Trigonométrie Angles inscrits Angles au centre

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1 Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre JE FIS E PINT SUR MES NNISSNES 1 a) vec le cos : arrondi et troncature x 9,2 cm (9,237 ) b) vec le cos : arrondi x 8,2 cm (8,191 ), troncature x 8,1 cm c) vec le cos : arrondi et troncature x 22,6 (22,619 ) 2 a) n utilise une propriété du parallélogramme puis une propriété des droites. b) Propriété du triangle inscrit dans un cercle. c) Médiane et triangle rectangle. d) Réciproque du théorème de Pythagore. 3 a) x = 180 ( ) = 62 b) x = 3 (angles alternes-internes) y = = 127 (angles supplémentaires) z = 3 (angles opposés par le sommet ou angles correspondants) es exercices d application sont corrigés dans le livre de l élève à la page 28. RÉTIVER ES NNISSNES cos = 9 cos 2 = cos 2 = 9 9 = cos 2 9,9 cm (9,930 ) 6 vec le cosinus : 6, cm (6,72 ) 7 vec le cosinus : ^ 6 (6,21 ) 8 a) n sait que [EF] est un diamètre d un cercle et M un point de ce cercle. Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point de ce cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. onc EMF est un triangle rectangle en M. b) n sait que I est le milieu de [] dans le triangle et que I = cm et = 8 cm. Si dans un triangle la médiane issue d un sommet a une longueur égale à la moitié du côté opposé à ce sommet, alors le triangle est rectangle en ce sommet. onc le triangle est rectangle en. c) n sait que (PR)//(UV) et (T) (PR). Si deux droites sont parallèles, et si une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est perpendiculaire à l autre. onc (T) (UV) 9 P 2 + P 2 = 3, = 79,21 et 2 = 79,21 onc le triangle P est rectangle en P (réciproque du théorème de Pythagore) 10 a) P^ =90 b) I^ = 26 et T^ =128 c) ^ = P^ =7 11 a = e = g = 38 et b = c = h = f =12 12 a) Vrai b) Faux c) Faux d) Faux e) Faux EXERIES FNMENTUX 13 a) hypoténuse est [R], le côté adjacent à R^ est [R], le côté opposé à R^ est []. b) sin (R^) = R tan (R^) = R R cos (R^) = R 1 EF E cos (E^) = E = EG F G F G sin (E^) = E = GE tan (E^) = FE = E 1 et exercice est corrigé dans le livre de l élève à la page 28. HPITRE 12 - RRIGÉS ES EXERIES 1

2 16 a) tan (P^) b) sin (P^) c) cos (P^) 30 b) ^ = 30 (valeur exacte) (avec sin (^)) 17 a) sin (28 ) 0,69 (0,69 7 ) 31 a) I = 67 (67, 38 ) (avec sin (I)) b) sin (6 ) 0,899 (0,898 7 ) b) RTI 67 (67,38 ) (avec tan (RTI)) c) tan (3 ) 0,700 (0,700 2 ) d) tan ( ) = 1 32 a) T 3 (3,130 ) (avec sin (T)) 18 b) 37 (36,869 ) (avec tan ()) a) sin () 0, (0, 6 ) tan () 0,69 (0,69 ) 33 et exercice est corrigé dans le livre de b) sin () 0,882 (0,882 3 ) l élève à la page 28. tan () = 1,87 19 a) cos (GV) 0,88 (0,87 78 ) sin (GV) 0,809 (0,809 0 ) tan (GV) 1,376 (1,376 3 ) b) cos (GV) 0,862 (0,861 3 ) sin (GV) 0,08 (0,07 6 ) tan (GV) 0,89 (0,89 2 ) 20 a),6 cm (,91 ) avec sinus dans le triangle rectangle en. b) 8,6 cm (8,78 ) avec tangente dans le triangle rectangle en. 21 b),9 cm (,89 ) avec sinus dans le triangle R rectangle en R. 22 b) S,2 cm (,201 ) avec tangente dans le triangle US rectangle en. 23 et exercice est corrigé dans le livre de l élève à la page MR,2 cm (,230 ) 2 et exercice est corrigé dans le livre de l élève à la page Monsieur Théo olite mesure et ^. = tan (^) 27 a) x = 9 (9,8 ) b) x = 1 (0,832 ) c) x = 1 (1,036 ) d) x = 76 (7,999 ) e) impossible. f) x = 67 (66,01 ) 28 a) ^ 27 (26,6 ) b) ^ 39 (38,682 ) 29 b) ^ = 6 (6,309 ) (avec tan (^)) 3 a) E, E, E interceptent l arc E. b), E, interceptent l arc. 3 R = 80 donc RS = 0 (demi-angle au centre) 36 = 28 donc = 6 (double angle inscrit) 37 = 60 donc = 30 (demi-angle au centre) 38 MPK = 30 donc MK 60 (double angle inscrit) 39 Non corrigé. 0 Non corrigé. 1 n montre que le triangle PM est rectangle en P avec une propriété des droites puis on calcule : PM 9,7 mm (9,71 ) avec sin (PM). 2 n montre que le triangle T est rectangle en T avec la réciproque du théorème de Pythagore puis on calcule : R 18 mm (18,27 ) avec cos (TR). 3 n montre que le triangle GEF est rectangle en G avec la somme des angles du triangle puis on calcule : GF,2 cm (,201 ) avec tan (GEF). n montre que le triangle I est rectangle en I avec la propriété du triangle inscrit dans un cercle puis on calcule : I 2,3 cm (2,29 ) avec sin (I). n montre que le triangle est rectangle en avec la propriété de la médiane puis on calcule : 7 mm (7,229 ) avec tan (). 2 HPITRE 12 - RRIGÉS ES EXERIES

3 6 n calcule = 3 mm avec le théorème 8 IM 39 (théorème de Thalès dans le de Pythagore dans le triangle puis 0,9 mm (0,96 ) avec cos (). triangle I soit : I = 32 mm puis cosinus dans le triangle IM rectangle en M soit : 7 n calcule K = 30 mm avec le théorème de Thalès puis EK 1 (1,631 ) avec tan (EK). 8 n calcule TP = 12 cm avec la propriété de la médiane d un triangle rectangle puis SP 7,7 cm (SP = 7,713 ) avec sin (STP). 9 ire =32m 2 donc TP = 32 = 8 m. SP 6,7 m (6,72 ) avec cos (TPS). 0 n calcule EG 3,9 cm avec sin (EGH) puis EF 2,7 cm (2,773 ) avec tan (EGF). 1 RM = 9 m (8,98 ) (MRE = 8 puis RM avec sin (MRE)) 2 SI,2 cm (P^ dans le triangle PT puis tan (SPI) dans le triangle PSI soit IS =,1961 ) 3 b) n montre que le triangle SRT est rectangle en S avec la réciproque du théorème de Pythagore puis on calcule : STR 8 (8,109 ) avec sin (STR) ou cos (STR) ou tan (STR) b) T 67 (67,97 ) (n montre que le triangle T est rectangle en avec la propriété du triangle inscrit dans un cercle puis on utilise cos (T)). n montre que le triangle RM est rectangle en avec la propriété de la médiane, puis on calcule : RM 21 (20,92 ) avec sin (RM). 6 6 (sinus dans le triangle rectangle : = 22,88 puis = 2 =,77 ) 7 P 13 (théorème de Pythagore dans le triangle P soit P = 0 puis une tangente dans le triangle P soit P = 12,680 ) IM = 38,62 ) 9 MS = 10 cm car le triangle MIS est rectangle en I et IK est la médiane issue de l angle droit. MS 6 (6,380 avec sinus dans le triangle MS rectangle en M). 60 TU 7 cm (7,09 avec sinus dans le triangle MUT rectangle en M) ire de TUE = U TU = 7 =3cm 2 61 a) 21 cm (avec tangente dans le triangle rectangle en soit = 20,977 ) b) 29 cm (avec tangente dans le triangle rectangle en soit = 28,79 ) c) = cm 62 a) 0,30 m (avec cosinus dans le triangle rectangle en soit : = 0, ) b) Hauteur de = 10,09 m (tangente dans le triangle rectangle en soit : =,91 m puis hauteur = 1,91) 63 ET, cm (avec tangente dans le triangle FU rectangle en U soit : F^= 26,6 puis sinus dans le triangle ETF rectangle en T soit : ET =,72 ) 6 F 23,0 m (tangente dans le triangle rectangle en soit = 8,66 puis tangente dans le triangle F rectangle en : F = 32,16 alors F = 32,16 8,66 = 23,0) 6 a) ongueur de la laisse : 9,33 m (avec sinus dans le triangle IH rectangle en H soit : I = 9,33 ) b) llongement : 2,16 m (tan (HI) dans le triangle IH rectangle en H soit : H = 7,10 puis avec le théorème de Pythagore dans le triangle HE soit : E = 11,9 et enfin E I = 11,9 9,33 = 2,160 m) Il y a d autres méthodes possibles. 66 a) n montre que le triangle PM est rectangle en M avec la réciproque du théorème de Pythagore. HPITRE 12 - RRIGÉS ES EXERIES 3

4 b) MP 62 (avec sinus (MP) soit : MP = 61,927 ou cosinus ou tangente) c) n calcule NS avec le théorème de Thalès : NS =,8 cm d) n montre que : (E)//(M) avec la réciproque de Thalès dans le triangle MP. 67 a) F = 13 cm (théorème de Thalès dans le triangle E) b) Réciproque du théorème de Pythagore c) tan (E) 0,16 6 d) E 23 (22,619 ) 68 = 22 (ans le triangle, on a : ^ = puis = demi-angle au centre) 69 ^ = E^ = 0 (angles inscrits) puis = = a) vec la propriété du triangle inscrit dans un cercle, on démontre que le triangle est rectangle en. b) omme et interceptent le même arc, on a : = = 60 ans le triangle, on a : = 180 ( ) = 30 utre méthode : es points et sont équidistants de et, donc () est la médiatrice de [] et comme le triangle est équilatéral, () est aussi la bissectrice de donc = 60 2 = a) vec la propriété du triangle inscrit dans un cercle, on démontre que le triangle MH est rectangle en M. b) MH 36 (sinus dans le triangle MH rectangle en M : MH = 36,078 ) c) HM = = omme HTM et HM interceptent le même arc on a : HTM = HM = 72 1 cos (x) = 2 (cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1) 73 1 sin (x) = 3 (cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1) es exercices de Je fais le point sur le chapitre et Je m entraîne pour le contrôle sont corrigés dans le livre de l élève aux pages 286 et 287. EXERIES PPRFNISSEMENT 9 a) Q^ = 1, (1,09 ) avec cosinus dans le triangle PQR rectangle en Q b) PR =,290 m avec sinus dans le triangle PQR rectangle en Q. onc hauteur de la masse : PR R = 3,29 m 96 et exercice est corrigé dans le livre de l élève à la page R 3,1 (avec tangente dans le triangle R rectangle en ) I 36,9 (avec somme des angles du triangle PR rectangle en P) 98 a) T^ 36,869 avec tangente dans le triangle TUR rectangle en R puis RS =,8 cm (,80 avec sinus dans le triangle TRS rectangle en S. Remarque : on peut aussi utiliser l aire de TRU) b) S 1, (TS = 6, cm avec cosinus dans le triangle TRS puis T = 10 par le théorème de Pythagore dans le triangle TRS et enfin S = TS T 1, cm) 99 = d où H = 11 2 H 2 (2,109 ) (avec tangente dans le triangle H rectangle en H) IH 2 (1,963 ) (avec tangente dans le triangle IH rectangle en H) ,23 et 33,809. ongueur d un tour : 8 m (8, 232 ) Il faut calculer toutes les longueurs. 101 et exercice est corrigé dans le livre de l élève à la page a somme des angles du triangle R est de 180 donc x +9 +2x +2x +11 =180 onc x + 20 = 180 donc x = 32. R = 82 et R = 1 a b 103 sin (x) a) ire = 2 c) ire du triangle : 6, cm 2 (6,27 ) HPITRE 12 - RRIGÉS ES EXERIES

5 10 b) H = 36 et H,0 cm (,0 ) c) ire du pentagone 9, cm 2 (9,1 ) d) a formule donne : 9, cm 2 10 (sin x + cos x) 2 2 sin x cos x = (sin x) 2 + (cos x) sin x cos x 2 sin x cos x = (sin x) 2 + (cos x) 2 = c) e cosinus n est pas proportionnel à l angle car la courbe obtenue n est pas une droite passant par l origine. 107 a) = 2 G = 10 b) n démontre que le triangle G est rectangle en avec la propriété du triangle inscrit dans un cercle. c) 17,196 (avec sin (G) dans le triangle G rectangle en ) istance parcourue par Florent : 18,3 18,3 + + = , = 3,96 m G 6,28 (avec cosinus dans le triangle G rectangle en ) istance parcourue par Sylvain : 18,3 18,3 + G + G = + + 6, = 2,8 m 108 a) ans le triangle rectangle en, on a : = 27 = 9 3 = 3 3 b) (1) (NS) et () sont perpendiculaires à (E) donc (NS)//(). (2) vec le théorème de Thalès, on trouve : S = 10 et ES = 3 c) N,8 cm (,773 ) (avec cos (NE) dans le triangle NE rectangle en E) d) = 60 (cos () dans le triangle rectangle en ) SE et sont opposés par le sommet onc : SE = lors NS = NE + SE = = 90 onc le triangle NS est rectangle en. HPITRE 12 - RRIGÉS ES EXERIES

6 ontrôle du chapitre 1 Énoncés des contrôles 1 En utilisant les lettres de la figure ci-contre, écrire : P cos PU, tan PMU, sin MPU. M u 2 a. alculer l arrondi à 0,1 cm près de. b. alculer l arrondi à 0,1 cm près de. 3 ontrôle du chapitre 12 Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre a. alculer la troncature au degré près de b. alculer la troncature au degré près de l angle EP. 3 cm 29 8 cm l angle P. 3 cm cm 7 cm E P cm alculer la mesure de l angle. P Tracer un triangle M rectangle en et tel que M = 30 et M = 6 cm. onstruire les points,,, E, F tels que EF soit un hexagone régulier dont le centre est. 6 a. Tracer un cercle de centre et de diamètre [] tel que = 8 cm. Placer le point sur le cercle tel que = cm. b. émontrer que le triangle est un triangle rectangle. c. alculer l angle. d. alculer l angle puis démontrer que le triangle est équilatéral. e. émontrer que = 3 cm Exercice bjectif arème 1, 1, + 1, 1, + 1, , HPITRE 12 - ÉNNÉS ES NTRÔES

7 orrigés des contrôles hapitre 12 Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre 1 P UP MU cos PU =, tan PMU =, sin MPU = PU UM MP 2 a. ans le triangle rectangle en : sin (^) = sin (3 ) = sin (3 ) = = sin (3 ) 7,0 cm (6,973 ) b. ans le triangle rectangle en : tan () = tan (29 ) = 8 = 8 tan (29 ) onc, cm (,3 ) 3 a. ans le triangle EP rectangle en P : EP cos (EP) = E cos (EP) = 7 EP (,1 ) b. ans le triangle P rectangle en : P tan (P) = 3 tan (P) = P 30 ( ) n sait que = car est le centre du cercle. onc le triangle est isocèle en. où = = = 70 angle inscrit intercepte le même arc que l angle au centre, donc = 2 = 70 2 = 3 M E F 6 b. n sait que [] est un diamètre et un point du cercle. Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d un diamètre et un point du cercle alors le triangle est rectangle en ce point. onc le triangle est un triangle rectangle en. c. ans le triangle rectangle en on a : sin () = sin () = 8 = 30 d. angle inscrit intercepte le même arc que l angle au centre, donc = 2 = 30 2 = 60 n sait que = car est le centre du cercle. onc le triangle est isocèle en. ou = = (180 60) 2 = 60 omme = = = 60, le triangle est équilatéral. e. n sait que le triangle est rectangle en. après le théorème de Pythagore on a : = = = = 8 = 8 = 16 3 = 3 cm. HPITRE 12 - RRIGÉS ES NTRÔES 7

8 Mini-tests MINI-TEST 12 : Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre Exercice 1. Quelles sont les égalités vraies? R R RE a. cos RS = b. cos RS = RS R ES R c. sin ES = d. sin SR = E SR E RE e. tan RS = f. tan RE = RE R Exercice 2. a. alculer l arrondi à 0,1 cm près de. 3 cm 0 b. alculer l arrondi à 0,1 cm près de. E 26 cm S Exercice 3. a. alculer la troncature au degré près de l angle. b. alculer la troncature au degré près de l angle MER. E Exercice. alculer la mesure des angles R,, M. 22 mm 0 mm R mm 2 mm M M centre du cercle = 0 et,, alignés R 8 HPITRE 12 - MINI- TESTS

9 Exercices rituels Fiche 17 Trigonométrie Toutes les mesures sont exprimées dans la même unité. es dessins ne sont pas tracés à l échelle. Exercice 1. alculer EF. Exercice. alculer P. Exercice 7. alculer la mesure de l angle EF. Exercice 10 Quelle est la mesure des angles et? E E 8 P F F M Exercice 2. alculer F. Exercice. alculer M Exercice 8. alculer la mesure de l angle TGF. Exercice 11 Quelle est la mesure des angles et? T F E 7 0 P 7 0 F 12 G M Exercice 3. alculer K. Exercice 6. alculer la mesure de l angle HJ. J Exercice 9. alculer la mesure de l angle GS. S 7 Exercice 12 Quelle est la mesure des angles et? H G K HPITRE 12 - EXERIES RITUES 9

10 Fiches TIE hapitre 12 Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre F 1 Fiche professeur ondition d utilisation : Présentation devant la classe avec un vidéo projecteur ou un tableau interactif. éroulement : uvrir le fichier Géogébra «h 12 F 1 «. Un triangle rectangle en apparaît à l écran. a figure ci-dessous apparaît :,07 2,9 37,7 3,22 = 0,77 = 0,61 Mettre le pointeur sur le point et déplacer ce point. a valeur de l angle ^ ne change pas ainsi que les deux rapports affichés. Mettre ensuite le pointeur sur le point et déplacer ce point. a valeur de l angle ^ change ainsi que celles des deux rapports affichés. n peut alors faire énoncer aux élèves la conjecture que pour un angle fixé, les rapports sont fixés mais que ces rapports dépendent de l angle choisi. Fiche élève Si la classe est initiée à l utilisation de Géogébra (ou d un logiciel équivalent) on peut proposer le travail suivant. onsignes : onstruire un triangle rectangle en. Faire afficher les mesures de l angle ^ et des côtés du triangle. Faire afficher les rapports et. éplacer l un des points de telle sorte que l angle ^ ne change pas mais que les mesures des côtés changent. bserver et compléter : «Pour un angle ^ fixé les rapports et» éplacer l un des points de telle sorte que l angle ^ change. bserver et compléter : «Quand l angle ^ varie les rapports et» 10 HPITRE 12 - FIHE TIE F 1

11 Fiches TIE hapitre 12 Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre F 7b) Fiche professeur ondition d utilisation : Présentation devant la classe avec un vidéo projecteur ou un tableau interactif. éroulement : uvrir le fichier Géogebra «h 12 F 7b)». a figure ci-dessous apparaît : 33,1 33,1 a. Mettre le pointeur sur le point et déplacer ce point. Faire constater aux élèves que la valeur de l angle ^ ne change pas : elle reste égale à celle de l angle ^. Mettre le pointeur sur le point et déplacer ce point. Faire constater aux élèves que la valeur de l angle ^ et celle de l angle ^ changent mais elles restent égalent entre elle. b. Mettre le pointeur sur le cercle et l agrandir puis recommencer la partie a. Si la classe est initiée à l utilisation de Géogebra (ou d un logiciel équivalent) on peut proposer le travail suivant. Fiche élève Faire afficher un cercle de centre. Placer deux points et sur le cercle. Faire afficher deux angles inscrits dans le cercle qui interceptent l arc. n les nomme et. Faire afficher les mesures de ces deux angles. Que constate-t-on? éplacer le point (ou le point ). Que constate-t-on? HPITRE 12 - FIHE TIE F 7 b) 11

12 Fiches TIE hapitre 12 Trigonométrie ngles inscrits ngles au centre F 7c) Fiche professeur ondition d utilisation : Présentation devant la classe avec un vidéo projecteur ou un tableau interactif. éroulement : uvrir le fichier Géogebra «h 12 F 7c)». a figure ci-dessous apparaît : 3, 86,8 a. Mettre le pointeur sur le point (ou le point ) et déplacer ce point. Faire constater aux élèves que la valeur de l angle ^ et celle de l angle ^ changent mais la valeur de l angle ^ reste le double de celle de l angle ^. b. Mettre le pointeur sur le cercle et l agrandir puis recommencer la partie a. Si la classe est initiée à l utilisation de Géogebra (ou d un logiciel équivalent) on peut proposer le travail suivant. Fiche élève Faire afficher un cercle de centre. Placer deux points et sur le cercle. Faire afficher l angle et un angle inscrit dans le cercle qui intercepte l arc. n le nomme. Faire afficher les mesures de ces deux angles. Que constate-t-on? éplacer le point (ou le point ). Que constate-t-on? 12 HPITRE 12 - FIHE TIE F 7 c)