FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

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1 T ale S FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Analyse - Chapitre 8 Tale des matières I La fonction logarithme népérien 2 I Théorème et définition 2 I 2 Conséquences immédiates 2 I 3 La relation fonctionnelle 3 I 3 a La relation 3 I 3 Conséquences 3 II Étude de la fonction logarithme népérien 4 II Dérivée 4 II 2 Sens de variation et signe 5 II 3 Résolution d équations et d inéquations 5 II 4 Comportement asymptotique 5 II 5 Résumé 6 III Compléments 6 III Des limites importantes 6 III 2 Dérivée de ln(u()) 7 III 3 Eercices de synthèse 7 III 4 Fonction logarithme décimal 8 N Peyrat / 8

2 I La fonction logarithme népérien I Théorème et définition Théorème Pour tout réel > 0, il eiste un unique réel y tel que ey = La fonction eponentielle est dérivale donc continue sur R La fonction eponentielle est strictement croissante sur R lim e = 0 et lim e = + + Donc d après le corollaire du TVI, pour tout ]0; + [, il eiste un unique réel y tel que ey = Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur R + qui à tout réel > 0 associe l unique réel donc l eponentielle est On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction ep sur R + I2 Conséquences immédiates s a > 0, R, ln a = a = e En particulier, ln = 0 et ln e = R, ln e = R +, eln = Les fonctions ep et ln étant réciproques l une de l autre, leurs coures sont symétriques par rapport à la droite d équation y = N Peyrat 2/ 8

3 I3 La relation fonctionnelle I3a La relation Soient et y deu réels strictement positifs Alors ln(y) = ln + ln y Soient et y deu réels strictement positifs Posons a = ln et = ln y Alors = ea et y = e D après la relation fonctionnelle de ep, on a donc : ea+ = ea e, donc ea+ = y, donc a+ = ln(y), c est-à-dire ln(y) = ln + ln y Remarque : Si < 0 et y < 0, alors ln(y) eiste, mais ln et ln y n eistent pas < 0 et y < 0, ln(y) = ln( ) + ln( y) Eemple : ln 2 = ln(3 2 2) = ln ln 2 I3 Conséquences Soient a et deu réels strictement positifs a ln = ln a ln 2 ln = ln 3 Pour tous nomres strictement positifs a, a2,, an : ln(a a2 an ) = ln a + ln a2 + + ln an 4 n Z, ln an = n ln a 5 ln a = ln a 2 Démonstration (à donner en eercices) : a a = ln + ln, d où ln = ln a ln = ln ln = 0 ln = ln 2 En prenant a =, on a alors ln 3 Démonstration par récurrence (eercice à faire à la maison) ln a = ln a 4 Pour n > 2, cela résulte de la proposition précédente en posant a = a2 = = an = a 0 Pour n = et n = 0, cela résulte de a = a et a = Pour n < 0, ln an = ln = ln(a n ) = ( n ln a)) = n ln a (car n > 0) a n 5 a = a a donc ln a = ln a + ln a = 2 ln a d où ln a = ln a 2 N Peyrat 3/ 8

4 Eemple : Simplifier A = ln(4 3 ) + 5 ln 2 et B = ln 3 + ln 2 5 (Correction : A = ln 2 et B = ln 5) 3 2 II Étude de la fonction logarithme népérien II Dérivée La fonction ln est dérivale sur ]0; + [ et > 0, ln0 () = ln( + h) ln() h u v Posons u = ln( + h) et v = ln() Alors + h = eu et = ev Ainsi, τ (h) = u e ev Notons alors = u v, d où u = v + Ainsi, τ (h) = v+ = v+ v e e e ev ev+ ev v Or la fonction ep est dérivale en v avec pour nomre dérivée e, donc lim = ev = 0 d où lim v+ = 0 e ev De plus, lim = lim (u v) = lim [ln( + h) ln ] = ln ln = 0 ]0; + [ et h 6= 0 tq + h > 0, étudions τ (h) = Finalement : lim = 0 et lim = donc par limite de fonctions composées, lim τ (h) = ev+ ev Ceci étant vrai pour tout > 0, la fonction ln est dérivale sur ]0 ; + [ et ln0 () = 0 Démonstration plus graphique : Montrons que ln est dérivale sur ]0; + [ : Les coures des fonctions ep et ln sont symétriques par rapport à la droite d équation y = Or la coure de la fonction ep admet en chacun de ses points une tangente non horizontale (car R, ep0 () 6= 0), donc la coure de la fonction ln admet en chacun de ses points une tangente non verticale Donc ln est dérivale sur ]0; + [ Montrons que > 0, ln0 () = : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f () = eln f est dérivale sur ]0; + [, de dérivée f 0 () = ln0 eln = ln0 Or ]0; + [, f () =, donc f 0 () = sur ]0; + [ Donc ]0; + [, ln0 = d où ln0 = N Peyrat 4/ 8

5 II 2 Sens de variation et signe La fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [ ]0; + [, ln0 = > 0 donc ln est strictement croissante sur ]0; + [ La fonction ln est strictement négative sur ]0; [, nulle en, et strictement positive sur ]; + [ ln est strictement croissante sur ]0; + [ et ln = 0 d où le résultat II 3 Résolution d équations et d inéquations (conséquence directe de la stricte monotonie de ln) Pour tous nomres a et strictement positifs : ln a = ln a = et ln a < ln a < Eemples : Résoudre dans R+ l équation ln = 5 Résoudre l inéquation ln( + ) 6 00 après avoir précisé sur quel intervalle cette inéquation a un sens De même avec l inéquation ln(2 4) 6 ln De même avec l équation ln( + ) + ln( + 3) = ln( + 7) II 4 Comportement asymptotique lim ln = 0 N Peyrat et lim ln = + + 5/ 8

6 Limite en + : Soit I =]A; + [ avec A R La fonction ln est strictement croissante sur R + donc si > ea, alors ln > A : pour assez grand, ln I, donc lim ln = + + Limite en 0 : lim = + et lim ln X = +, donc par limite de fonctions composées, lim ln = X + >0 >0 Or ln = ln, donc lim ln = 0 II 5 Résumé Taleau de variation détaillé : 0 e (ln)0 () ln 0 Coure représentative : III Compléments III Des limites importantes ln( + ) = 0 lim N Peyrat ln =0 + lim lim ln = 0 0 6/ 8

7 ln( + ) ln( + ) ln = lim (car ln = 0) 0 0 ( + ) On reconnaît la limite quand tend vers 0 du tau d accroissement de la fonction ln entre et + ln( + ) Or la fonction ln est dérivale en donc lim = ln0 () = = 0 ln X Posons, pour > 0, X = ln, soit = ex Alors = X e ex X Or lim = +, donc lim X = 0 X + X X + e ln Comme lim X = +, alors par limite de fonctions composées, lim = lim Avec le même changement de variale, on a ln = XeX Or lim X = et lim (XeX ) = 0 donc par limite de fonctions composées, lim ln = X Eemples : Déterminer lim ln (Factoriser par ) + 2 ln ln ( > 0, ln = = Déterminer lim ln ) + 2 ln Eercice pour retrouver le résultat de lim =0 : + Démontrer que pour tout > 0, ln < (Étude de fonction) ln (attention, valale pour > pour faire le thm des gen2 En déduire un encadrement de darmes) III 2 Dérivée de 7 ln(u()) Soit u une fonction dérivale et strictement positive sur un intervalle I Alors la fonction f définie par f () = ln (u()) est dérivale sur I et pour tout I, f 0 () = u0 () u() La démonstration est immédiate à l aide de la dérivée de 7 f (u()) : u0 () = I, f 0 () = u0 () ln0 (u()) = u0 () u() u() III 3 Eercices de synthèse Étudier la fonction f : 7 ln Étudier la fonction f : 7 (ln )2 N Peyrat 7/ 8

8 III 4 Fonction logarithme décimal Définition La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur ]0; + [ par log = N Peyrat ln ln 0 8/ 8