X = Rcosθ Y = Rsinθ. X 2 1+X 2 2 χ 2 2.

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Raymond Étienne Pelletier
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Examen Jeudi 3 Novembre Exercice Enoncé OnconsidèredeuxvariablesaléatoiresindépendantesXetY deloisnormalesnσ etoncherche la loi de la variable aléatoire R X +Y appelée loi de Rayleigh.

1 Examen Jeudi 3 Novembre Exercice Enoncé OnconsidèredeuxvariablesaléatoiresindépendantesXetY deloisnormalesnσ etoncherche la loi de la variable aléatoire R X +Y appelée loi de Rayleigh. DéterminerlaloiducoupleRθobtenuàpartirdeladéfinitiondescoordonnéespolaires EndéduirelaloideR. Onremarqueque X Rcosθ Y Rsinθ Rσ U avecu X Y + σ σ OnrappellequesiX etx sontdeuxvariablesaléatoiresindépendantesdeloisnormalesn alorsx +X suituneloiduchiàdeuxdegrésdelibertéc est-à-dire X +X χ. EndéduirelaloideU puisretrouverlaloiderdéterminéeàlaquestionprécédente. 3UneautremanièrededéterminerlaloideRestdecalculersafonctionderépartitionnotéeFr. ExprimerFrenfonctiond uneintégraledoubledeladensitéducouplexynotéefxysur un domaine que l on précisera. Effectuer le changement de variables des coordonnées polaires dans cette intégrale double et en déduire la densité de R déjà déterminée aux deux questions précédentes. 4DéterminerE[Retvar[R. 5OnconsidèrenvariablesaléatoiresR...R n indépendantessuivantlaloiderayleigh. Déterminer la fonction caractéristique de n S k onpourraposeru k R k σ etutiliserlaquestionetendéduireques suituneloigammadont on déterminera les paramètres. R k Réponses

2 Commevuencourslechangementdevariables { XRcosθ Y Rsinθ estbijectifde [ [π[dansr \{}. Deplusilestbienconnuque R Y X +Y etθatan +kπ X Le jacobien du changement de variables est donc X Y J R R cosθ sinθ Rsinθ Rcosθ R X θ Y θ PuisquelesvariablesaléatoiresX ety sontindépendantesetdeloisnormalesnσ ladensité ducouplexys écrit OnendéduitladensitéducoupleRθ fxy fx.f.y [ x +y πσ exp grθ r πσ exp [ r I [ [π[ rθ LadensitédeRs obtientparintégrationdelaloiducouplesoit gr. π r σ exp gr θdθ [ r I [ r SiX suituneloinormalenσ lavariablealéatoirecentréeréduite X σ suituneloinormale N. Ilenestdemêmepour Y. PuisqueX ety sontdesvariablesaléatoiresindépendantesil σ enestdemêmepour X et Y.D aprèsunrésultatducoursonendéduitque σ σ U X σ +Y σ χ c est-a-direqueu suituneloiduchiàdeuxdegrésdelibertédedensité hu exp u I [ u Enfaisantle changementde variablesrσ U quiestclairementbijectifde [dans [ onobtientladensitéder gr. exp r du dr I [u Puisque Rσ U U R σ

3 ona et donc gr. r σ exp du dr r σ [ r I [ r On retrouve le résultat de la question précédente. 3LafonctionderépartitiondelavariablealéatoireRestdéfiniepar Fr P[R<r P [ X +Y <r LedomainedescouplesXYtelsqueX +Y <r estundisquedecentreetderayonr notéd r. OnaalorsPuisqueg.usiu<onaclairement Fr fxydxdy D r [ x +y D r πσ exp dxdy Le changement de variables des coordonnées polaires donne ρ Fr r[ π[ πσ exp r ρ [ ρ σ exp dρ [ ρ dρdθ Endérivantcetteexpressionparrapportàronretrouveladensitéd uneloiderayleigh [ gr. r exp I r σ [ r 4LamoyennedeRestdéfiniepar E[R R En faisant une intégration par parties { u rexp r σ v r rgr.dr r σ exp { [ r dr uexp r v on obtient E[R [ rexp r + exp r + πσ exp r πσ dr dr 3

4 Onreconnaitdanslasecondeintégraleladensitéd uneloinormalend où LavariancedeRestdéfiniepar E[R πσ σ π var[re [ R E[R. Pour déterminer le moment d ordre de R le plus simple est peut-être d utiliser la relation Eneffetonaalors d où 5 La fonction caractéristique de S s écrit R X +Y E [ R E [ X +Y var[r σ π ϕ S t E[expitS [ n E exp it E [ n k k R k exp itrk PuisquelesvariablesaléatoiresR...R n sontindépendantesilenestdemêmepourlesvariables aléatoiresexpitr...expitr n d où ϕ S t n k E [ exp itrk EnutilisantlaquestiononposeU k R k quisuituneloiduchiàdeuxdegrésdelibertéeton σ obtient n ϕ S t E [ exp itσ U k k n ϕ Uk tσ En cherchant dans les tables la fonction caractéristique d une loi du chi on en déduit k ϕ S t n k itσ itσ n 4

5 quiestlafonctioncaractéristiqued uneloigammaγ n. Onendéduit S Γ n Exercice Enoncé On considère un vecteur Gaussien X de R 4 de moyenne µ 34 T et de matrice de covariance M telle que M A B avec A etb 4 4 DéterminerlesloismarginalesdescouplesX X X X 3 etx X 4. Lesvariablesaléatoires X et X sont elles indépendantes? Même question pour les variables X et X 3 puis pour les variablesx etx 4. Soientaetbdeuxréelsnonnuls. QuelleestlaloideU a 4 i X i? DéterminerlaloiducoupleVW T avec V ax +X etw bx 3 +X 4. Les variables aléatoires V et W sont-elles indépendantes? Réponses On sait que les lois marginales d un vecteur Gaussien sont Gaussiennes donc toutes les lois des couples X X X X 3 et X X 4 sont des lois normales à deux dimensions. Pour les caractériser il suffit de déterminer leurs moyennesà partir de µ et leurs variances et covariances àpartirdem. Onobtientalors X X X X 4 N N 4 4 X N X PuisquecovX X lesvariablesaléatoiresx etx nesontpasindépendantes.puisque covx X 3 etquex X 3 estunvecteurgaussienlesvariablesx etx 3 sontindépendantes. DelamêmefaçonlesvariablesX etx 4 sontindépendantes. Ona U aaaax 5

6 CommeXestunvecteurGaussienetquelerangdelamatrice[aaaaestcara onsaitqueu suituneloinormale. LamoyennedeU est LavariancedeU est E[UaaaaE[Xa var[u aaaamaaaa T A aaaa aaaa T B aaaa3a3a5a5a T 6a Donc U Na6a LevecteurVWestobtenupartransformationaffinedeXpuisque V a a a a XCXavecC W b b b b Puisqueaetbsonttousdeuxnonnuls lamatricecestderangdonconpeututiliserle résultatducours V N W CµCMC T Des calculs élémentaires permettent d obtenir a a Cµ b b et 34 T 3a 7b CMC T a a b b a a b b 6a b A a a B b b 3a 3a 5b 5b T d où V W N 3a 7b 6a b Puisque VW estun vecteur Gaussienetque covvw lesvariablesaléatoires V et W sont indépendantes. 6

7 Exercice 3 Enoncé OnconsidèreunevariablealéatoirediscrèteuniformeXàvaleursdans{ +}i.e.p[x P[X/etunevariablealéatoirebinaireY telleque P[Y petp[y q p avecp [. OnsupposedeplusqueX ety sontdesvariablesaléatoiresindépendantes. QuelleestlaloidelavariablealéatoireU XY? DéterminerEUetVarU. QuelleestlaloidelavariablealéatoireV X Y? DéterminerEVetVarV. 3DéterminerlaloiducoupleUV. DéterminerlacovariancedececouplenotéecovUV.Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes? Commenter ces deux derniers résultats. Réponses IlestclairquelavariablealéatoireU prendsesvaleursdansl ensemble{ }avec On vérifie que P[U P[Y q P[U P[Y etx }{{} P[Y P[X p X et Y indépendantes P[U P[Y etx }{{} P[Y P[X p X et Y indépendantes P[U +P[U +P[U q+ p +p q+p LamoyennedeU est De même EU q+ p + p E U q+ p + p 4p d où varue U E U4p PuisqueXestàvaleursdans{ }onax 4. DepluspuisqueY estàvaleursdans{} onay Y. Onendéduit V X Y 4Y LavariablealéatoireV estdoncàvaleursdans{4}avec Onendéduit P[V p P[V 4 q E[V 4E[Y4p var[v 6var[Y6pq 7

8 3EnénumérantlesvaleurspossiblesdesvariablesX ety etenutilisantlefaitqueu XY et V X Y 4Yons aperçoitquelecoupleuvprendsesvaleursdansl ensemble avec les probabilités suivantes { 44} P[UV P[Y q P[UV 4 P[X ety p On vérifie que P[UV4 P[XetY p P[UV+P[UV 4+P[UV4 Onendéduit d où E[UV q+ 8 p +8 p covuve[uv E[UE[V Les variables U et V ne sont pas indépendantes car V U et pourtant la covariance entre ces deux variables est nulle. Ceci illustre le fait que covariance nulle n implique généralement pas indépendance. 8

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