Chapitre 9 Les nombres complexes

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1 Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On appellecl ensemble :{z = a+ib;a R,b R} Les éléments decsont les nombres complexes C est muni d une addition et d une multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans R 4 L écriture d un nombre complexe est unique, c est à dire que : si z = a+ib et z = a +ib, alors z = z a = a et b = b ) 5 L ecriture z = a + ib avec a et b réels s appelle l écriture algébrique de z Le réel a s appelle la partie réelle de z et le réel b sa partie imaginaire On note a = Rez) et b = Imz) Exemple Donner les parties réelles et imaginaires de z = +i et z = i Remarque Comme un réel x peut s écrire x+i 0, on en déduit que R C Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s écrit z = ib et s appelle un Imaginaire pur Représentation des nombres complexes en coordonnées cartésiennes Le plan P est muni d un repère orthonormé O, u, v ) direct Définition Point - image, affixe) À tout z = a+ib on associe le point Ma;b), appelé point -) image du nombre complexe z = a+ib Le nombre complexe z = a+ib s appelle l affixe du point Ma;b) et on peut noter Mz) Si z est un imaginaire pur, Mz) appartient à l axe des ordonnées que l on appelle axes des imaginaires purs Si z est un réel, Mz) appartient à l axe des abscisses que l on appelle axes des réels Définition Vecteur - image) a À tout nombre complexe z = a+ib on associe w b ) qui est également appelé vecteur-) image de z Propriété Soient trois points et leurs affixes : Az A ) ; Bz B ) et Cz C ) La différence zb z A est l affixe du vecteur AB I le milieu du segment [AB] a pour affixe z I = z A +z B Exemple Quelle est l affixe de u ; v ; u ; v On donne A), Bi) et C +i) Déterminer l affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme Module et argument d un nombre complexe : les coordonnées polaires Il est également possible de repérer tout point du plan en coordonnées polaires Ceci va nous conduire à une autre écriture des nombres complexes appelée forme trigonométrique b r = z Mz) v θ = argz) 0 u a

2 Passage du cartésien au polaire et du polaire au cartésien Propriété Soit M le point du plan d affixe z = a+ib, c est à dire de coordonnées a;b) Alors : { r = a +b = OM une représentation polaire de M est r,θ) avec θ = u, OM )+kπ,k Z Ces coordonnées définissent un point de manière unique si on impose de plus, θ ] π;π] Pour calculer les coordonnées cartésiennes connaissant les coordonnées polaires d un point M O : a = rcosθ) et b = rsinθ) Ainsi, z = rcosθ)+irsinθ) = rcosθ)+isinθ)) Pour calculer les coordonnées polaires connaissant les coordonnées cartésiennes d un point M O : a) On calcule r = a +b b) On détermine, à π près l angle θ tel que cosθ) = a r et sinθ) = b Si les valeurs ne sont pas r remarquables, on se sert de la calculatrice Module et argument d un nombre complexe Définition 4 Soit z = a+ib un nombre complexe et M le point d affixe z On appelle module de z le nombre réel positif noté z = a +b, qui n est rien d autre que la distance OM On appelle argument de z et on note argz) toute mesure en radian de l angle u, OM ) On appelle argument principal de z la mesure de cet angle qui appartient à ] π;π] z = rcosθ)+isinθ)) est l écriture trigonométrique de z Propriété z 0 pour tout complexe z z = 0 z = 0 Si z est réel, on a z = a, alors z = a = a Le module d un nombre réel est donc sa valeur absolue, ce qui justifie la notation { 4 z = z z = z argz) = argz ) π) 5 Le nombre complexe nul z = 0 ne possède pas d argument car u, OM) n est pas défini 6 z R z = 0 ou argz) = 0 π) 7 z ir z = 0 ou argz) = π π) Exemple Donner le module et l argument principal de z = i, z =, z = + i et z 4 = 4i Si nécessaire on donnera une valeur approchée à 0 radians près Soit M un point d affixe z 0, de module r et d argument θ Exprimer en fonction de r et de θ les modules et arguments de M, M et M, symétriques de M par rapport à O; u), O et O; v) Soit z = cosα+isinα) et z = sinα+icosα) a) Donner le module et un argument de z b) Montrer que z = iz En déduire une interprétation géométrique de la multiplication par i 4 Conjugué d un nombre complexe Définition 5 z = a ib est appelé le nombre complexe conjugué de z = a + ib où a et b sont des réels Exemple 4 Conjugués de z = 8 5i et de z = +i? A quelle condition le conjugué de z +i est-il z i?

3 Propriété 4 z +z = Rez) et z z = iimz) z est réel z = z z est un imaginaire pur z = z s imaginaires b v 0 u Mz = a+ib) a Axes des réels b M z = a ib) Calculs dans C Notation exponentielle Addition et multiplication dans C Comme il a été dit dans la première partie, les opérations usuelles sur les nombres complexes prolongent celles effectués sur les nombres réels, en y ajoutant la règle i = Exemple 5 Calculer +i), i)4+ i) et j, avec j = +i En déduire la valeur de +j + j ++j 0 Calcul sous forme algébrique Propriété 5 Soit z = a+ib,a;b) R, alors : z z = a +b = z, réel positif strictement dès que z 0) Cette propriété va permettre d écrire les nombres complexes fractionnaires sous forme algébrique Exemple 6 Mettre les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : 4i i 4+i +i +i i,a;b) 0;0) a+ib Propriété 6 Propriétés du conjugué Pour tout nombre complexe z et z et tout entier relatif n, on a : z = z z +z = z +z z = z 4 zz = zz 5 z z ) = z z où z 0 6 zn = z n Exemple 7 Donner les conjugués de z = 4 5i +i et de z = z i 5z+i Soit M un point d affixe z, déterminer le lieu des points M pour que iz z i soit réel Équations dans C Équation du premier degré Exemple 8 Résoudre dans C l équation+i)z = 4+i On donnera les solutions sous la forme algébrique Équation z = a, a R Théorème 7 L équation z = a possède deux solutions dans C : a et a si a 0 i a et i a si a 0 Exemple 9 z = z + 4 = 0 z = cos θ)

4 Cas général des équations du second degré On considère l équation az +bz +c = 0, où a b et c sont trois réels avec a non nul Théorème 8 Si < 0, il y a solutions complexes conjuguées : z = b i a Dans C, on peut donc toujours factoriser un polynôme du second degré et z = b+i a Exemple 0 z z+ = 0 x x+ = 0 z 4 +z 0 = 0 4 Calcul sous forme trigonométrique L écriture trigonométrique est beaucoup plus adaptée pour le calcul des produits, des quotients et des puissances que la forme algébrique Propriété 9 Pour tous nombres complexes z C et z C : z z = z z et argzz ) = argz) + argz ) π) z = ) et arg = argz ) π) z z z z = z z et arg z z ) = argz) argz ) π) 4 z n = z n et argz n ) = nargz) π) n Z Résumé : quand on multiplie deux nombres complexes on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments Quand on divise deux nombres complexes on divise leurs modules et on soustrait leurs arguments Exemple Soit z = cos π 4) +isin π 4 Écrire π π cos +isin ) ))) 5 sous forme trigonométrique )) et z = cos ) π +isin π )) Calculer zz et z z Écrire les nombres z et z de la question sous la forme algébrique et effectuer le produit zz sous forme algébrique En déduire la valeur exacte de cos ) 5π et de sin 5π ) 5 Notation exponentielle, formules de Moivre et d Euler Définition 6 Pour θ réel, on note e iθ = cosθ+isinθ, le complexe de module et d argument θ z, de module r et d argument θ s écrit z = re iθ qui est une écriture exponentielle de z Exemple e iπ = e iπ = e iπ = i e iπ = i e iπ = +i Ce iπ ) + A e iπ ) B e iπ ) Bei π ) Aeiπ ) En retranscrivant les propriétés précédentes en écriture exponentielle : Propriété 0 pour tous réels r > 0 ; r > 0 ; θ et θ et n Z re iθ r e iθ = rr e iθ+θ ) re iθ r e iθ = r r eiθ θ ) re iθ ) n = r n e inθ

5 Propriété Formule de Moivre Pout tout réel θ et tout entier relatif n, cosθ+isinθ) n = cosnθ)+isinnθ) Exemple Calculer le module et un argument de z = i i) +i Déduire la valeur de cos π ) Ecrire sous forme algébrique +i)4 et +i)4 i) Soit z = e iθ Propriété +e iθ,θ ] π;π[ Montrer que z est un imaginaire pur puis exprimer z en fonction de θ Formules d Euler Pout tout réel θ cosθ = eiθ +e iθ sinθ = eiθ e iθ i Exemple 4 Exprimer cosx) en fonction de cosx et sinx) en fonction de sinx Application des nombres complexes à la géométrie Traduction de propriétés géométriques à l aide des nombres complexes Distances Propriété AB= z B z A Soit Ω un point d affixe ω L équation complexe du cercle de centre Ω et de rayon R est : z ω = R Soient Aa) et Bb) L équation de la médiatrice de [AB] est : z zb = z z A Angles orientés Propriété 4 Soit V z) un vecteur non nul, alors argz) = u ; V ) π) ou encore, si Aa) et Bb) sont deux points distincts alors u ; AB) = argb a) π) Propriété 5 Soient V z) et V z ) deux vecteurs non nuls V ; V ) = arg ) z z π) Si Aa) Bb) et Cc) trois points deux à deux distincts, alors : CA ; CB) = arg b c a c) π) On en déduit la conséquence suivante : Propriété 6 V z) et V z ) étant deux vecteurs non nuls V z) et V z ) sont colinéaires z z R V z) et V z ) sont perpendiculaires z z ir Exemple 5 On donne A5+i) et B5 8i), le triangle OAB est-il rectangle en O? On suppose que ABC est un triangle équilatéral direct Que vaut z C z A z B z A?

6 On donne A+i) et B ) Donner l affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral direct 4 Annales Centres étrangers juin métropole, septembre 0, extraits Indiquer si chaque proposition est vraie ou fausse et proposer une démonstration Si elle est fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et z désigne le module de z Si z = + i, alors z4 est un nombre réel Si z +z = 0, alors z = 0 Si z + = 0, alors z = i ou z = i z 4 Si z = et si z +z =, alors z = 0 5 L ensemble des points Mz) tq z +i = z + 4i est une droite passant par H d affixe 5+5i 6 On note A, B et C les points d affixes respectives i, +i et i L image du point B par l homothétie de centre A et de rapport est le point C 7 Soit f la transformation qui à tout point Mz) associe M z ) telle que z = i)z L image d une droite d du plan par la transformation f est une droite perpendiculaire à la droite d France 008 Le plan est muni d un repère orthonormal direct O, u, v )unité graphique : cm) Soient A, B et I les points d affixes respectives + i, i et À tout point M d affixe z, on associe le point M d affixe z telle que z = z 4z Le point M est appelé l image de M Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l exercice Calculer les affixes des points A et B, images respectives des points A et B Que remarque-t-on? Déterminer les points qui ont pour image le point d affixe 5 4 a) Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z +4 = z ) b) En déduire une relation entre z +4 et z et, lorsque z est différent de, une relation entre argz +4) et arg z ), c) Que peut-on dire du point M lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon? 5 Soient E le point d affixe +e i π, J le point d affixe 4 et E l image de E a) Calculer la distance IE et une mesure en radians de l angle u ) ; IE b) Calculer la distance JE et une mesure en radians de l angle u ) ; JE c) Construire à la règle et au compas le point E ; on laissera apparents les traits de construction Antilles-Guyane, début, septembre 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u, v ) On considère les points A, B et C d affixes respectives z A = +i ; z B = +i z C = i On note D l image de C par la rotation de centre O et d angle de mesure π et E l image de B par la translation de vecteur OC a) Écrire les nombres complexes za et z B sous forme exponentielle b) En prenant pour unité graphique cm, placer les points A et B et C c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle a) Construire les points D et E Calculer leurs affixes zd et z E b) Montrer que les vecteurs OE et AD sont orthogonaux et que OE = AD