour la probabilité cherchée. Partie C Un fournisseur assure que 9 % des bouteilles de sa production de pur jus d orange contiennent moins de % de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 9 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, 766 bouteilles présentent moins de % de pulpe.. Un intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de % de pulpe au seuil de 95 % est donné par : I = [ p,96 ] p p) p p) ; p+,96 n n sous les conditions n 3, np 5 et n p) 5. Or p=,9 et n= 9 3, donc np = 8 5 et n p)=9 5 On peut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de bouteilles contenant moins de % de pulpe : I = [,884;, 996]. Dans l échantillon, il y a 766 bouteilles présentant moins de % de pulpe, donc la fréquence de bouteilles présentant moins de % de pulpe est de 766 9,85. Cette fréquence observée est en dehors de l intervalle I, donc l affirmation du fournisseur semble erronée. EXERCICE 3 Commun à tous les candidats 4 points. On définit une suite u n ) de réels strictement positifs par u = et pour tout entier naturel n, lnu n+ )=lnu n ) ) un+ lnu n+ )=lnu n ) ln u n+ ) lnu n )= ln = lne ) u n+ = e u n u n u n+ = e u n. Donc la suite u n ) est géométrique de raison e.. Soit v n ) une suite à termes strictement positifs. On définit la suite w n ) par, pour tout entier naturel n, w n = ln v n ). On appelle P ) la proposition suivante : si la suite v n ) est majorée alors la suite w n ) est majorée. Soit la suite définie pour tout naturel par v n = : elle est bien à termes positifs et elle est n+ majorée par. ) Or pour tout naturel n, w n = ln = +lnn+ ) ; cette suite n est pas majorée. La proposition P ) est fausse. n+ z = +3i ) 3. La suite z n ) de nombres complexes est définie par 6 z n+ = 4 + i z n, n N 4 ) 6 ) z n+ = 4 + i 6 z n = z n+ = i 6 z n z n+ = i 4 z n Antilles-Guyane 4 septembre 5

5 6 ) ) 4 + i 6 = + = = 8 6 = donc i 4 = Pour tout n, z n+ = z n donc la suite z n ) est géométrique de raison q = et de premier terme z = +3i = + 3 = 3 D après les propriétés des suites géométriques, pour tout n, z n = z q n = ) n 3. Tous les termes de la suite géométrique z n ) sont positifs ; la raison de cette suite est strictement comprise entre et donc cette suite est décroissante et converge vers. Il y aura donc un plus petit rang n tel que z n et pour tout n n on aura z n. On cherche donc n tel que z n ce qui équivaut à : ) n ) n 3 ) 3 n ) ) ln ln croissance de la fonction ln ) 3 ) n ln ln propriété de la fonction ln 3 ) ln ) 3 n ) car ln < ln ) ln 3 ) 36,6 donc pour n 37, on a z n. ln EXERCICE 4 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points Soit ABC DE F GH le cube ci-dessous. E F H G A B D C On se place dans le repère orthonormé A ; AB, AD, ) AE. Donc A ; ; ), B ; ; ), D ; ; ) et E ; ; ) Antilles-Guyane 5 septembre 5

6 . a. La droite DB) a pour vecteur directeur DB ; ; ). Elle passe par le point D. C est donc l ensemble des points M x ; y ; z) tels que DM et DB sont colinéaires, c est-à-dire l ensemble des points M tels que DM = s DB où s R. x = s x = s Cela s écrit y = ) s ou encore y = s où s R z = s z = b. La droite AG) est l ensemble des points M x ; y ; z) tels que AM et AG soient colinéaires, c està-dire tels que AM = t AG où t R. AG = AB + BC + CG = AB + AD + AE donc G a pour coordonnées ; ; ). AM = t x = t x = t AG y = t y = t où t R z = t z = t. Soit M un point quelconque de la droite DB) et N un point quelconque de la droite AG). Le point M a donc pour coordonnées s ; s ; ) où s R, et le point N a pour coordonnées t ; t ; t) où t R. Alors M N a pour coordonnées t s ; t + s ; t). La droite M N ) est perpendiculaire aux deux droites AG) et DB) si et seulement si d une part les vecteurs M N et AG sont orthogonaux, et si d autre part les vecteurs M N et DB sont orthogonaux. ; autrement dit si M N. AG = et M N. DB =. M N. AG = t s) +t +s) +t = t s+t +s+t = 3t = t = 3 M N. DB = t s) +t +s) )+t = t s t+ s= =s s = Les coordonnées de M sont donc ; ) ; et celles de N sont 3 ; 3 ; ) Soit s et t deux réels quelconques. On note Ms ; s ; ) un point de la droite DB) et N t ; t ; t) un point de la droite AG). a. Le vecteur M N a pour coordonnées t s ; t + s ; t) donc M N = t s) +t +s)+t = t t s+s +t ++s t s+t s+t = 3t t+s s+ 3 t ) + + 3) s ) + 6 = 3 t 3 t+ 9 s s+ 4 ) + 6 = 3t t+ 3 + s s+ + 6 = 3t t+ s s+ Donc M N = 3 t 3) + s ) + 6 b. La distance M N est minimale quand le nombre M N est minimal ; M N est la somme de trois nombres positifs ou nuls qui sera minimale si chaque nombre est minimal. Autrement dit pour que M N soit minimal, il faut que t 3) et s soient minimaux. ) Les carrés seront minimaux s ils sont nuls donc pour t = 3 et s=. Dans ce cas, on a vu que la droite M N ) était la perpendiculaire commune aux deux droites AG) et BD). Antilles-Guyane 6 septembre 5

7 EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points Partie A On considère l équation 5x 6y = où x et y sont des nombres entiers relatifs.. 5=3 7 et 6= 3 donc les deux nombres 5 et 6 sont premiers entre eux ; d après le théorème de Bézout, on peut en déduire que l équation 5x 6y = admet des solutions en entiers relatifs.. a. Comme 6=5=5+, on a : ) 5 ) 6= donc le couple x ; y )= ; ) est solution de l équation. b. On cherche un couple x ; y) solution donc tel que 5x 6y = ; or le couple x ; y ) est solution. On a donc : 5x 6y = 5x 6y = 5x x ) 6y y ) = 5x x ) 6y y )= 5x x )=6y y ) 5 divise 6y y ) ; or 5 et 6 sont premiers entre eux, donc, d après le théorème de Gauss, 5 divise y y. On peut donc écrire y y = 5k avec k Z. 5x x )= 6y y ) et y y = 5k donc 5x x )=6 5k et donc x x = 6k. Si x ; y) est solution, alors x = x + 6k = +6k et y = y + 5k = +5k, avec k Z. réciproquement, si x = +6k et y = +5k, où k Z, alors 5x 6y = donc le couple x ; y) est solution de l équation 5x 6y =. L ensemble des couples solutions de l équation 5x 6y = est donc l ensemble des couples +6k ; +5k) avec k Z. Partie B On fait correspondre à chaque lettre de l alphabet un nombre entier comme l indique le tableau cidessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Afin de coder une lettre de l alphabet, correspondant à un entier x compris entre et 5, on définit une fonction de codage f par f x) = y, où y est le reste de la division euclidienne de 5x + par 6. La lettre de l alphabet correspondant à l entier x est ainsi codée par la lettre correspondant à l entier y.. La lettre N correspond à x = 3 donc 5x+ = 5 3+= 665. Comme 665=5 6+5, le reste de la division de 665 par 6 est 5 et f 3)=5. Le nombre 5 correspond à la lettre P donc la lettre N est codée en P.. 5a [6] signifie que 5a s écrit +6b avec b Z. 5a = +6b 5a 6b = donc, d après la partie A, a = +6k avec k Z. On cherche k de Z pour que a 5 donc on prend k = ce qui donne a= 5. L entier a tel que a 5 et 5a [6] est a= 5. Antilles-Guyane 7 septembre 5

8 3. On suppose que la lettre correspondant à un entier x est codée par la lettre correspondant à un entier y ; alors y es le reste de la division de 5x+ par 6 ce qui signifie que y 5x+ [6] et y 5. a= 5 donc ay+ =5y+ y 5x+ [6] = 5y 5 5x+ 5 [6] On sait que 5a [6] donc 5 5 [6] et donc 5 5x x [6] On peut donc dire que 5y x+ 5 [6] donc que 5y+ x+ 5 [6]. Or 5= 6 donc 5 [6]. Donc 5y+ x [6] On sait que x est le nombre correspondant à une lettre donc x 5. } 5y+ x [6] = x est le reste de la division de 5y+ par 6 x 5 4. La lettre N correspond au nombre 3. On cherche donc le nombre x tel que y = f x) soit égal à 3. Si y = 3, alors x est le reste de la division de 5y+ par = 37 et 37=6 +5 donc x = 5 La lettre qui est codée N correspond au nombre 5 donc c est P. 5. Soit une lettreωcorrespondant au nombre x. Elle se code en une lettreω correspondant au nombre x, reste de la division de 5x+ par 6, donc x 5x+ [6]. Si on cherche à coderω, on aura la lettreω correspondant au reste x de la division de 5x + par 6 donc x 5x + [6]. } x 5x+ [6] = x x 5x + [6] 55x+ )+ [6] x 6x+ 4 [6] 6=6 + donc 6 [6] et donc 6x x [6] 4=6 4 donc 4 [6] Donc x 6x+ 4 [6] x x [6] Et comme x et x sont tous les deux des restes dans la division par 6, x = x. Cela veut dire que si on applique deux fois la fonction de codage f à un nombre correspondant à une certaine lettre, on retrouve ce nombre : f f x))= x. Ce sera encore vrai si on applique un nombre pair de fois la fonction de codage. Donc si on applique fois de suite la fonction de codage f à un nombre correspondant à une certaine lettre, on obtient la lettre du départ. Antilles-Guyane 8 septembre 5