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1 Le sujet

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3 Programme officiel

4 Proposition de corrigé Introduction La notion de probabilité, en lien direct avec les statistiques, est introduite dans les programmes du collège depuis la rentrée Elle a pour objectif d initier les élèves aux phénomènes aléatoires et à la compréhension des erreurs et approximations commises dans divers domaines liés, entre autre à l information dans la vie courante : sondages, météo, pharmacologie, bourse, jeux de hasard etc. Plus généralement, la notion de probabilité permet d aborder l incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle. Travail demandé 1. Activité d introduction à la notion de probabilité. Objectifs : Introduction à la notion de probabilités par une approche dite fréquentiste. La probabilité qu un événement se réalise est la limite des fréquences de réalisation observées en répétant de plus en plus de fois l épreuve conduisant à l événement. TICE : Utilisation de l outil informatique pour simuler des expériences difficilement réalisables dans la réalité. Programmation d une cellule (Fonctions ALEA.ENTRE.BORNES et NB.SI du tableur), création d un graphique, analyse résultats obtenus. Conjecturer un résultat. 2. Exercices d illustration Exercice 1. Deux dés ont été lancés 6000 fois chacun. Les résultats pour chaque dé ont été consignés dans les tableaux suivants : Dé n 1 Dé n 2 a. Selon vous, y a-t-il un dé truqué? Justifier votre réponse. b. Pour le dé n 1, donner la probabilité correspondante aux événements suivants : A : La face affiche un nombre pair. B : La face affiche un nombre impair. C : La face affiche un multiple de 3. D : La face affiche un nombre pair et multiple de 3. E : La face affiche un nombre pair ou multiple de 3. c. Recalculer les mêmes probabilités pour le dé n 2.

5 Exercice 2. Le facteur Rhésus Dans une population, les groupes sanguins sont répartis suivant l un des quatre groupes A, B, AB et O et, d autre part, suivant le facteur rhésus + ou -. La répartition en pourcentage est la suivante. Groupe A B AB O Total Rhésus + 32,8 8,1 4,15 36 Rhésus - 7,2 1,9 0,85 9 Total 1. Compléter le tableau ci-dessus. 2. Un individu est pris au hasard, quelle est la probabilité : a) qu il soit du groupe O? b) qu il ait un rhésus négatif? c) qu il soit du groupe O ou qu il ait un rhésus négatif? 3. Un individu du groupe O est pris au hasard, quelle est la probabilité qu il ait un rhésus négatif? Exercice 3. La roulette aléatoire 1. On actionne la roulette aléatoire ci-contre, où les 2 secteurs A et B ont des angles au centre de mesures respectives 60 et 90. Donner la loi de probabilité associée aux 3 issues {A, B, C}. 2. On considère le jeu suivant : On mise 10 puis on actionne deux fois de suite la roulette et on note les lettres des deux secteurs obtenus. Si un joueur obtient deux fois le secteur A, il gagne 20, s il obtient au moins une fois le secteur A, il gagne 10, il perd dans les autres cas. a) Modéliser à l aide d un arbre les issues possibles de ce jeu. b) Calculer la probabilité qu un joueur gagne 20. c) Calculer la probabilité qu un joueur perde sa mise. d) En déduire la loi de probabilité liée à cette expérience. 3. Est-il possible de créer d autres règles du jeu? Si oui lesquelles? Calculer dans ce cas la probabilité de gagner un montant supérieur à la mise.

6 Fiche d exposé 1. Résolution complète d un exercice relatif au thème choisi 2. Résolution de l exercice suivant. (Dit Paradoxe de Bertrand 1 ) Soit ABC un triangle équilatéral de côté de longueur L, inscrit dans un cercle C de centre O et de rayon R et H le pied de la hauteur issue de A. a) Montrons que L = 3 R Le triangle ABC étant équilatéral la hauteur issue de A est confondue avec la médiane issue de A. On en déduit que H est le milieu du segment [BC] et que AO = 2 3 AH. Cette égalité s écrit aussi AH = 3 2 AO i.e. AH = 3 2 R. Le théorème de Pythagore appliqué au le triangle ABH rectangle en H permet alors d établir que L = 3 R b) Soit M un point de C et calculons la probabilité de l événement «AM > L» Notons A le point diamétralement opposé à A et I et J les projetés orthogonaux de O sur les segments [AB] et [AM] respectivement. Remarquons que J est le milieu du segment [AM]. En effet les droites (OJ) et (A M) sont parallèles car perpendiculaires à la même droite (AM) et O est le milieu du segment [AA ].

7 Soit E l ensemble des point du cercle C tels que AM > L E car A E (en effet AA = 2R > L) Montrons que E est l arc de cercle BC ne contenant pas le point A. On a B E et C E car AB = AC = L. Considérons alors un point M appartenant à l arc BC ne contenant pas le point A. Par des considérations d angles géométriques on a OAI = OAC = OAJ + JAC > OAJ D où OA.cos(OAJ) OA.cos(OAI) (Car cos est décroissante sur [O ; π]) ie AJ > AI. Finalement 2AJ > 2AI soit AM > L. En intervertissant les rôles de M et C On montre de la même manière que si M appartient à l arc BC contenant le point A alors AM < L. Conclusion. L ensemble E est l arc BC ne contenant pas A. Calculons P(AM > L) On supposera que la probabilité d appartenir à un arc de ce cercle est proportionnelle à sa longueur, On a alors : P(AM > L) = Longueur de l arc BC Longueur du cercle = 2π 3 R 2π R = 1 3 c) Soit M un point du diamètre [AA ], [PQ] la corde perpendiculaire en M à [AA ] et calculons P(PQ>L). Notons F l ensemble des points M du diamètre [AA ] tels que PQ > L. F car O F (en effet PQ = 2R > L) Montrons que F est l ensemble des points du segment ]HH [ où H est le symétrique de H par rapport à O. H F en effet PQ = BC = L

8 Soient I et J deux points tel que I ]OH[ et J ]HA [ ; [PQ] et [P Q ] les cordes perpendiculaires en I et J à la droite (AA ). On a alors OI < OH < OJ et en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles OIP, OHC et OJP on déduit que IP > HC > JP d où PQ > BC > P Q (en multipliant par 2) ie PQ > L > P Q. Conclusion. Les points M du segment [OA ] appartenant à F sont les points du segment [OH[ et par symétrie par rapport à la perpendiculaire en O à la droite (AA ) on déduit F = ]HH [. Calculons P(PQ > L) On supposera que la probabilité d appartenir à un segment est proportionnelle à sa longueur, La longueur du segment ]HH [ est donnée par R, en effet d après la question a] on a OH = 1 R d où HH = 2 R D où d) Conclusion. P(PQ > L) = Longueur du segment ]HH [ Longueur du segment ]AA [ = R 2R = 1 2 Etant donné un cercle C et un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle, la probabilité de «choisir au hasard» une corde de longueur supérieure à celle du côté de ce triangle dépend du protocole de choix de la corde. Dans la question b, le protocole de choix de la corde fournit une probabilité égale à 1/3 tant dis que dans la question c, le protocole de choix fournit une probabilité égale à 1/2 Ces deux protocoles de choix ne sont pas unique et mettent en évidence la nécessité de préciser le sens de la phrase «choisir au hasard». Ce problème fut énoncé pour la première fois en 1888 par Joseph Bertrand 1 dans son ouvrage Calcul des probabilités. Il en donna trois réponses différentes (une chance sur deux, une sur trois et une sur quatre), toutes les trois apparemment valides. 1 Joseph Louis François Bertrand, né le 11 mars 1822 à Paris et mort le 3 avril 1900 à Paris, est un mathématicien, économiste et historien des sciences français.

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