CHAPITRE 7 REPONSE SISMIQUE DE L'OSCILLATEUR A N DEGRES DE LIBERTE

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1 CHAPIRE 7 REPOSE SISMIQUE DE L'OSCILLAEUR A DEGRES DE LIBERE 7. IRODUCIO Le chapitre précédent a traité de la répone de l'ocillateur à deré de liberté oumi à de ollicitation directement appliquée aux mae compoant le ytème. Le mouvement du upport de l'ocillateur, tel celui enendré par une ollicitation imique, repréente une autre forme de ollicitation dont l'étude contitue l'obet de ce chapitre. La démarche uivie dan ce chapitre et analoue à celle uivie pour l'ocillateur à un deré de liberté (chapitre 4). 7. EQUAIO DE L'EQUILIBRE DYAMIQUE La fiure 7. chématie le ytème à étudier. La tructure, contituée ici d'un portique à troi niveaux, et oumie à un mouvement de e point d'appui ur le ol. On uppoera dan un premier temp que l'accélération v (t) et identique en tou le point d'appui et et repréentée par un mouvement de tranlation. Fiure 7. : Excitation imique de l'ocillateur 7

2 La fiure 7. repréente, pour le beoin de la préentation et an en diminuer la énéralité, une chématiation implifiée du ytème ou la forme d'un modèle brochette qui, rappelon-le, uppoe que le plancher ont infiniment riide et que leur cinématique peut être décrite par le mouvement d'un eul point. On introduit deux référentiel, l'un fixe et l'autre lié au upport du ytème. Le deré de liberté (tranlation et rotation) de différent nœud du modèle ont repréenté dan le repère fixe par le vecteur V de compoante V, V, V où et le nombre de deré de liberté; oit U le vecteur donnant le même quantité dan le repère mobile lié au upport. m i i v S ((t) u i v i Fiure 7. : Mouvement relatif et abolu du ytème La rèle de compoition de déplacement permet d'exprimer le déplacement abolu en fonction du déplacement relatif par : (7.) V=U+ v () t où et le vecteur donnant la direction de la ollicitation. Le vecteur a pour compoante dan la direction du mouvement de tranlation, 0 pour le autre deré de liberté. Aini pour le portique de la fiure 7., i on conidère que chaque nœud poède troi deré de liberté (deux tranlation dan le plan et une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan de la fiure), le vecteur 'écrira en ordonnant le deré de liberté -tranlation horizontale, tranlation verticale et rotation d'axe horizontal- : (7.) = {, 0, 0,,0,0,... } La loi de comportement de différent élément de liaion reliant le mae, FUU (, ), et choiie de type vicoélatique linéaire. Dan ce condition, le différente force aiant ur le mae du ytème ont : 8

3 force élatique (7.3a) FS = force d'amortiement KU (7.3b) FD = CU force d'inertie (7.3c) FI = MV On notera que le force interne, élatique et d'amortiement, 'expriment en fonction de matrice de riidité et d'amortiement et de déplacement et vitee relative. Le force d'inertie 'expriment en fonction de la matrice de mae et de accélération abolue. L'équation d'équilibre dynamique du ytème 'obtient en écrivant la nullité de l'enemble de ce effort, oit : (7.4) MV + CU + KU = 0 enant compte de la relation (7.), l'équation (7.4) devient : (7.5) MU + CU + KU = M v () t Cette équation et analoue à l'équation (6.5) en définiant un charement équivalent : (7.6) P () t = M v () t e 7.3 DECOMPOSIIO MODALE L'équivalence de l'équation (7.5) et de l'équation (6.5) permet d'utilier la décompoition modale explicitée au chapitre 6 pour découpler le équation (7.5) réiant l'équilibre dynamique du ytème. Appelant Φ la matrice de dimenion x contenant le vecteur modaux D, ur la bae modale, le vecteur U 'exprime par : (7.7) U= Φ Y = D y() t = 9

4 Reportant dan (7.5), tenant compte de propriété d'orthoonalité de vecteur propre par rapport aux matrice K et M, et en faiant l'hypothèe que la matrice C poède la même propriété, on obtient le équation découplée : (7.8) p () t y () t + ξω y () t +ω y() t =, =,, m dan laquelle on a poé avec le notation uuelle : mae énéraliée raideur énéraliée m k =D MD =D KD amortiement D CD ξ = m ω pulation propre k ω = m charement énéralié p = D M v () t = L v () t 7.4 SOLUIO EMPORELLE Le méthode d'analye fréquentielle, ou temporelle, développée dan le chapitre précédent permettent alor d'obtenir le olution de équation découplée (7.8). En particulier la répone temporelle obtenue par l'intérale de Duhamel 'écrit : L t ξ ω τ (7.9) ( ) = ( τ) ω τ)] τ ω (t- ) y t v e in[ D(t- d 0 Poant : m D (7.0) D M a = D MD Le déplacement U dan le mode 'écrit (7.) U = D y () t = a D q () t 0

5 où q (t) et olution de l'équation différentielle (7.) q t q t q t v t () + ξω () +ω () = (), =,, a et appelé facteur de participation. L'équation (7.0) montre clairement que la valeur de a dépend de la norme adoptée pour le mode propre D. Le mode propre D étant défini à une contante multiplicative prè, une multiplication de D par un coefficient λ, divie le facteur de participation par λ. On notera la propriété remarquable relative aux facteur de participation: (7.3) a D = = qui 'obtient immédiatement en prémultipliant (7.3) par Di M et en tenant compte de la propriété d'orthoonalité de mode propre et de la relation (7.0) : (7.4) i a = i iai = i = D M D D MD D M Une foi la répone de chaque mode déterminée, le déplacement total 'obtient par ommation ur l'enemble de mode : (7.5) U= U = a D q () t = = 7.5 CALCUL DES EFFORS La répone en déplacement dan le mode étant déterminée, l'effort élatique dan le ytème 'obtient par : (7.6) F = KU = a KD q () t enant compte du fait que D et un vecteur propre (éq. 6.36), il vient : (7.7) KD =ω MD F = a ω MD q () t

6 dan laquelle on reconnaît le produit de la mae du ytème par une quantité ayant une dimenion d'accélération. L'effort total réultant de la uperpoition de l'enemble de mode 'écrit : (7.8) F = F = a ω MD = = q () t 7.6 VALEURS MAXIMALES DE LA REPOSE 7.6. VALEUR MAXIMALE PAR MODE Dan le équation (7.5) et (7.8), q (t) peut être obtenue par a variation temporelle donnée par l'intérale de Duhamel, olution de l'équation (7.) : ξ ω τ (7.9) = τ ω τ)] τ ω t - (t- ) q (t) v S( ) e in[ D(t- d 0 D Pour le dimenionnement d'un ytème, la connaiance de la variation temporelle de l'effort F, donc de q (t), n'et pa obliatoirement néceaire et eule la valeur maximale et requie. Par analoie avec le développement du chapitre 4 pour l'ocillateur à un deré de liberté, le pectre de répone de la ollicitation v (t) permet d'accéder, pour chaque mode, à cette randeur. On rappelle que le pectre de répone en déplacement et pour l'enemble de couple (ω, ξ ) la quantité : ξ ω τ (7.0) ( ω, ξ ) = τ ω τ)] τ ω t - (t- ) SD max v S( ) e in[ D(t- d t 0 D Un exemple de pectre de répone en déplacement et donné ur la fiure 4.7 pour l'accéléroramme de Lake Huhe (fiure 4.3). Introduiant la peudo-accélération définie par : (7.) S S a( ω, ξ ) =ω D( ω, ξ)

7 le déplacement maximal et l'effort maximal dan le mode ont alor donné par : (7.a) U max = a D S ( ω, ξ ) D (7.b) F max = a MD S ( ω, ξ ) a On rappelle que la peudo-accélération et en énéral différente de l'accélération abolue (voir chapitre 4); le deux quantité ne ont éale que pour un ytème non amorti. La force 'obtient à partir de la peudo-accélération et non de l'accélération abolue. Un exemple de pectre en peudo-accélération et donné ur la fiure 4.8 pour l'accéléroramme de Lake Huhe VALEUR MAXIMALE DE LA REPOSE OALE L'utiliation du pectre de répone ne permet d'accéder qu'à la valeur maximale de la répone dan chaque mode. Ce maxima ne e produient pa tou au même intant et e poe alor le problème du cumul de répone modale. Déinant par R, exprimé ou la forme de l équation (7.), le vecteur contenant le répone modale maximale d'une quantité donnée (déplacement en un point, effort, contrainte dan un élément.), de compoante r, une enveloppe de la répone maximale pour l'enemble de mode et évidemment obtenue en effectuant la omme de valeur maximale de répone modale. (7.3) r = r outefoi cette approche et trop conervative et peut conduire à une uretimation importante de la répone. On lui préfère la rèle de cumul, dite quadratique complète CQC (Complete Quadratic Combination), qui exprime la répone maximale ou la forme : (7.4) R= R Ρ R = ρ r r i= = i i où ρ i, élément de la matrice P, repréente le coefficient de corrélation entre le mode i et. Il dépend de pulation propre (ω i, ω ) et de pourcentae d'amortiement critique (ξ i, ξ ) de deux mode. La formulation de ρ i et donnée par : 3

8 (7.5) ρ i = ( ) ( ) 8 ξξωω ωξ+ ωξ ωω i i i i i ω ω + 4 ξ ξ ( ω + ω ) ω ω + 4( ξ +ξ ) ω ω i i i i i i On notera que dan l équation (7.4) le quantité r i er r doivent être exprimée avec leur ine repectif (poitif ou néatif) et que leur produit peut donc être poitif ou néatif. La fiure 7.3 préente, dan le ca particulier où le amortiement de deux mode ont ωi éaux (ξ=ξ i =ξ ), la variation du coefficient de corrélation ρ i en fonction de ζ i = pour ω différente valeur de ξ.. ξ i = ξ ρ i ζ i i = ω i / ω Fiure 7.3 : Coefficient de corrélation entre mode Lorque le fréquence propre de mode ont éale ( ζ i = ), le coefficient de corrélation vaut quelque oient i et ; l'équation (7.4) indique que la contribution de deux mode à la répone totale et éale à la omme de contribution maximale de chaque mode; ceci et équivalent à la formulation (7.3). Lorque l'amortiement et faible et que le fréquence propre de deux mode ont uffiamment écartée ρ ii = et ρ i << pour i, et on peut exprimer la contribution de deux mode comme éale à la racine carrée de la omme de carré de contribution maximale; cette combinaion et connue ou le terme de combinaion quadratique SRSS (Square Root of the Sum of the Square). Aini, i tou le mode ont uffiamment dioint, la combinaion (7.4) e réduit à : (7.6) r= R IR = r i= i où I et la matrice identité. 4

9 Pour le valeur d'amortiement rencontrée dan la pratique (hormi le problème d'interaction ol-tructure qui peuvent induire de amortiement élevé), la formule (7.6) peut être conidérée comme applicable dè que ζ i n'appartient pa à l'intervalle [0.9,.] : ω ω i (7.7) ζ = [ 0.9,.] i Remarque importante: le combinaion modale donnée par (7.4) et (7.6) ont baée ur de propriété tatitique de la ollicitation et ne ont valable que ou ce hypothèe. La ollicitation doit, en particulier, être un bruit blanc non filtré et le mode propre ne doivent pa poéder de fréquence trop élevée. Ceci exclut en particulier tou le mode qui ne ont pa amplifié par la ollicitation, dit mode de corp riide. Pour le traitement de ce mode et leur prie en compte dan la répone on e reportera au pararaphe CHOIX DU OMBRE DE MODES Un ytème réel poède un nombre élevé de deré de liberté. La détermination de tou le mode, au nombre de, du ytème n'et pa réalite et peut donner une faue illuion de riueur : en effet, la dicrétiation d'un ytème, qui par nature poède un nombre infini de deré de liberté, en un ytème à deré de liberté introduit une erreur d'autant plu importante que la fréquence et élevée. Le fréquence élevée, i elle repréentent correctement celle du ytème dicrétié n'ont qu'un rapport lointain avec celle du ytème réel. Heureuement, l'expérience montre que la répone d'un ytème et contrôlée par le premier mode uqu'à l'ordre K tel que K<<. La quetion poée et celle du choix du nombre K de mode à retenir dan l'analye. A cette fin, on introduit le paramètre m, dénommé mae modale : (7.8) L m = = m ( D ) M D M D La mae modale m, contrairement au facteur de participation a ne dépend pa du choix adopté pour la normaliation de vecteur propre : l'équation (7.8) montre qu'une multiplication de D par une contante arbitraire λ n'affecte pa la valeur de m. On notera que lorque le vecteur propre ont normalié par rapport à la matrice mae, alor le carré du facteur de participation et éal à la mae modale : 5

10 (7.9) = a = m D MD La mae modale m poède la propriété remarquable que la omme de mae modale et éale à la mae totale M de la tructure ollicitée dan la direction. (7.30) M = M = m = Démontration : Le vecteur de direction peut être décompoé ur la bae de mode Φ = { D, D,, D} (7.3) = par définition : ΦZ (7.3) L = D M = D MΦZ qui compte tenu de la propriété d'orthoonalité de mode propre devient : (7.33) = D MD = m L z z L'équation (7.30) peut alor 'écrire : (7.34) M = ΦZ M ΦZ = Z Φ MΦZ Le produit Φ M Φ et par uite de la propriété d'orthoonalité de mode propre éal à la matrice diaonale dont le terme repréentent le mae énéraliée. Il en réulte que l'équation (7.34) 'écrit : (7.35) M m 0 = Z m Z= 0 m = m z 6

11 enant compte de la relation (7.33), il 'enuit : (7.36) M L = m z = m = = ce qui avec (7.8) achève la démontration de la relation (7.30). La mae modale permet de quantifier l'erreur commie en ne retenant que K mode pour l'évaluation de la répone. Si l'on 'intéree par exemple à la force F dan le ytème, cette erreur 'exprime par : (7.37) ε = F = K+ oit en tenant compte de (7.6) et de (7.9) (7.38) ε = m ω = K+ q () t MD L'erreur commie en nélieant le mode K+ à dépend donc : - de caractéritique dynamique de la tructure par l'intermédiaire de quantité ω, D - de caractéritique du charement q (t) - de la mae modale m Plu la mae modale de mode nélié et faible, plu l'erreur commie et faible. On dipoe aini à partir de l'équation (7.38) d'un critère obectif permettant de choiir le nombre de mode; cependant, la mie en oeuvre pratique néceiterait de faire le calcul de tou le mode, d'où on manque d'intérêt. enant compte de la remarque précédente relative à la relation entre mae modale et erreur, on admet dan la pratique que i l'on 'intéree à la répone d'enemble de la tructure, on obtient une bonne approximation de celle-ci avec K mode dè que : (7.39) K m 0.9M = On attire cependant l'attention ur le fait que la répone locale d'un élément du ytème peut néceiter la prie en compte d'un nombre de mode plu important que celui donné par la relation (7.39). 7

12 7.8 MODES RIGIDES Au delà d'une fréquence, appelée fréquence de coupure du pectre typiquement de l'ordre de 30 à 50 Hz, on oberve que la répone d'un ocillateur imple à un deré de liberté n'et plu amplifiée; dan l'équation réiant la répone de l'ocillateur imple (éq 4.5) le terme u et u peuvent être nélié et le déplacement relatif et donné par: v () t (7.40) u = ω out e pae comme i l'ocillateur était riidement lié à on upport et ubiait l accélération du ol, d'où le nom de mode riide. La répone en terme de déplacement relatif du ytème peut alor 'écrire en éparant le mode amplifié, ( M), de mode non amplifié, ou "riide": (7.4) M = = M+ U = a D q () t + a D q () t Le deuxième terme de (7.4) peut 'écrire en tenant compte de (7.40) ω a (7.4) adq() t = v () t D = M+ = M+ Déinant par W la déformée tatique de la tructure dan un champ d'accélération unitaire, il réulte immédiatement de (7.40) et (7.4) avec v () t = M (7.43) W a a = + ω D ω D = = M+ En tenant compte de (7.4) et (7.43) il 'enuit pour (7.4): M M a (7.44) U= adq() t v () t W D ω = = Cette expreion montre que la répone e compoe de la omme de répone modale de mode à répone dynamique et d'un terme complémentaire, proportionnel à l'accélération d'excitation v () t, et dont le calcul ne fait intervenir que la déformée tatique ou accélération unité et le M mode dynamique. Le combinaion modale du pararaphe 7.6 'effectuent alor en aimilant le deuxième terme de (7.44) à un mode (le peudo mode) et en le combinant quadratiquement au réultat de la combinaion CQC (ou SRSS) appliquée 8

13 aux mode amplifié; par exemple, le déplacement du deré de liberté k du ytème 'écrit en déinant par A la valeur maximale de l'accélération v () t du upport: (7.45) U= u u A w a D M M M k ρ i k ki + k k ω i= = = Lorque la condition (7.39) relative au pourcentae de mae modale pri en compte n'et pa atifaite aprè calcul de tou le mode uqu'à la fréquence de coupure du pectre, l'addition d'un peudo mode à la combinaion de mode calculé permet de rendre compte du déficit de mae modale. 7.9 EXCIAIO MULISUPPORS Le développement effectué dan ce chapitre ont conidéré que tou le point d'appui de la tructure étaient ollicité par un mouvement unique v () t. Cette ituation et eniblement exacte pour le ouvrae d'emprie au ol limitée comme un bâtiment. Pour le tructure linéaire, tel le pont de rande lonueur, le mouvement imique au droit de chacun de appui peut varier du fait de nature de ol différente d'un appui à l'autre, de modification intervenant, par réflexion et réfraction ur le interface éoloique, dan la nature du champ d'onde incident lor de on traet depui le foyer du éime. ou ce phénomène ont connu ou le nom de décorrélation du mouvement imique. Le problème à analyer et celui de la fiure 7.4 où une tructure et ollicitée à chacun de e appui par un mouvement v () t variable d'un appui à l'autre. Fiure 7.4 : Excitation multiupport d'une tructure 9

14 Pour l'analye du ytème de la fiure 7.4, la formulation du pararaphe et modifiée en partitionnant le vecteur de déplacement abolu (meuré dan le référentiel fixe) en deux ou enemble : le déplacement de la upertructure V et le déplacement de point d'appui v. L'équation d'équilibre dynamique pour l'enemble de deré de liberté 'écrit : (7.46) M M V C C V K K V = M M v C C v K K v p () t dan laquelle p () t repréente le force appliquée aux point d'appui pour y enendrer le déplacement v () t. La première de deux équation (7.46), en paant le terme connu au deuxième membre, prend la forme : (7.47) MV+CV+KV = M v C v K v Décompoon le vecteur de déplacement totaux V en une compoante quai tatique (mai variable dan le temp) u, réultant de l'application ou forme quai tatique de déplacement d'appui v, et en une compoante dynamique U : (7.48) V=u +U Le vecteur de déplacement quai tatique u 'obtient immédiatement à partir de l'équation (7.46) dan laquelle tou le terme dynamique ont pri éaux à zéro : (7.49) K K u 0 = K K v p () t oit en retenant la première de deux équation : (7.50) Ku + K v = 0 Portant la décompoition (7.48) dan la relation (7.46) et tenant compte de (7.50) il vient : (7.5) MU+CU+KU = + + M v Mu C v Cu 30

15 oit en introduiant la matrice d'influence déplacement d'appui ur le déplacement de la tructure, Λ = K K, qui décrit l'influence de (7.5) MU+CU+KU= ( M Λ+ M )v (C Λ+ C )v Si le vecteur de déplacement d'appui v et e dérivée par rapport au temp ont connu, le deuxième membre de l'équation (7.5), qui repréente le charement effectif de la tructure P () t, et connu et la olution du problème 'apparente à celle de l'équation (7.5). e Le econd membre de l'équation (7.5) e implifie i l'on nélie le terme d'amortiement qui ont énéralement faible devant le terme d'inertie. Si de plu on adopte pour la modéliation de la tructure une modéliation à mae concentrée, qui implique que la matrice M et diaonale, alor la matrice M et nulle et le charement effectif de la tructure devient : (7.53) P () t = MΛ v e Le effort dan la tructure ont finalement donné, tenant compte de (7.48) et (7.50), par: (7.54) F= KV+ K v = KU+ KΛ + K v = KU Comme l'indique l'équation (7.54), le effort modaux dan la tructure ne réultent que de la compoante dynamique de déplacement. L analye de ce ytème diffère cependant de celle du ytème claique, pour lequel tou le upport ont animé d un même mouvement, par le fait que le force tatique équivalente au niveau de point d appui ne peuvent être directement calculé à partir de effort élatique modaux F (ou de déplacement dynamique U ). Ce effort dépendent éalement de déplacement relatif entre appui et doivent être calculé à partir de ou matrice de riidité afférente à ce upport. Le réultat et obtenu en utiliant la deuxième équation de (7.46) (7.55) p = K V+K v Qui peut éalement écrire compte tenu de (7.48) et (7.50) (7.56) = ( Λ ) p K U+ K K v Le premier terme de (7.56) repréente la compoante dynamique de effort aux upport provenant de la répone dynamique de la tructure et le econd le effort peudo tatique du aux déplacement différentiel d appui. Une foi calculé le effort dynamique nodaux à l aide de (7.54) et le effort aux appui à l aide de (7.56), le effort réultant 3

16 dan toute ection de la tructure peuvent être évalué par le méthode uuelle de la tatique de tructure. 3