MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base

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1 MATHÉMATIQUES II Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (, ij) On notera o = (,) 00 l origine du plan Tout élément ( xy, ) de IP peut s interpréter comme un point p de coordonnées ( x, y) dans le repère ( oi,, j), ou comme un vecteur p de coordonnées ( xy, ) dans la base (, ij) Pour deux vecteurs u, v de IP, on note alors uv leur produit scalaire et det( u, v) leur déterminant dans toute base orthonormale directe ; on désigne par U l ensemble des vecteurs de norme 1, et pour tout θ IR, on note ( u( θ), v( θ) ) le repère polaire, défini par : u( θ) = cosθ i + sinθ j, v( θ) = sinθ i + cosθ j On rappelle qu étant donnés m IP et w IP \{ 0}, la droite affine passant par m et de vecteur directeur w est l ensemble d des éléments de IP pouvant s écrire m + λw, avec λ IR, c est à dire : d = m+ IR w = { p IP λ IR, p = m + λw} On appelle alors axe du plan IP tout couple δ = ( dw, ) formé d une droite affine d, appelée support de δ, et d un vecteur w, vecteur directeur de d de norme 1 Un axe est ainsi une droite affine orientée Réciproquement, chaque droite affine d définit deux axes d orientations opposées : ( dw, ) et ( d, w) En notant Δ l ensemble des axes du plan IP, on va successivement : construire un modèle cylindrique de Δ et y analyser quelques situations de géométrie élémentaire, étudier sur le cylindre représentant Δ les transformations correspondant aux isométries du plan IP Concours Centrale-Supélec /6

2 Partie I - Modèle cylindrique de l ensemble des axes du plan h δ On note IE l espace vectoriel IR 3, muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique ( I, J, Dans tout le problème, les lettres minuscules désigneront les objets relatifs à IP (points, vecteurs, droites, coordonnées), tandis que les majuscules concerneront les objets relatifs à IE ; on notera ainsi ( xy, ) les coordonnées des éléments de IP dans la base (, ij) et ( X, Y, Z) celles des éléments de IE dans la base ( I, J, IA - Caractériser l ensemble C = U IR par une équation cartésienne en ( X, Y, Z), puis montrer que C est un cylindre de révolution de IE dont on précisera l axe de révolution, les génératrices et les parallèles IB - IB1) On considère un axe δ = ( dw, ) défini par m IP et w U, en posant : d = m+ IR w Montrer que lorsque p décrit la droite d, le réel det( pw, ) reste constant ; on notera sa valeur Interpréter géométriquement ce réel h δ à l aide du projeté orthogonal m 0 de l origine o sur d Montrer que m 0 = h δ r π 2 ( w) où r π 2 est la rotation vectorielle d angle +π 2 IB2) Soient w = u( θ) pour θ IR, et k IR ; considérant l axe δ = ( duθ, ( )) avec : d = kv( θ) + IR u( θ), calculer h δ et caractériser d par une équation cartésienne en ( xy, ) IB3) Montrer que l application H : δ = ( dw, ) a ( wh, δ ) définit une bijection entre Δ et le cylindre C Soit M = ( w, k) C ; indiquer par un schéma la construction de δ = H 1 ( M) à partir de w et k dans le cas k > 0 Concours Centrale-Supélec /6

3 À chaque axe δ de Δ est ainsi associé bijectivement un point de C Le cylindre C, image de Δ par H, devient ainsi une représentation de l ensemble des axes On se propose dans le reste de cette partie de déchiffrer sur cette représentation quelques propriétés géométriques relatives aux axes du plan IP IC - Chaque partie du cylindre C est l image par la bijection H d une partie de Δ Caractériser précisément en termes géométriques les ensembles des axes du plan IP correspondant respectivement : à une génératrice de C ; à l ensemble U { 0} ; à un parallèle de C ID - ID1) Soit, dans le plan IP, la rotation r de centre o et d angle ω IR qui se confond avec la rotation vectorielle d angle ω Pour tout axe δ = ( dw, ), on considère alors l axe ( rd ( ), r( w) ), que l on note r() δ On définit ainsi une application r de Δ dans Δ et il en résulte une application R de C dans C qui à M = H( δ) associe RM ( ) = Hrδ ( ( )) Montrer que h r( δ) = h δ En déduire que R correspond à la restriction à C d un endomorphisme R de l espace vectoriel IE On précisera cet endomorphisme et on en donnera la matrice dans la base ( I, J, ID2) On condidère l application de C dans C obtenue par restriction à C de la symétrie S de centre O = ( 000,, ) (confondue avec l endomorphisme U a U de IE ) Par l intermédiaire de H 1, il lui correspond une application σ de Δ dans Δ Déterminer cette application ; provient-elle d une isométrie de IP, comme c était le cas pour l application r de la question ID1? IE - Pour α > 0, on considère le point a = ( α, 0) de IP et on appelle faisceau des axes passant par a l ensemble Δ a des axes dont le support passe par a ; on veut déterminer l ensemble H( Δ a ) IE1) Caractériser par une relation entre k et θ les éléments ( u( θ), k) de C appartenant à H( Δ a ) IE2) Montrer que H( Δ a ) est l intersection de C et d un plan vectoriel de E IE3) Établir que l ensemble H( Δ a ) est une ellipse dont on précisera le centre, l axe focal, le demi-grand axe, le demi-petit axe, la distance focale et l excentricité Concours Centrale-Supélec /6

4 IE4) Représenter sur un même schéma cette ellipse ainsi que l intersection de C avec le plan XOY IF - IF1) Soit maintenant m un point quelconque de IP et Δ m le faisceau des axes passant par m ; déduire des questions précédentes la nature et la position de l ensemble H( Δ m ) IF2) Réciproquement, étant donné un plan vectoriel P de IE, préciser selon la direction de P la nature de l ensemble H 1 ( P C) IF3) Soient δ 1, δ 2, δ 3 trois axes caractérisés respectivement par les relations H( δ i ) = ( u( θ i ), k i ) Démontrer que leurs supports sont tous concourants ou tous parallèles si et seulement si : k 1 sin( θ 3 θ 2 ) + k 2 sin( θ 1 θ 3 ) + k 3 sin( θ 2 θ 1 ) = 0 IG - On appelle cycle γ de IP tout cercle de IP orienté par une paramétrisation ; un axe δ est tangent à ce cycle si son support est tangent au cercle correspondant, avec des orientations de δ et γ concordantes IG1) Soit P un plan vectoriel de IE et λ IR ; on considère le plan affine Q = P+ λk obtenu par translation du plan P, de vecteur λk Montrer que ce procédé fournit tous les plans affines de IE à l exception d un ensemble de plans que l on précisera IG2) On considère un tel plan affine Q = P+ λk, non vectoriel c est-à-dire ne contenant pas l origine O = ( 000,, ) Démontrer que Q C est l image par H de l ensemble des axes tangents à un cycle que l on précisera Si Q coupe la droite OZ en Ω, que représente la distance OΩ? Préciser la nature géométrique de l ensemble Q C IG3) Montrer que réciproquement, tout cycle de IP peut être associé à un plan affine de IE IG4) Soit ( abc,, ) un triangle du plan IP ; en orientant les droites ( ab), ( bc) et ( ca) par les vecteurs ab, bc et ca, on obtient trois axes représentés par trois points du cylindre C Montrer que ces trois points de C définissent un plan affine Q de IE, associé à un cycle γ de IP comme en IG2 et IG3 Quelle est la particularité de ce cycle relativement au triangle ( abc,, )? Concours Centrale-Supélec /6

5 Partie II - Transformations de l ensemble des axes du plan IIA - On considère dans cette question la translation t de IP, de vecteur τ = αi + β j non nul À tout axe δ = ( dw, ), on associe l axe δ = ( td ( ), w) que l on note t( δ) On définit ainsi une application t de Δ dans Δ dont on déduit une application T de C dans C qui à M = H( δ) associe T( M) = Htδ ( ( )) IIA1) En reprenant les notations de la question IB, exprimer h δ en fonction de h δ, w et τ IIA2) Montrer que T correspond à la restriction à C d un endomorphisme T de l espace vectoriel IE dont on donnera la matrice dans la base ( I, J, IIA3) Montrer que l ensemble des vecteurs de IE invariants par T est un plan vectoriel P que l on précisera L endomorphisme T est-il diagonalisable? IIA4) Déterminer l ensemble H 1 ( P C) et indiquer ce qu il représente visà-vis de la translation t IIB - Soit ϕ un automorphisme orthogonal de IP À tout δ = ( dw, ), on associe ϕδ () = ( ϕ( d), ϕ( w) ), ce qui définit une application ϕ de Δ dans Δ, puis l application Φ de C dans C qui à M = H( δ) associe Φ( M) = H( ϕδ ( )) IIB1) Montrer que Φ correspond à la restriction à C d un endomorphisme Φ dont on exprimera la matrice dans la base ( I, J, à l aide de la matrice N de ϕ dans la base (, ij) IIB2) Soit maintenant ϕ une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle d 0 de IP L endomorphisme Φ de IE est-il diagonalisable? Caractériser Φ en termes géométriques Pour chaque sous-espace propre IE i de Φ, interpréter H 1 ( IE i C) vis-à-vis de la symétrie ϕ IIC - On rappelle que toute isométrie f de IP peut s écrire de manière unique sous la forme f = to ϕ où t et ϕ sont respectivement une translation et un automorphisme orthogonal de IP ; avec les notations des questions IIA et IIB, on pose alors : f = to ϕ, F = T o Φ et F = T o Φ IIC1) Montrer que l endomorphisme F ainsi obtenu a dans la base ( I, J, une matrice de la forme : 0 N 0 λ μ det N, où N désigne une matrice réelle orthogonale d ordre 2 et ( λμ, ) un couple de réels Exprimer le vecteur λ i + μ j à l aide de α, β, i, j et ϕ Concours Centrale-Supélec /6

6 IIC2) À quelle condition, portant sur N, λ et μ, F est-il diagonalisable? Déterminer les isométries f correspondantes IID - On veut maintenant étudier si d autres endomorphismes F de IE pourraient correspondre, par restriction à C et par l intermédiaire de H 1, à d autres transformations de IP IID1) Démontrer que toute homothétie de IP, de centre o et de rapport k> 0 correspond bien par les procédés utilisés précédemment à un endomorphisme de IE dont on donnera la matrice IID2) Soit F un automorphisme de IE tel que F( C) C Montrer que les projections orthogonales de F( I) et F( J) sur le plan XOY sont orthonormées En déduire que F a dans la base ( I, J, une matrice de la forme : N 0 0 λ μ ν, où N désigne une matrice réelle orthogonale d ordre 2 et ( λ, μ, ν) un triplet de réels IID3) Établir que les endomorphismes F de IE, tels que F( C) C et de déterminant strictement positif, correspondent aux similitudes de IP IID4) Que faut-il penser de ce point de vue des endomorphismes de IE tels que F( C) C et de déterminant strictement négatif? FIN Concours Centrale-Supélec /6

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