Planche n o 21. Equations différentielles linéaires. Corrigé

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1 Planche n o Equations différentielles linéaires Corrigé n o : Dans tout l eercice, on note E l équation différentielle considérée et E H l équation homogène associée Les solutions de E sur R forment un R-espace affine de direction l espace des solutions de E H sur R qui est de dimension La fonction est une solution de E sur R et la fonction e est une solution non nulle de E H sur R Donc S R = { + λe, λ R} Les solutions de E H sur R sont les fonctions de la forme λe / Déterminons maintenant une solution particulière de E sur R ère solution Il eiste une solution particulière de E sur R de la forme a cos + b sin, a, b R Soit f une telle fonction Alors, pour tout réel, Par suite, f f = a sin + b cos a cos + b sin = a + bcos + a bsin f solution de E sur R R, f f = cos S R = a = 5 et b = 5 { } 5 cos + sin + λe/, λ R { a + b = a b = ème solution Par la méthode de variation de la constante, il eiste une solution particulière de E sur R de la forme λe / où λ est une fonction dérivable sur R Soit f une telle fonction Or, f solution de E surr R, λ e / + λe/ λe / = cos R, λ = e / cos e / cos d = Re e +i d = Re e +i + C = + i 5 e / Recos + i sin i + C = 5 e / cos + sin + C Par suite, on peut prendre λ = 5 e / cos+sin ce qui fournit la solution particulière f = cos+sin 5 3 Puisque les fonctions et e sont continues sur R, l ensemble des solutions de E sur R est un R-espace affine de dimension Soit f une fonction dérivable sur R f solution de E sur R R, f f = e R, e f e f = R, e f = λ R/ R, e f = + λ λ R/ R, f = + λ e S R = { } + λ e, λ R c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

2 L équation caractéristique E c associée à l équation homogène y y + y = est z z + = et admet z = pour racine double On sait que les solutions de E H sur R sont les fonctions de la forme λ + µe, λ, µ R Puisque est racine double de l équation caractéristique, l équation y y + y = e admet une solution particulière f de la forme : R, f = a e, a R La formule de Leibniz fournit pour tout réel, f f + f = a e a + e + a e = ae, et f est solution de E sur R si et seulement si a = S R = { } + λ + µ e, λ, µ R 5 L équation caractéristique E c associée à l équation homogène y + y = est z + = et admet deu racines non réelles conjuguées z = i et z = z = i On sait que les solutions de E H sur R sont les fonctions de la forme λ cos + µsin, λ, µ R Une solution réelle de l équation y +y = cos est la partie réelle d une solution de l équation y +y = e i Puisque le nombre i est racine simple de E c, cette dernière équation admet une solution de la forme f : ae i, a C La formule de Leibniz fournit pour tout réel, f + f = a + ie i + e i = iae i et f est solution de y + y = e i si et seulement si a = i On obtient f = i ei = i cos + sin ce qui fournit une solution particulière de E sur R : R, f = sin S R = { sin + λ cos + µsin, λ, µ R } 6 L équation caractéristique E c associée à l équation E H est z + z + = et admet deu racines non réelles conjuguées z = + i et z = z = i On sait que les solutions de E H sur R sont les fonctions de la forme λ cos + µsine, λ, µ R Pour tout réel, cosch = Re e i ch = Re e +i + e +i Notons E l équation y +y +y = e +i et E l équation y + y + y = e +i Si f est une solution de E et f est une solution de E alors f = Ref + f est une solution de E sur R d après le principe de superposition des solutions E admet une solution particulière de la forme f : ae +i, a C Pour tout réel, f + f + f = a + i + + i + e +i = a + ie +i et f est solution de E sur R si et seulement si a = + i = i 8 On obtient f = i 8 e+i E admet une solution particulière de la forme f : ae +i, a C La formule de Leibniz fournit pour tout réel, f + f + f = a + i + + i + + i + + e +i = iae +i et f est solution de E sur R si et seulement si a = i = i On obtient f = i e +i Une solution particulière f de E sur R est donc définie pour tout réel par f = i Re 8 e+i i e +i = 8 Re icos + i sine i cos + i sine = 8 cos + sine + sine S R = { 6 cos + sine + } sine + λ cos + µsine, λ, µ R c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

3 n o : Posons g = f +αf La fonction g est continue sur R et la fonction f est solution sur R de l équation différentielle y + αy = g De plus, lim g = l Ensuite, + f + αf = g R, e α f + αe α f = e α g R, e α f = e α g R, e α f = f + Puisque Reα > et que e α = e Reα, sachant que lim g = l + e αt gt dt R, f = fe α + e α e αt gt dt lim + fe α = Vérifions alors que On suppose tout d abord l = Soit ε > Il eiste A > tel que t A, gt ε Pour A, e α e αt gt dt A e Reα e αt gt dt + e Reα e Reαt gt dt A A e Reα e αt gt dt + e Reα e Reαt ε A dt A = e Reα e αt gt dt + ε e Reα A A e Reα e αt gt dt + ε A Maintenant lim + e Reα e αt gt dt = et donc il eiste A A tel que > A, e Reα Pour > A, on a e α e αt gt dt < ε + ε = ε On a ainsi montré que lim f = = l + α On revient maintenant au cas général l quelconque f + αf l f + αf l + f l α f l + α f + α l α f + + l α lim + e α e αt gt dt = l α + A e αt gt dt < ε f C R, R, α C tel que Reα >, lim + f + αf = l lim + f = l α f + f + f = f jf j f jf D après, comme Re j = Re j = >, f + f + f f jf j f jf + f jf + f + f C R, R, lim f + f + f = lim f = Montrons le résultat par récurrence sur n Pour n =, c est le dans le cas particulier l = si P = X α, PDf = f αf avec Re α > Soit n N Supposons le résultat acquis pour n Soit P un polynôme de degré n + dont les racines ont des parties réelles strictement négatives et tel que lim PDf = Soit α une racine de P P s écrit P = X αq où Q est + un polynôme dont les racines ont toutes une partie réelle strictement négative Puisque PDf = D αid QDf = QDf αqdf +, on en déduit que QDf + d après le cas n = puis que f + par hypothèse de récurrence Le résultat est démontré par récurrence c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr

4 n o 3 : On pose g = f + f Par hypothèse, la fonction g est une application continue et positive sur R et de plus, la fonction f est solution sur R de l équation différentielle y + y = g sur R Résolvons cette équation différentielle, notée E, sur R Les solutions de l équation homogène associée sont les fonctions de la forme λ cos + µsin, λ, µ R D après la méthode de variation des constantes, il eiste une solution particulière de E sur R de la forme f : λcos + µsin où de plus les fonctions λ et µ sont solutions du système { λ cos + µ sin = λ sin + µ cos = g Les formules de Cramer fournissent R, λ = gsin et µ = gcos On peut alors prendre R, λ = gt sint dt et µ = R, f = cos gt cost dt puis gtsint dt + sin gtcost dt = Ainsi, les solutions de E sur R sont les fonctions de la forme λ cos + µsin + gtsin t dt gtsin t dt, λ, µ R La fonction f est l une de ces solutions Par suite, il eiste λ, µ R tel que R, f = λ cos + µ sin + gtsin t dt et donc pour tout réel, f + f + π = = +π +π gtsin + π t dt + gtsint dt = π gtsin t dt = gu + sinu du +π On a montré que si R, f + f, alors R, f + f + π gtsin t dt + n o : Dans tout l eercice, on note E l équation proposée et E H l équation homogène associée gtsin t dt On note J l un des deu intervalles, [ ou, + [ Sur J, l équation E s écrit encore y y = Comme la fonction est continue sur J, les solutions de E sur J constituent un R-espace vectoriel de dimension Enfin, la fonction est une solution non nulle de E sur J et donc S J = { λ, λ R } λ si > { Soit f une solution de E sur R Nécessairement, λ, λ R λ / R, f = si = = si λ λ si < si < Réciproquement, une telle fonction f est définie sur R, dérivable sur R, solution de E sur R et vérifie encore l équation E en si de plus elle est dérivable en Donc, une telle fonction est solution de E sur R si et seulement si elle est dérivable en Il est géométriquement clair que f est dérivable en pour tout choi de λ et λ et donc f est solution de E sur R pour tout choi de λ et λ S R = { { } λ si λ si <, λ, λ R On{ note que S R est { un R-espace vectoriel de dimension En effet, pour toute solution f de E sur R, f = λ si si + λ si < si < = λ f + λ f Donc S R = Vectf, f avec f, f clairement libre Un eemple de graphe de solution est donné à la page suivante c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

5 L ensemble des solutions sur, [ ou, + [ est { λ, λ R} { Soit f une solution de E sur R Nécessairement, λ, λ R λ si / R, f = λ si < Réciproquement, une telle fonction f est solution de l équation E sur R si et seulement si elle est dérivable en Il est géométriquement clair que f est dérivable en si et seulement si λ = λ et donc S R = { λ, λ R} Dans ce cas, S R est un R-espace vectoriel de dimension 3 L ensemble des solutions sur, [ ou, + [ est { λ, λ R} λ si > Soit f une solution de E sur R Nécessairement, λ, λ R / R, f = si = λ si < Réciproquement, une telle fonction f est solution de l équation E sur R si et seulement si elle est dérivable en Il est géométriquement clair que f est dérivable en si et seulement si λ = λ = et donc S R = {} Dans ce cas, S R est un R-espace vectoriel de dimension Soit f une fonction dérivable sur, + [ f solution de E sur J J, f f = 3 J, J, f = λ R/ J, λ R/ J, f = 3 + λ f 3f = f = + λ λ R/ J, f = + λ S,+ [ = { 3 + λ, λ R} 5 Si f est une solution sur R de l équation y + y = alors f + f = ce qui est impossible Donc S R = c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-francefr

6 6 Résolution sur, [,, [ et, + [ Soit I l un des trois intervalles, [,, [ ou, + [ Sur I, l équation E s écrit encore y + y = Puisque les fonctions et sont continues sur I, les solutions de E sur I constituent un R-espace affine de dimension Soit f une fonction dérivable sur I Pour I, on note ε le signe de sur I f solution de E sur I I, f + f = I, e lnε f + e lnε f = e lnε I, ε ε f = I, ε f ε = ε Déterminons alors les primitives de la fonction du = εudu -Résolution sur, [ Dans ce cas, ε = puis ε ε d = ε ε d = ε ε sur I En posant u = ε et donc = εu puis ε u εu εu du = εu du + u du = Arctanu + λ = Arctan + λ Par suite, f solution de E sur, [ λ R/, [, f = Arctan + λ λ R/, [, f = Arctan + λ { S,[ = Arctan } + λ, λ R -Résolution sur, [ et, + [ ε Dans ce cas, ε = puis ε d = -Résolution sur, [ et, + [ S,[ = { argth } + λ, λ R u du = et S,+ [ = + ln si > argth si, [ + ln + λ + λ Par suite,, λ R -Résolution sur, + [ et sur R Si f est une solution de E sur, + [ ou sur R, alors f + f = ce qui est impossible Donc S,+ [ = et S R = -Résolution sur, [ Si f est une solution de E sur, [, alors il eiste nécessairement λ, λ R tel que Arctan + λ si <, [, f = si = argth Réciproquement une telle fonction est solution si et seulement + λ si < < si elle est dérivable en Quand tend vers par valeurs inférieures, f = λ o 3 = λ o = λ + f o et quand tend vers par valeurs supérieures, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-francefr

7 f = λ o 3 = λ o = λ + f o Par suite, f est dérivable à droite et à gauche en si et seulement si λ = λ = et dans ce cas, quand tend vers, f = f + + o ce qui montre que f est dérivable en En résumé, f est solution de E sur, [ si et 3 seulement si λ = λ = Arctan si < S,[ = si = argth si < < 7 Résolution de E sur, [ et sur, + [ Soit I l un des deu intervalles, [ ou, + [ On note ε le signe de sur I Sur I, E s écrit encore y + ε y = ε Puisque les deu fonctions ε et ε sont continues sur I, les solutions de E sur I constituent un R-espace affine de dimension Soit f une fonction dérivable sur I Si I =, + [, ε = et f solution de E sur I I, f + ε I, e ε ε lnε f + ε f = ε I, ε ε e ε f = ε e ε e ε ε lnε f = ε ε ε lnε e f solution de E sur, + [, + [, e f = e λ R/, + [, λ R/, + [, f = + λe S,+ [ = { + λe, λ R } e f = e + λ Si I =, [, ε = et Or, f solution de E sur, + [, + [, e f = 3 e, + [, e f = 3 e 3 e d = 3 e 3 e d = e 6 e d = e + λ et donc f solution de E sur, [ λ R/, [, e f = e + λ S,+ [ = λ R/, [, f = λe { } λe, λ R Résolution de E sur R Si f est une solution de E sur R, nécessairement il eiste λ, λ R tel que R, + λ e si > { f = si = + λ e si λ e = si < λ e Réciproquement, une telle fonction est si < solution sur R si et seulement si elle est dérivable en Quand tend vers par valeurs supérieures, f = +o+λ +o = λ +o Par suite, f est dérivable à droite en pour tout choi de λ et f d = λ Quand tend vers par valeurs inférieures, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-francefr

8 6 + λ + + f = o + + o = 6 + λ λ λ + o Par suite, f est dérivable à gauche en si et seulement si λ = 6 Dans ce cas, quand tend vers par valeurs inférieures, f = o et f g = Maintenant, f est dérivable en si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en et f d = f g Ceci équivaut à λ = 6 et λ = S R = { { + e si e si < } Cn n n o 5 : Pour n N, posons a n = n n La suite a n n N ne s annule pas et pour n N, Par suite, a n+ a n a n+ n +! = a n n! n! n +! n + n + = n n + n + n n + = n n + et d après la règle de d Alembert, R a = Pour tel que la série converge, on pose n + Cn n f = n n n n= Soit, [ Pour n N, on a n + a n+ + na n = a n Pour chaque n N, on multiplie les deu membres de cette égalité par n puis on somme sur n On obtient + f = f De plus f = a = Mais alors n= n + a n+ n +, [, + f = f, [, e ln+ f [ f, = +,, [, f = +, [, n Cn n n n = + n= n= na n n = n= + e ln+ f =, [, f + = a n n ou encore f + Pour n N, posons u n = C n n La suite u est strictement positive à partir du rang et pour n, n n u n+ n = u n n + = n n + < Ainsi, la suite u est décroissante à partir du rang De plus, d après la formule de Stirling, n n πn u n = n! n! n n n + e n n πnn n e = πn 3/ Par suite, u n En résumé, la suite u est positive et décroissante à partir du rang et lim u n = On en déduit n + n + C n n que la série numérique de terme général n n n = n u n converge en vertu du critère spécial au séries alternées théorème de Leibniz La fonction f est donc définie en Vérifions que f est continue en c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-francefr

9 Pour, Cn n et n N, posons f n = a n n = n n n Pour chaque de, s annule pas et la suite n f n n N est positive à partir du rang Ensuite, pour n et k=n+, la suite f n n N ne,, f n+ f n = a n+ n n a n = n + n + = n n + < On en déduit que pour chaque de,, la suite numérique f n n N décroît à partir du rang D après une majoration classique du reste à l ordre n d une série alternée, pour n et, f k f n+ = a n+ n+ a n+ n+ = u n+, et donc n N, Sup { k=n+ f k,, } u n+ Puisque la suite u n tend vers quand n tend vers +, on a montré que la série de fonction de terme général f n, n N, converge uniformément vers f sur fonction f n est continue sur,, f est continue sur, et en particulier en, Puisque chaque Mais alors n= n C n n n n = f = lim < f = lim + = + = < n o 6 : Posons A = n= n C n n n n = χ A = λ 5λ + 6 = λ λ 3 puis A = PDP où D = diag, 3 et P = Posons X = puis X y = P X = y { = y y = + y X = AX X = PDP X P X = DP X P X = DP X X = DX { { = t = ae y = 3y a, b R/ t R, t y t = be 3t t ae t a, b R/ t R, = yt be 3t t ae a, b R/ t R, = t + be 3t yt ae t + be 3t S = { ae t t + be 3t ae t + be 3t, a, b R } Puisque la fonction t cost est continue sur π, π [, les solutions réelles sur π, π [ du système proposé constituent un R-espace affine de dimension Résolution du système homogène associé Posons A = χ A = λ + = λ iλ + i et en particulier A est diagonalisable dans C Un vecteur propre de A associé à la valeur propre i est et un vecteur propre de A i c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-francefr

10 associé à la valeur propre i est On sait alors que les solutions complees sur R du système homogène associé + i sont les fonctions de la forme X : t ae it + be i it, a, b C + i Déterminons alors les solutions réelles du système homogène X réelle t R, ae it i + be it + i = ae it + i b = a car la famille de fonctions e it, e it est libre + be it i Les solutions réelles sur R du système homogène sont les fonctions de la forme X : t ae it i Re ae it, a C En posant a = λ + iµ, λ, µ R i, Re ae it i = Re λ + iµcost + i sint λ + iµ icost + i sin t = +ae it + i λ cost µsint λcost + sint + µcos t sin t Maintenant, le couple λ, µ décrit R si et seulement si le couple λ, µ décrit R et en renommant les constantes λ et cost sin t µ, on obtient les solutions réelles du système homogène : t λ + µ, λ, µ R cost + sint cost sin t Résolution du système D après la méthode de variation de la constante, il eiste une solution particulière du système cost sint de la forme t λt + µt où λ et µ sont deu fonctions dérivables sur π cost + sin t cost sin t, π [ telles que pour tout réel t de π, π [, λ cost t + µ cost + sin t sint t = cost Les formules de cost sint Cramer fournissent λ t = sin t cost sin t = cost cost et µ t = sin t cost + sin t = On peut prendre cost cost λt = t + lncos t et µt = t + lncos t et on obtient la solution particulière cost sint tcost + sin t + lncostcost sin t Xt = t + lncos t + t + lncost = cost + sin t cost sint t sin t + costlncost S # π,π " = { tcost + sin t + lncos tcost sin t + λ cost µsin t t t sin t + costlncost + λcost + sin t + µcos t sin t, λ, µ R } = e t 3 Puisque la fonction t est continue sur R, les solutions sur R du système proposé constituent un R-espace t affine de dimension 5 Résolution du système homogène associé Posons A = χ 6 A = λ λ + 8 = λ λ 7 Un vecteur propre de t A associé à la valeur propre est et un vecteur propre de t A associé à la valeur propre 7 est Ces vecteurs fournissent des combinaisons linéaires intéressantes des équations : Posons A = { = 5 y + e t y = + 6y + t 5 { + y = + y + e t + t y = 7 y + e t t λ, µ R / t R, λ, µ R / t R, t + yt = et 3 t 6 + λet t yt = et 6 + t µe7t t = 5et 6 3t 33 yt = et λet + µe t 5t λet µe 7t c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

11 χ A = 5 λ λ λ = 5 λλ 5λ + λ + λ + = λ 3 + λ 6λ + = λ 6λ λ + = λ 6λ + λ, et en particulier A est diagonalisable dans R + y z =, y, z KerA 6I y z = y 5z = z = et = y KerA 6I est la droite vectorielle engendrée par le vecteur,,, y, z KerA + I 3 + y z = + y z = y + z = z = 3 + y + y = + y = { y = + z = 5 3 z = 3 + y + y 3 + y = y y = { z = 3 + y y = + KerA + I est la droite vectorielle engendrée par le vecteur,, 5 3 Un calcul conjugué montre alors que KerA I est la droite vectorielle engendrée par le vecteur, +, On sait alors que les solutions du système homogène t ae 6t +be + t 5 3 +ce t , a, b, c R 3 5 Posons A = χ A = λ λ λ Hamilton permet alors d affirmer que A I 3 = = λλ λ + = λ 3 Le théorème de Cayley- On sait que les solutions du système X = AX sont les fonctions de la forme t e ta X où X M 3, R Or, pour t R, e ta = e ta I e ti car les matrices ta I et ti commutent + t n = A In e t I = e t t n A In n! n! n= n= = e t + t + t = e t + t t t t t t Les solutions du système sont les fonctions de la forme t e ta X = e t a, b, c R 3 Maintenant, La solution cherchée est t tet te t t e t y z = + t t t t t t a = b = c = a b c = a + a + btet b a + bte t a + bt + ce t, c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

12 n o 7 : Soit A S n + R Pour t R, posons gt = Xt = Xt Xt La fonction g est dérivable sur R et pour tout réel t g t = Xt X t = Xt AXt = t XtAXt Ainsi, la fonction g est croissante sur R et il en est de même de la fonction g : t Xt n o 8 : Puisque les fonctions t t t t et t t sont continues sur, + [, l ensemble des solutions t sur, + [ du système proposé est un R-espace affine de dimension Résolution du système homogène associé Le couple de fonctions, y =, t est solution du système homogène associé sur, + [ Pour chaque réel strictement positif t, les deu vecteurs et constituent une base de t M R car t = Cherchons alors les solutions du système homogène sous la forme t αt + t αt βt = tαt + βt = t + t y y = + t y α = t α + tα + β t tα + α + β = α + t tα + β α = β t β t + β = β t λ, µ R / t, + [, { β = α = β t { βt = λ α t = λ t { βt = λ λ, µ R / t, + [, αt = λ t + µ t = λ λ, µ R / t, + [, t + µ yt = λ + µt α = β t tα + β = β t Maintenant, pour tout réel strictement positif t, wt = t = et donc les deu fonctions t t t et t sont deu solutions indépendantes du système homogène sur, + [ Les solutions sur, + [ du système t homogène sont les fonctions de la forme t λ t + µ t Recherche d une solution particulière du système par la méthode de variations des constantes Il eiste une solution particulière du système de la forme t λt t + µt où λ et µ sont deu fonctions t dérivables sur, + [ telles que pour tout réel strictement positif t, λ t de Cramer fournissent λ t = t t t = t et µ t = t µt = 3t et on obtient la solution particulière Xt = t t3 3 t + 3t t t +µ t t t = t t Les formules = 3t On peut prendre λt = t3 3 et = t / 7t 3 / c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

13 S,+ [ = Puisque les fonctions t t t + t t t λ t + µ 7t 3 + λ + µt et t t t + 3t sur R du système proposé est un R-espace affine de dimension, λ, µ R sont continues sur R, l ensemble des solutions Résolution du système homogène associé Les couples de fonctions X =, y = t, et, y =, t sont solutions du système homogène associé sur R De plus, pour chaque réel t, wt = t t = t + Le couple de fonctions X, X est donc un système fondamental de solutions sur R du système homogène X = AX Les fonctions t solutions du système homogène X = AX sont les fonctions de la forme t λ + µ, λ, µ R t Recherche d une solution particulière du système par la méthode de variation de la constante t Il eiste une solution particulière du système de la forme t λt + µt où λ et µ sont deu fonctions t t dérivables sur R telles que pour tout réel t, λ t + µ t = t t t Les formules de Cramer + 3t fournissent λ t = t + t /t + 3t/t + t = t3 + t t + = t t + et µ t = t t /t + t + 3t/t + = 5t t + On peut déjà prendre λt = 5t lnt + Ensuite, t + dt = 5 t + dt 6 t dt puis + et donc t + dt = t t + t t + dt = t t + + Arctant S R = t t t + dt = t t t t + dt = t t Si de plus y =, le système s écrit t + dt + C On peut prendre µt = t t 3Arctan t + t ln + t + t t 3Arctant + λt + µ + t ln + t + t t 3t Arctan t λ + µt + sht = cht sht = + cht 3 cht = cht ou encore cht + = Ensuite, ou encore, λ, µ R { sht = cht sht = 3 cht t + dt, cht + = cht sh t = e t e t = e t + e t e t + e t Ainsi, nécessairement, y {e t, e t, e t, e t, e t, e t, e t, e t } Réciproquement, si, y = e t, e t, et cht y = e3t + e t e t = e3t e t = et e t e t = shte t = sht + chty = e t + et + e 3t = et + e 3t = et e t e t = shte t = shty Donc le couple X =, y = e t, e t est une solution non nulle du système De même, si, y = e t, e t, et cht y = et + e 3t e t = et e 3t = et e t e t = shte t = sht + chty = e t + e3t + e t = e3t e t = et e t e t = shte t = shty On obtient c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-francefr

14 Donc le couple X =, y = e t, e t est une solution non nulle du système Enfin, wt = sht et le couple X, X est un système fondamental de solutions sur, + [ e t e t e t e t = et e t = S,+ [ = { λe t t + µe t λe t + µe t, λ, µ R } n o : Sur I =, + [, E s écrit y + + y 8 y = Puisque les deu fonctions + + et 8 sont continues sur I, les solutions de E sur I forment unr-espace vectoriel de dimension + Recherche d une solution polynomiale non nulle de E Soit P un éventuel polynôme non nul solution de E On note n son degré Le polynôme Q = X + P + X P 8P est de degré au plus n De plus, le coefficient de X n dans Q est n 8domP Si P est solution de E, on a nécessairement n 8domP = et donc n = Posons alors P = ax + bx + c X + P + X P 8P = X + a + X ax + b 8aX + bx + c = bx + a b 8c Par suite, P est solution de E sur I si et seulement si b = a b 8c = ce qui équivaut à b = et a = c La fonction f : + est donc une solution non nulle de E sur I Recherche d une solution particulière de la forme f α : e α, α C + e α + e α 8e α = α + + α 8 e α = αα + + α α 8 e α Par suite, f α est solution de E sur I si et seulement si αα + = α α 8 = ce qui équivaut à α = Ainsi, la fonction f : e est solution de E sur I Résolution de E sur [, + Vérifions que le couple f, f est un système fondamental de solution de E sur [, + Pour >, w = + 8 e e = 8 8 e = + e Donc le couple f, f est un système fondamental de solution de E sur [, + et S,+ [ = { λ + + µe, λ, µ R } Résolution de E sur R On a aussi S, [ = { λ + + µe, λ, µ R } Soit f une solution de E λ + + µ e si sur R Nécessairement, il eiste λ, λ, µ, µ R tel que R, f = λ + + µ e si > par continuité à gauche en f ainsi définie est deu fois dérivables sur et vérifie encore E en = si de plus f est deu fois dérivable en, [ et sur [, +, solution de E sur chacun de ces deu intervalles En résumé, f est solution de E sur R si et seulement si f est deu fois dérivables en f est déjà deu fois dérivable à droite et à gauche en De plus, en posant h = + ou encore = + h, on obtient quand tend vers par valeurs inférieures f = λ h + h + µ ee h = λ + eµ + λ eµ h + λ + eµ h + oh, et de même quand tend vers par valeurs supérieures, f = λ +eµ + λ eµ h+λ +eµ h +oh Par suite, f est deu fois dérivable en si et seulement si λ + eµ = λ + eµ ou encore µ = e λ + λ + µ c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr

15 a + + be si Ainsi, les solutions de E sur R sont les fonctions de la forme c + + a + c b e si >, e a, b, c R 3 Ainsi, l espace des solutions sur R est de dimension 3 et une base de cet espace est par eemple f, f, f 3 + si e où f : si si e e si >, f : e si > et f 3 : + + e e si > Sur I =, + [, l équation E s écrit y + y + y = Puisque les deu fonctions + + et sont continues sur I, les solutions de E sur I forment un R-espace vectoriel de dimension + La fonction f : est solution de E sur I Posons alors y = f z Puisque la fonction f ne s annule pas sur I, la fonction y est deu fois dérivables sur I si et seulement si la fonction z est deu fois dérivables sur I De plus, d après la formule de Leibniz, Par suite, + y y + y = + f z + f z + f z f z + f z + f z = + f z + + f f z + + f f + f z = 3 + z + z y solution de E sur I I, 3 + z + z = I, z + + z = I, + λ R/ I, z = λ λ, µ R / I, y = λ + ln + µ e ln ln + z = λ, µ R / I, z = λ + ln + µ 3 Cherchons les solutions développables en série entière Soit f = supposé à priori strictement positif Pour R, R[, n= a n n une série entière dont le rayon R est f f + 9 f = = = n= n= n= nn a n n nn a n n nn 3a n n + 9 = a + a + n=3 n= n= n= + na n n + 9 a n n na n n + 9 a n n+ = n= n= n= nn 3a n + 9a n 3 n a n n+ nn 3a n n + 9 n=3 a n 3 n Par suite, f est solution de E sur R, R[ si et seulement si a = a = et n 3, nn 3a n + 9a n 3 = ce qui s écrit encore 9 a = a = et n 3, a n = nn 3 a n 3 9 Les conditions a = et n 3, a n = nn 3 a n 3 sont équivalentes à p N, a 3p+ = et les conditions a = 9 et n 3, a n = nn 3 a n 3 sont équivalentes à p N, a 3p+ = Enfin les conditions p N 9, a 3p = 6p6p 3 a 3p 3 = pp a 3p sont équivalentes pour p à a 3p = pp p p 3 a = p p! a c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-francefr

16 En résumé, sous l hypothèse R >, f est solution de E sur R, R[ si et seulement si R, R[, f = p= p p! 3p p Réciproquement, puisque pour tout réel, lim + p! 3p = d après un théorème de croissances comparées, R = + pour tout choi de a ce qui valide les calculs précédents sur R Les solutions de E développables en série entière sont les fonctions de la forme λ pour >, n= n n n! 3n = n! 3/ n = cos 3/ n= n= n n! 3n, R Ensuite, Donc la fonction cos 3/ est une solution de E sur, + [ La forme de cette solution nous invite à changer de variable en posant t = 3/ Plus précisément, pour >, posons y = z 3/ = zt Puisque l application ϕ : 3/ est un C -difféomorphisme de, + [ sur lui-même, la fonction y est deu fois dérivables sur, + [ si et seulement si la fonction est deu fois dérivable sur, + [ Pour >, on a y = z 3/ puis y = 3 / z 3/ puis y = 3 / z 3/ + 9 z 3/ et donc Par suite, 3 y y + 9 y = / z 3/ z 3/ / z 3/ + 9 z 3/ = 9 z 3/ + z 3/ y solution de E sur, + [ >, 9 z 3/ + z 3/ = t >, z t + zt = λ, µ R / t >, zt = λ cost + µsint λ, µ R / >, y = λ cos 3/ + µsin 3/ S,+ [ = { λ cos 3/ + µsin 3/, λ, µ R } Puisque les fonctions +, e et sont continues sur, + [, les solutions de E sur + +, + [ constituent un R-espace affine de dimension Résolution de l équation homogène La fonction f : e est solution sur, + [ de l équation + y y + y = Posons alors y = f z Puisque la fonction f ne s annule pas sur, + [, la fonction y est deu fois dérivable sur, + [ si et seulement si la fonction z est deu fois dérivable sur, + [ De plus, la formule de Leibniz permet d écrire pour > + y y + y = + f z + f z + f z f z + f z + f z Par suite, = + f z + + f f z = + z + z e y solution de E H sur, + [ >, + z + z = >, z + Maintenant + z = >, e ln+ z + e ln+ z = + e >, + z = λ R/ >, z = λ + e c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-francefr

17 + e d = + e + + e d = + e + e + e d = + + e + C = 3 5 e + C = e + C On en déduit que y solution de E H sur, + [ λ R/ >, z = λ + e λ, µ R / >, z = λ e + µ λ, µ R / >, y = λ e + µe Maintenant, λ décrit R si et seulement si λ décrit R et en renommant la constante λ, les solutions de E H sur, + [ sont les fonctions de la forme λ e + µe, λ, µ R Recherche d une solution particulière de E Au vu du second membre, on peut chercher une solution particulière de la forme f : a + be, a, b R + a + be a + be + a + be = + a + b a a + b + a + a + be = b + b ae Par suite, f est solution de E sur, + [ si et seulement si b = et b a = ce qui équivaut à a = b = Une solution de E sur, + [ est + e S,+ [ = { λ e + µe + + } e, λ, µ R 5 Puisque la fonction e + dimension est continue sur R, les solutions de E sur R constituent un R-espace affine de L équation caractéristique de l équation homogène est z + z + = Puisque cette équation admet pour racine double, les solutions de l équation homogène associée sont les fonctions de la forme λe + µe, λ, µ R D après la méthode de variation de la constante, il eiste une solution particulière de E sur R de la forme λe + µe où λ et µ sont deu fonctions dérivables sur R telles que λ e + µ e = λ e + µ + e = e + Les formules de Cramer fournissent λ = e e e + e = + et + µ = e e e e = + On peut prendre λ = + et µ = argsh = ln puis f = + + ln + + e S R = { λ + µ ln + } + e, λ, µ R c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-francefr

18 n o : Soit f une éventuelle solution f est dérivable sur R et pour tout réel, f = f +e On en déduit que f est dérivable sur R ou encore que f est deu fois dérivable sur R En dérivant l égalité initiale, on obtient pour tout réel f = f + e = f + e + e, et donc f est solution sur R de l équation différentielle y + y = ch Par suite, il eiste λ, µ R tel que R, f = ch + λ cos + µsin Réciproquement, soit f une telle fonction f est dérivable sur R et pour tout réel, f + f = sh λ sin + µcos + ch + λ cos µsin = e + λ + µcos sin, et f est solution si et seulement si λ + µ = Les fonctions solutions sont les fonctions de la forme ch + λcos sin, λ R 3 n o : Soit f une éventuelle solution f est dérivable sur, + [ et pour tout réel >, f = f On en déduit 6 que f est dérivable sur, + [ ou encore que f est deu fois dérivable sur, + [ En dérivant l égalité initiale, on obtient pour tout réel f = f = 3 3/6 6 6 f = 3 3/6/ 6 f, et donc f est solution sur R de l équation différentielle y + 3 y = E Les solutions de E sur, + [ constituent 6 un R-espace vectoriel de dimension Cherchons une solution particulière de E sur, + [ de la forme g α : α, α R f α solution de E sur, + [ >, αα α α = α α = α = ou α = 3 Les deu fonctions f : / et f : 3/ sont solutions de E sur, + [ Le wronskien de ces solutions est / 3/ w = 3 3/ / = et donc f, f est un système fondamental de solutions de E sur, + [ Ainsi, si f est solution du problème, nécessairement λ, λ R tel que >, f = λ / + λ 3/ Réciproquement, soit f une telle fonction Pour tout réel >, f = λ 3/ + 3λ / et f 3 6 = 3/ λ / + 33/ λ 3/ Donc 8 f solution >, >, λ 3/ + 3λ / = 3/ λ / + 33/ λ 3/ 8 λ 3/ + 3λ / = 3/ λ / + 33/ λ 3/ 8 λ / + 3λ >, 3/ = 3/ λ λ = 33/ λ et 3λ 8 = 3/ λ λ = 3 λ 3/ 3/ Les fonctions solutions sont les fonctions de la forme λ / + 3 3/ + 33/ λ / après multiplication par 8 n o : La fonction nulle est solution Dorénavant, f est une éventuelle solution non nulle Il eiste donc R tel que f L égalité f f = Pour tout réel y, y y y y + ft dt = fournit f = ft dt = ffy = Maintenant, la fonction f est continue sur R et donc la fonction y ft dt est de classe C sur R En dérivant, on obtient pour tout réel y, fy + f y = et donc f est impaire c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-francefr

19 +y Pour tout réel y, on a alors fy = ft dt Puisque f est continue sur R, la fonction ft dt f y f y est de classe C sur R et il en est de même de f Mais alors la fonction +y ft dt est de classe C sur R et f y il en est de même de f En dérivant à y fié ou fié l égalité ffy = f est de classe C sur R +y y +y ft dt, on obtient pour tout, y R, f fy = f + y f y et ff y = f + y+f y En dérivant la première égalité à y fié et la deuième à fié, on obtient pour tout, y R, f fy = f +y f y = ff y En particulier, pour tout réel, f f ff = ou encore f kf = où f = f f f est solution d une équation différentielle du type y ky = f est donc de l un des types suivants : λ cosω + µsinω, λ, µ R et ω > ou a + b, a, b R ou λ chω + µshω, λ, µ R et ω > suivant que k >, k = ou k < De plus, f étant impaire, f est nécessairement de l un des types suivants : Réciproquement, λ sinω, λ R et ω > ou a, a R ou λ shω, λ R et ω > - si R, f = a, a R alors ffy = a y et +y y solution si et seulement si a = On obtient la fonction solution - si R, f = λ sinω, λ R et ω >, alors ffy = λ sinωsinωy et +y y ft dt = a + y y = ay Donc f est ft dt = λ ω cosω y cosω + y = λ ω sinωsinωy Donc f est solution si et seulement si λ = ω On obtient les fonctions solutions sinω, ω > ω - si R, f = λ shω, λ R et ω >, alors ffy = λ shωshωy et +y y ft dt = λ ω chω + y chω y = λ ω shωshωy Donc f est solution si et seulement si λ = ω On obtient les fonctions solutions shω, ω > ω n o 3 : Eistence de F = + e t e t dt Soit > La fonction t dt est continue sur [, + [ et est + t + t dominée par e t quand t tend vers + Donc la fonction t dt est intégrable sur [, + [ On en déduit que t + t F est définie sur, + [ Dérivées de F Soient a > puis Φ : [a, + [ [, + [ R, t e t + t Pour tout réel [a, + [, la fonction t Φ, t est continue et intégrable sur [, + [ La fonction Φ admet sur [a, + [ [, + [ des dérivées partielles d ordre et par rapport à sa première variable et pour tout, t [a, + [ [, + [ De plus Φ te t, t = + t et Φ, t = t e t + t - pour tout [a, + [, les fonctions t Φ, t et t Φ, t sont continues par morceau sur [, + [ - pour tout t [, + [, les fonctions Φ, t et Φ, t sont continues sur [, + [ - pour tout, t [a, + [ [, + [, Φ te ta, t + t = ϕ t et Φ, t t e ta + t = ϕ t où les fonctions ϕ et ϕ sont continues par morceau et intégrables sur [, + [ car sont dominées en + par t c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-francefr

20 D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres théorème de Leibniz, F est deu fois dérivable sur [a, + [ et les dérivées de F s obtiennent par dérivation sous le signe somme Ceci étant vrai pour tout réel a >, F est deu fois + dérivable sur, + [ et pour >, F F e t + = + t dt = t e t + t dt >, F = + Equation différentielle vérifiée par F Pour >, F + F = Eistence de G = + sin t t + Soit A > a Une intégration par parties fournit a cosa lim A + A particulier, A a t e t + t dt + >, F + F = dt Soit a > Montrons l eistence de A sin u a u = D autre part, puisque u a, cosu cosu u vers + ou encore que l intégrale Mais alors, pour >, cos a e t dt = [ + e t = + a sinu u du = cosa a + cosa A A a + du et cosu u cosu u du a du Puisque cosa A A, on cosu u, la fonction u u u est intégrable sur [a, + [ et en A sinu du a une limite quand A tend vers + On en déduit que du a une limite quand A tend a u + sin u + cosu du converge en + De même, du converge en + u u + sin u u + cosu + du sin u du = sinu + du = u G est définie sur, + [ a sint dt = G eiste t + Equation différentielle vérifiée par G Puisque la fonction u sinu est continue sur, + [, la fonction u + sinu + u du = sin u u du sin u + u du est de classe cosu C sur, + [ De même, la fonction du est de u classe C sur, + [ puis G est de classe C sur, + [ De plus, pour tout réel >, + G sin u cossin + cosu cossin + sin u + = sin du cos du+ = sin u u u du cos cosu u du, puis en redérivant + G sin u = cos u du + sin + cosu + sin u du + cos = G + + Limites de F et G en + Puisque lim + + cosu u Pour tout réel >, F = sin u u >, G + G = + cosu du et u + sinu du sont deu intégrales convergentes, lim + u du = du = Puisque les fonctions sinus et cosinus sont bornées sur R On en déduit que lim G = + + e t + dt e t dt = + t lim F = lim G = + + et donc lim F = + Egalité de F et G D après ce qui précède, F G + F G = et donc il eiste λ, µ R tel que pour tout >, F G = λ cos + µsin Si λ, µ,, alors λ cos + µsin = λ + µ cos ne tend pas vers quand tend vers + Puisque lim F G =, on a nécessairement λ = µ = et donc F G = On a montré que + >, + e t + + t dt = sin t t + dt Remarque On peut montrer que l égalité persiste quand = par continuité et on obtient + sint t dt = π c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés http ://wwwmaths-francefr