BAC BLANC 2012 Discipline : Mathématiques Série : ES

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1 BAC BLANC 2012 Discipline : Mathématiques Série : ES Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 5 ou 7 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. Consignes : L'utilisation de la calculatrice est autorisée. L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé. Le candidat doit traiter les quatre exercices, l'exercice 2 étant différent selon que le candidat a suivi ou non la spécialité. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. IMPORTANT!! L'exercice 2 est en double : ne traiter que l'exercice correspondant ou non à votre spécialité. Seule la page 7/7 (feuille annexe de l'exercice 3) est à rendre avec la copie. Pensez à apposer votre nom, prénom et classe sur ce document avant de l' insérer dans votre copie. TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain

2 Exercice 1 : (4 points) Commun à tous les candidats Soit g la fonction définie et dérivable sur ] ; 5[ ] 5;+ [. On appelle C g la courbe représentative de g dans un repère donné du plan. On donne ci-dessous le tableau de variations de g : x g ( x) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie : VRAI ou FAUX ou LES INFORMATIONS DONNÉES NE PERMETTENT PAS DE RÉPONDRE. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0. 1) Pour tout réel x ] 1;+ [, g ( x) 5. 2) Pour tout réel x ] 5; 4], g ' (x) 0. ( g ' désigne la dérivée de g ) 3) La droite d'équation x=1 est une asymptote à la courbe C g en +. 4) La courbe C g admet une droite asymptote en. 5) On appelle f la fonction définie sur l'intervalle ] 1;+ [ par f (x)=ln[g (x)] où ln désigne la fonction logarithme népérien. a) Pour tout réel x [ 4;+ [, f (x) 0. b) La fonction f est décroissante sur [4;+ [ c) lim f (x)= x 1 x> 1 d) L'équation f ( x)=0 admet une seule solution dans l'intervalle ] 1;+ [. TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain

3 Exercice 2 : (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que : 12% des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur. parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20% ont un défaut dans la forme. parmi les vêtements n'ayant pas de défaut dans la couleur, 8% présentent un défaut dans la forme. On appelle C l'évènement : «Le vêtement présente un défaut dans la couleur.» et C l'évènement contraire. On appelle F l'évènement : «Le vêtement présente un défaut dans la forme.» et F l'évènement contraire. Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l'étude statistique ci-dessus. 1) Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilités. 2) Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et dans la forme. 3) Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme. 4) Les évènements C et F sont-ils indépendants? Justifier. 5) Le directeur de l'usine affirme que 92% des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. Cette affirmation est-elle correcte? 6) Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel. L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants. Quelle est la probabilité qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut? Le résultat sera arrondi à TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain

4 Exercice 2 : (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le graphe Γ suivant représente un zoo. Le sommet A représente son accès. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les différents secteurs animaliers de ce zoo. Une arête représente l'allée reliant deux secteurs et est pondérée par la distance de parcours, exprimée en mètres, entre ces deux secteurs. AB=90, AC=290, AD=175, BC=185, BD=155, BE=180, CD=120, CG=260, DE=110, DF=105, EF=135, FG=230. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : Pour mieux visualiser sur le plan les différents secteurs du zoo, on veut les colorier de telle sorte que deux secteurs adjacents ne soient pas de la même couleur. 1) Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires à la réalisation de ce plan? Justifier la réponse. 2) Donner un encadrement du nombre chromatique du graphe Γ. Justifier la réponse. 3) Proposer alors une telle coloration. Partie B : 1) Pour nettoyer les allées, les services techniques du zoo utilisent une balayeuse automobile. Est-il possible que cette balayeuse n'emprunte chaque allée qu'une fois et une seule? Si oui, proposer un tel chemin, sinon justifier votre réponse. 2) Les services de sécurité basés au point A doivent intervenir dans le secteur G. Déterminer à l'aide d'un algorithme, l'itinéraire le plus court. TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain

5 Exercice 3 : (4 points) Commun à tous les candidats La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998, elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme indiqué dans le tableau suivant : Année Rang de l'année : x i Bénéfice en k : y i Partie A : 1) Construire le nuage de points associé à la série statistique (x i, y i ) dans un repère orthogonal sur la feuille ANNEXE (page 7/7). Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. 2) Donner les coordonnées du point moyen G (arrondir au dixième). Placer le point G dans le repère orthogonal de la feuille ANNEXE (page 7/7). En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice y comme une fonction affine du rang x de l'année. 3) Donner une équation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés. (arrondir les coefficients au centième) 4) Tracer cette droite (D) dans le repère orthogonal de la feuille ANNEXE (page 7/7). 5) Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation? Partie B : En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par y= f (x) avec f (x)= 2 x x+63. 1) Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0; 6]. 2) Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans le repère orthogonal de la feuille ANNEXE (page 7/7) en correspondance avec le nuage de point de la question 1). 3) Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième ajustement? 4) En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9% par rapport à celui de Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005? TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain

6 Exercice 4 : (7 points) Commun à tous les candidats Partie A : Étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+ [ par : f (x)=2ln x+ln(x 1) 1) Justifier que pour tout x ]1 ;+ [, la fonction f est définie. 2) Déterminer lim f (x) et lim x 1 x + x>1 f (x). 3) On note f ' la fonction dérivée de la fonction f. Vérifier que pour tout x ]1 ;+ [, f ' ( x)= 3 x 2 x (x 1). 4) Dresser le tableau de variations de f sur ]1;+ [. 5) Soit h la fonction définie sur l'intervalle ]1;+ [ par : h(x)=2 x ln x+(x 1)ln(x 1) 3 x Montrer que h ' (x)= f (x). 6) Déterminer la primitive F de la fonction f telle que F (2)=10. Partie B : Interprétation économique On considère une machine produisant un composé chimique liquide en quantité x, exprimée en hectolitres. Pour tout x ]1 ;10], la valeur du coût marginal C M (x), exprimé en milliers d'euros, est donné par : C M (x)=2 ln x+ln(x 1) et C T (x) est le coût total de fabrication de x hectolitres de liquide. On rappelle que : C T '(x)=c M (x) où C T ' désigne la dérivée de C T. 1) Le prix de l'hectolitre de ce composé chimique est vendu 4500 euros. Montrer que B ' (x)=4,5 C M (x) où B ' est la fonction dérivée de la fonction bénéfice B définie sur ]1; 10]. 2) Montrer que l'équation C M (x)=4,5 admet sur ]1; 10] une solution unique notée α. Donner une valeur de α arrondie à ) En déduire la quantité de ce composé chimique qu'il faut produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Donnez la valeur arrondie à 10-2 de ce bénéfice maximal exprimé en milliers d'euros. TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain

7 NOM : PRÉNOM : CLASSE : Exercice n 3 : Annexe à compléter et à rendre avec la copie TES-Bac Blanc /7 Lycée de la Plaine de l'ain