Règle Table de valeurs Représentation graphique

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1 Faire le point Pages 5, 6, 7 et 8 du manuel La fonction quadratique La fonction quadratique, aussi appelée «fonction polnomiale de degré», est une fonction dont la règle est un polnôme de degré à une variable. La représentation graphique d une fonction quadratique dont la règle est de la forme f() = a(b), où a 0 et b 0, est une parabole dont le sommet se situe à l origine du plan cartésien. Eemple : f() = 3() est la règle d une fonction quadratique dont la valeur du paramètre a est 3 et celle du paramètre b est. Règle Table de valeurs Représentation graphique f() f() f() = 3() Remarque : Afin de s assurer que le modèle mathématique qui correspond à cette table de valeurs est une fonction quadratique, il suffit de vérifier que les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants pour des accroissements constants de la variable indépendante. Dans l eemple ci-dessus, pour des accroissements unitaires de la variable indépendante (+), les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants (+4). Une autre forme de la règle de la fonction quadratique Les fonctions quadratiques de la forme f() = a(b) peuvent aussi s écrire sous la forme f() = a. Les lois des eposants permettent d établir cette équivalence. Eemple : f() = 5(3) f() = 5 3 f() = 45 3

2 Le rôle des paramètres de la fonction quadratique Le rôle du paramètre a Le tableau suivant décrit l influence du paramètre a sur l ouverture de la parabole. a > 0 La parabole est ouverte vers le haut. a < 0 La parabole est ouverte vers le bas. g g a > f La parabole est moins ouverte que lorsque a =. Elle subit un étirement vertical. f() = g () = g () = 4 f g f() = g g () = g () = 4 a < La parabole est plus ouverte que lorsque a =. Elle subit un rétrécissement vertical. g g f f() = g () = g () = 4 g g f f() = g () = g () = 4 Remarque : Dans certains contetes, la fonction quadratique est eprimée sous la forme f() = a(b). Le carré du paramètre b influe sur l ouverture de la courbe de la même façon que le paramètre a. Par ailleurs, un paramètre b négatif amène une réfleion de la courbe par rapport à l ae des ordonnées. La parabole qui représente f() = est donc la même que celle qui représente h() = ( ). 4 Faire le point Intersection TS Guide B

3 La recherche de la règle d une fonction quadratique Il est possible de déterminer la règle d une fonction quadratique de la forme f() = a à partir de sa table de valeurs. Eemple : f(),5 0,5 50,5,5 +,5 +37,5 + 6, Substituer les coordonnées d un point de la table de valeurs à et à f() dans la règle f() = a.. Résoudre l équation obtenue à l étape afin de déterminer la valeur de a. 3. Écrire la règle sous la forme f() = a avec la valeur de a déterminée à l étape. (5,,5),5 = a(5) a =,5 5 =,5 5 = f() = Remarque : Cette procédure est également utile lorsqu on dispose de la représentation graphique d une fonction quadratique dont la règle est de la forme f() = a et dont on connaît les coordonnées d un point autre que le sommet. Les propriétés d une fonction quadratique dont la règle est de la forme f() = a Faire l analse d une fonction consiste à décrire ses propriétés. Le tableau ci-dessous présente la représentation graphique et les propriétés d une fonction quadratique dont la règle est de la forme f() = a. Domaine r Image [0, + [ Ordonnée à l origine (ou valeur initiale) Zéros (ou abscisses à l origine) Variation Signe Etremum 0 0 Eemple : f() = f est croissante pour [0, + [ f est décroissante pour ], 0] f est positive pour r Min f = 0 Aucun maimum Représentation graphique f()

4 La réciproque d une fonction quadratique La réciproque d une fonction quadratique n est pas une fonction, car deu ordonnées peuvent être attribuées à une même abscisse. Elle correspond plutôt à une relation définie par deu fonctions racine carrée. La représentation graphique de la relation réciproque d une fonction quadratique est une courbe smétrique à la fonction quadratique par rapport à la bissectrice du premier et du troisième quadrant. La représentation graphique de chacune des fonctions racine carrée de la forme f() = a b est une courbe dont le sommet se situe à l origine du plan cartésien. Eemple : Eemple : Règle Table de valeurs Représentation graphique f() = g() = h() = g() 0 h() g() = 3 h() = 3 g() h() À partir de la règle d une fonction quadratique de la forme f() = a, on peut obtenir la règle de la relation réciproque. Eemple : Soit la règle de la fonction f() =. Quelle est la règle de la relation 3 réciproque de f? Étant donné que la relation réciproque de la fonction quadratique n est pas une fonction, on utilise la notation relationnelle ( au lieu de f()) pour déterminer et écrire la règle qui lui correspond.. Écrire la règle de la fonction quadratique à l aide de la notation relationnelle, puis inverser les variables et.. Isoler la nouvelle variable dépendante ( ) dans l équation. = 3 = 3 = 3 = ± 3 6 Faire le point Intersection TS Guide B

5 Faire le point Page 8 du manuel La résolution d équations quadratiques La résolution d une équation quadratique consiste à trouver la ou les valeurs de la variable qui vérifient cette équation. Ces valeurs sont appelées les «solutions» de l équation. Une équation quadratique peut posséder une ou deu solutions réelles, ou n en posséder aucune. Voici les étapes à suivre pour résoudre une équation quadratique. Eemple : Soit l équation 3(4) = 9.. Transformer l équation en une équation de la forme = k, où k est une constante, à l aide des lois des eposants.. Résoudre l équation obtenue à l étape en déterminant les nombres qui, élevés au carré, donnent k. 3(4) = = 9 = = 4 = 4 = ± 4 = ± = ou =, car = 4 et ( ) = 4 Remarque : Selon le contete, certaines solutions trouvées peuvent être rejetées. La résolution d inéquations quadratiques à une variable Résoudre une inéquation quadratique à une variable consiste à déterminer les valeurs de la variable qui vérifient l inéquation. On utilise l esquisse du graphique ainsi que les solutions de l équation pour déterminer l ensemble-solution de l inéquation. Eemple : Pour résoudre l inéquation 4 9 > 6, on peut tracer le graphique dont la règle est f() = 4 9 et interpréter le graphique pour déterminer les valeurs de qui vérifient f() > 6.. Trouver les valeurs de qui vérifient f() = 6.. Tracer l esquisse du graphique de f. 3. Placer les points ( 6, 6) et (6, 6) sur l esquisse. 4. Interpréter le graphique pour déterminer l ensemble-solution, c est-à-dire les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles f() > = 6 = = 36 f() 6 f() 6 = ± 36 = ±6 = 6 = ], 6[ ]6, + [ 7

6 Faire le point Pages 4, 4, 43 et 44 du manuel La fonction eponentielle La fonction eponentielle est une fonction dont la variable indépendante se trouve en eposant dans la règle qui la décrit. La représentation graphique d une fonction eponentielle dont la règle est de la forme f() = ac b (où a 0, b 0, c 0 et c ) est une courbe passant par le point (0, a) et dont l asmptote est l ae des abscisses. Eemple : g() = 00(,) est la règle d une fonction eponentielle dont la valeur initiale est 00, le paramètre b est et la base est,. Règle Table de valeurs Représentation graphique f() f() 4 f() = 3( ) Remarque : Pour chaque augmentation d une unité en abscisse, on multiplie l ordonnée par la base affectée de l eposant b de la fonction eponentielle. Une autre forme de la règle de la fonction eponentielle Les fonctions eponentielles de la forme f() = ac b peuvent aussi s écrire sous la forme f() = ac. Les lois des eposants permettent d établir cette équivalence. Eemple : f() = 0(3) = 0(3 ) = 0(9) 8 Faire le point Intersection TS Guide B

7 Le rôle des paramètres de la fonction eponentielle Le rôle du paramètre a Le tableau suivant décrit l influence du paramètre a sur le graphique d une fonction eponentielle. a > 0 La courbe est strictement positive. a < 0 La courbe est strictement négative. g f h f() = () g() = 3() h() = 3 () g f() = () h f g() = 3() h() = 3 () Remarque : L ordonnée à l origine du graphique est le point aant pour coordonnées (0, a). Le rôle de la base c c > 0 < c < f() = () g() = (3) h() = (4) f() = ( ) g() = ( 3) h() = ( 4) Remarques : La base c, lorsqu elle est comprise entre 0 et, fait subir une réfleion à la courbe par rapport à l ae des ordonnées. Dans certains contetes, la fonction eponentielle est eprimée sous la forme f() = ac b. Le signe du paramètre b influe alors sur la courbe de la même façon que la base c. Ainsi, si dans la règle d une fonction eponentielle, le paramètre b est négatif et la base c est comprise entre 0 et, la courbe subit deu réfleions par rapport à l ae des ordonnées, ce qui est équivalent à ne subir aucune réfleion. 9

8 La recherche de la règle d une fonction eponentielle Il est possible de déterminer la règle d une fonction eponentielle de la forme f() = ac à partir d une table de valeurs f() Déterminer le rapport de la table de valeurs. f( + ) f() à l aide des couples Le rapport correspond à la base c de la fonction eponentielle.. Remplacer la base c par la valeur déterminée à l étape dans la règle f() = ac. f(0) f( ) = f() f(0) = f() f() = f(3) f() 5,5 = 0 5 = 0 0 = 40 0 = c = f() = a() 3. Substituer les coordonnées d un couple de la table de valeurs à et à f() dans la règle. (3, 40) 40 = a() 3 4. Résoudre l équation afin de déterminer la valeur de a. a = 40 3 = 40 8 = 5 5. Écrire la règle sous la forme f() = ac avec les f() = 5() valeurs de a et de c déterminées précédemment. Remarques : Lorsque l ordonnée à l origine est donnée dans la table de valeurs ou sur le graphique, on peut directement prendre cette valeur pour le paramètre a. Ce procédé est également utile lorsqu on dispose de la représentation graphique d une fonction eponentielle dont on connaît les points de coordonnées (, f()) et ( +, f( + )). 0 Faire le point Intersection TS Guide B

9 La réciproque d une fonction eponentielle La réciproque d une fonction eponentielle est une fonction logarithmique aant la même base que la fonction eponentielle. La représentation graphique de la fonction logarithmique est une courbe smétrique à la fonction eponentielle par rapport à la bissectrice du premier et du troisième quadrant. On représente la réciproque d une fonction eponentielle par la notation f. La représentation graphique d une fonction logarithmique de la forme f() = alog c b est une courbe dont l asmptote est l ae des ordonnées. La base c de la règle de la fonction est la base de la fonction logarithmique. Si aucune base n est précisée, il s agit alors de la base 0 : log = log 0. Cette epression se lit «log en base 0 de». Eemple : Voici un tableau qui présente la modélisation d une fonction eponentielle et de sa réciproque. f() = f () = log Règle Table de valeurs Représentation graphique f() = 0 3 f() 4 8 f() = f () = log 4 8 f () 0 3 f () = log Dans une fonction logarithmique, lorsqu on multiplie la valeur de la variable indépendante par la base ( ), on obtient des augmentations unitaires de la variable dépendante (+).

10 Faire le point Pages 4, 4, 43 et 44 du manuel Des propriétés des radicau À partir des lois des eposants, il est possible de déduire quelques propriétés des radicau. Propriété Eemples ( a ) = a (a 0) Le carré d un radical est égal au radicande. a b = a b (a 0, b 0) Le produit des radicau de deu facteurs est égal au radical du produit des facteurs. Remarque : Il est possible d utiliser cette propriété dans le sens inverse pour réduire le radicande. Il suffit d écrire le radicande sous la forme d un produit de deu facteurs, dont l un est un carré parfait, puis d appliquer cette propriété. ( 3) = 3 ) 8 = 6 = 4 ) a 3 3a = 6 a 4 = 6 a 4 = 6 a 3) 3 = 6 = 6 = 4 4) 8 a 5 = 9 a 4 a = 9 a 4 a = 3a a a = a b b (a 0, b > 0) Le quotient des radicau de deu facteurs est égal au radical du quotient des facteurs. ) ) 7 3 = 7 3 = 9 = 3 a 4 = a 4 = a Faire le point Intersection TS Guide B

11 La rationalisation du dénominateur Pour simplifier des epressions arithmétiques et algébriques, il est parfois utile de rationaliser le dénominateur. Pour ce faire, on multiplie un quotient par une unité, qui est eprimée comme le rapport du dénominateur de l epression de départ à ce même dénominateur. ab = ab b b = a b b, où b 0 ) ) 3) Eemples = = 3 = 3 3 = a5 = a5 5 = 5 a 5 5 Remarque : Ce tpe de rationalisation est utile lorsque le dénominateur ne comporte qu un terme. L équivalence entre l écriture eponentielle et l écriture logarithmique L équivalence suivante permet de passer d une forme d écriture à une autre. Forme eponentielle Eposant Forme logarithmique Base Puissance c a = b log c b = a Base Puissance Logarithme Dans ces epressions, b > 0, c > 0 et c. Un logarithme est l eposant qu on doit attribuer à une base pour obtenir une puissance. Dans l équivalence 3 = 8 log 8 = 3, 3 est l eposant qu on doit attribuer à la base pour obtenir la puissance 8. On peut aussi dire que 3 est le logarithme de 8 en base. Remarque : Sous la forme logarithmique, on considère que la base utilisée est 0 si elle n est pas précisée. La loi du changement de base La touche logarithme, «log», d une calculatrice scientifique permet de calculer des logarithmes en base 0. Afin de calculer des logarithmes qui ne sont pas écrits en base 0, il est possible d utiliser la loi du changement de base. Loi du changement de base log c b = log b log c Dans cette égalité, b > 0, c > 0 et c. Eemple : log 8 = log 8 log = 3 3

12 La résolution d équations ou d inéquations eponentielles La résolution d une équation eponentielle ou d une inéquation eponentielle consiste à trouver la valeur d un eposant. Voici deu méthodes qui permettent de résoudre une équation eponentielle ou une inéquation eponentielle. Méthode : Eprimer chacun des membres de l équation ou de l inéquation dans une même base ) La résolution d une équation eponentielle Eemple : Résoudre l équation 3() 0,5 =.. Isoler la base affectée de son eposant dans l équation. 3() 0,5 = 0,5 = 4. Eprimer chacun des membres de l équation dans une 0,5 = même base. 3. La base des deu membres étant la même, on peut alors conclure à l égalité pour les eposants. 0,5 = 4. Résoudre l équation. = 4 ) La résolution d une inéquation eponentielle On peut se servir de la méthode et de l esquisse du graphique pour déterminer l ensemble-solution d une inéquation eponentielle. Eemple : Soit la fonction f() = 8. Trouve les valeurs de pour lesquelles f() 43.. Trouver la valeur de qui vérifie l équation associée à l inéquation.. Tracer l esquisse du graphique de f. 3. Placer le point ( 5 4, 43 ) sur l esquisse. 4. Interpréter le graphique pour déterminer l ensemble-solution, c est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui vérifient l inéquation. 8 = 43 f() f() (3 4 ) = = = 5 = Faire le point Intersection TS Guide B

13 Méthode : Utiliser la loi du changement de base ) La résolution d une équation eponentielle Eemple : Résoudre l équation 4 = 00.. Isoler la base de l équation. 4 = 50. Utiliser l équivalence entre l écriture eponentielle et l écriture 4 = 50 = log 4 50 logarithmique afin de transformer l équation. 3. Utiliser la loi du changement de base pour résoudre l équation. ) La résolution d une inéquation eponentielle = log 50 log 4,8 93 On peut se servir de la méthode et de l esquisse du graphique pour déterminer l ensemble-solution d une inéquation eponentielle. Eemple : Soit la fonction f() = 6(5). Trouve les valeurs de pour lesquelles f() 44. Pièges et astuces Bien que la méthode de la loi du changement de base fonctionne pour toutes les équations et les inéquations, il est souvent plus rapide, lorsque c est possible, de les résoudre en ramenant les deu membres de l équation dans une même base.. Trouver la valeur de qui vérifie l équation associée à l inéquation.. Tracer l esquisse du graphique de f. 3. Placer le point (0,987, 44) sur l esquisse. 4. Interpréter le graphique pour déterminer l ensemble-solution, c est-à-dire les valeurs de la variable indépendante qui vérifient l inéquation. 6(5) = 44 f() f() 5 = 4 = log 5 4 log 4 = log 5 log 4 = log 5 0, ,987 0,987 0,987 5