Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

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1 Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même milieu Le point M est unique, il est l image de M par la translation. Le point M est l antécédent de M par cette translation. Par une translation tout point du plan a un unique antécédent. ABM M est un parallélogramme. Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati. 2. Caractéristiques d une translation : La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements : La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM ) a la même direction que (est parallèle à) la droite (AB) Le sens de A vers B. On va de M vers M dans le même sens que de A vers B. La longueur AB. MM = AB. 3. Image d un polygone par une translation : Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A. 1

2 II Vecteurs Un couple (A, B) de deux points distinct du plan définit un vecteur noté caractérisé par : Une direction celle de la droite (AB) Un sens de A vers B Une longueur (ou norme) AB. A est l origine et B l extrémité du vecteur. Par convention le vecteur est le vecteur nul, il est noté =. Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens. On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur = et on peut la note t. La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour image, les points sont invariants. 2. Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs et sont égaux s ils définissent la même translation. Ils ont même direction, même sens et même norme ou longueur. On pourra noter = = AB = CD = (seule écriture possible pour la norme d un vecteur nommé par une seule lettre). 3. Propriétés : Propriété 1 : = équivaut à «[AD] et [CB] on le même milieu. Propriété 2 : = équivaut à «ABDC est un parallélogramme. Propriété 3 : Si = alors (AB)//(CD) et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à?) Propriété 4 : Soit un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point unique N tel que 2

3 III Composée de deux translations. Somme de vecteurs La somme de deux vecteurs et est le vecteur qui caractérise la translation résultant la composition de la translations de vecteur suivi de la translation de vecteur, noté = Construction : Relation de Chasles = et = + = = + = + Règle du parallélogramme = et = + = C étant le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. = + 4. Propriétés : Pour tous vecteurs,, du plan on a : + = + + = + ( ) ( ) 3

4 5. Vecteurs opposés : On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul. Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire. Notation :. Soustraire un vecteur c est ajouter son opposé. IV Multiplication d un vecteur par un nombre réel Soit un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur par le nombre réel k est le vecteur avec, ou, tel que : Si ou k =0 alors Si et k 0 alors ont : la même direction si k > 0 le même sens et CD = k AB. si k < 0 un sens contraire et CD = k AB. 2. Propriétés admises: Le produit du vecteur par un nombre réel k est le vecteur si et seulement si ou k = 0 pour tous vecteurs Åu et Åv, et tous nombres réels a et b : a( )= et (a+b) = k + b 4

5 3. V Vecteurs colinéaires Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que = k. Les vecteurs et ont alors la même direction. Par convention le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. 2. Vecteur directeur d une droite : Soit une droite (d), un vecteur non nul. Le vecteur est un vecteur directeur de la droite (d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs et sont colinéaires. 3. Propriétés : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires donc il existe un réel k tel que = k. Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires donc il existe un réel k tel que = k. 5