1 ère S Exercices sur les formules d addition et de duplication

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1 ère S Eercices sur les formules d addition et de duplication Soit un réel quelconque «Développer» cos 4 et sin (en calculant ce qui est calculable) Soit un réel quelconque Réduire les epressions suivantes : A cos cos 5 sin sin 5 ; B sin sin C cos 7 sin 6 sin 7 cos 6 ; D cos sin cos sin sin Soit un réel qui n est pas un multiple entier de Calculer l epression A sin 4 Soit un réel quelconque Calculer les epressions : 4 A cos et 4 B sin sin sin Soit un réel quelconque Eprimer cos 4 en fonction de ; en déduire cos 4 en fonction de Soit un réel quelconque En écrivant, eprimer en fonction de et sin en fonction de sin Indications : Pour, partir de l égalité puis «développer» Ensuite, appliquer les formules d addition et de duplication Même calcul pour sin Linéariser cos t où t est un réel 6 Application : 7 7 Calculer cos cos cos et sin sin sin Soit un réel tel que Calculer 6 On note a le réel de l intervalle 0 ; tel que cos a Calculer cos a ; en déduire la valeur de a 7 Soit un réel quelconque Démontrer les égalités : ) ) sin sin sin 8 Donner une factorisation des epressions A sin et B sin 9 Soit un réel quelconque Démontrer les égalités suivantes : 4 4 sin sin ) 4 sin ) sin ) 0 Soit un réel quelconque qui n est pas un multiple entier de ) Simplifier cos sin ) À l aide du ), calculer tan et tan 8

2 Réponses On utilise les formules d addition du cosinus et du sinus On utilise les valeurs de cosinus et de sinus de valeurs remarquables : cos ; sin ; cos ; sin 4 4 A ; B ; C sin ; D sin 5 a c ad bc A = (on utilise la formule ) b d bd 4 A = B = 0 Méthode : On développe les epressions avec les formules d addition et on utilise : 4 4 cos ; sin ; cos ; sin Les lignes trigonométriques de 4 se lisent directement sur le cercle trigonométrique On peut aussi écrire : Eemple de complication inutile : sin On directement la formule qui nous donne 0 ) cos tan ) tan ; tan sin 8 4 cos On a bien eprimé cos 4 en fonction de (même si en fait, on a eprimé cos 4 en fonction de Méthode du changement de variable : X cos X cos X 4 ; sin sin 4 sin Il est conseillé de retenir ces formules Grâce à elles, on peut retrouver le résultat de l eercice cos cos sin sin 4 Écrire sin sin puis sin ) 4 cos cos cos 4 sin sin sin 5 6 cos a ; a B sin sin (il faut justifier précisément avec l intervalle) 7 8 A sin sin ; 9 ) On change l epression du er membre ; on change l epression du second membre et on montre que les deu epressions sont égales On eprime toutes les deu en fonctions de 4 cos sin 4 cos cos cos cos cos cos ) 4 4 cos sin cos sin cos sin cos sin cos Attention à ne pas compliquer inutilement

3 Solutions détaillées Développements d epressions On utilise les formules d addition du cosinus et du sinus Développons cos 4 cos cos sin sin sin NB : On peut écrire cos sin mais ce type d écriture n est pas attendue car le but de 4 l eercice, c est de développer pas de factoriser B sin sin = cos ( + ) (on applique la formule cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b avec a = et b = ) = C cos 7 sin 6 sin 7 cos 6 = sin 6 cos 7 cos 6 sin 7 (on applique la formule sin 6 7 sin = sin D cos sin cos sin sin a 6 et b 7 ) (on applique la formule = sin 5 ou a et b ) On a le droit d additionner ou de soustraire dans un cosinus ou un sinus sin A sin sin a b sin a cos b sin bcos a avec sin a b sin a cos b sin b cos a avec a et b Il faut que ne soit pas un multiple entier de pour que les dénominateurs ne soient pas nuls Développons sin sin sin sin cos cos sin On peut vérifier les deu résultats à l aide d un logiciel de calcul formel (commande spécial de développement d une epression trigonométrique) Réductions d epressions trigonométriques On fait l inverse de ce qui l on a fait dans l eercice précédent A cos cos 5 sin sin 5 5 (on applique la formule cos cos a b cosacos b sinasinb avec a et b = 5) (on applique la formule cos ( X) = cos X valable pour tout réel X) Calculons A sin A sin sin sin sin sin sin cos sin sin sin sin = (on commence par mettre A au même dénominateur)

4 4 Simplifications d epressions Pour A, on applique la formule cos (a + b) Pour B, on applique la formule sin (a + b) 4 A cos 4 4 cos sin sin cos sin sin (on laisse le tel quel) sin sin = 0 4 B sin sin sin 4 4 sin sin cos sin sin cos sin sin sin sin sin = 0 Quelques commentaires : On peut observer que les valeurs de A et de B ne dépendent pas de 7 On en déduit sans calcul que cos cos cos De même, sin sin sin 0 (même raisonnement) On pourra observer que Calculons = = 9 n est pas une valeur remarquable du cosinus Il est possible d utiliser un logiciel de calcul formel pour calculer ce type d epression La valeur de B se déduit de celle de A en remplaçant par On peut aussi obtenir la valeur de B en dérivant l epression A par rapport à (méthode de Terminale) 6 a 0 ; cos a = Calculons cos a Application : 7 7 Calculons cos cos cos et sin sin sin En fait, on va répondre sans faire de calcul On commence par transformer ces deu sommes de manières à faire le lien avec les deu epressions A et B calculées précédemment 7 6 cos cos cos cos cos cos cos cos cos Donc la première somme correspond à la valeur de A pour 9 Or on démontré que l epression vaut 0 quelle que soit la valeur de cos a cos a cosa = 4 Déduisons-en la valeur de a Or a 0 ; donc 0 ; a

5 Le seul nombre de l intervalle [0 ; ] dont le cosinus est égal à Donc a d où a 6 est 6 B sin sin sin sin sin sin sin B sin sin sin sin sin sin 8 Factorisations d epressions (calcul littéral trigonométrique) Il est intéressant de voir 6 cos 4 cos et de faire le lien avec la valeur donnée dans le cours : A sin sin sin sin sin sin sin A sin sin sin sin sin 6 En effet, on vérifie aisément par le calcul que 4 B sin sin sin cos sin sin cos sin sin B sin sin sin cos sin sin cos Intérêt des eercices 7 à 9 : calcul littéral trigonométrique (développements et factorisations d epressions avec des cosinus et des sinus) 7 Démonstrations d égalités (calcul littéral trigonométrique) Cet eercice est l occasion de revoir les méthodes de démonstration d égalités Méthode (pour l eercice présent) : Partir du membre de gauche pour arriver au membre de droite Il est assez pratique de donner un nom au membre de gauche (A, B ) Une mauvaise méthode consiste à partir de l égalité que l on nous demande de démontrer et à transformer cette égalité pour aboutir à une égalité «idiote» du type «0 = 0» ou «=» Démontrons que : + + = ( + ) On pose A A Démontrons que : + sin = sin ( + sin ) On pose B sin A = + ( + ) 9 Démonstrations d égalités (calcul littéral trigonométrique) De nouveau, dans cet eercice, on part du premier membre pour arriver au second membre (il s agit en quelque sorte d égalités orientées) sin sin ) Démontrons que : cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin sin sin : on peut développer en identité remarquable ) Démontrons que : 4 sin 4 sin 4 Donc 4 sin

6 Autre méthode (meilleure) : 4 sin 4 cos = + On peut dire que l on a linéarisé l epression 4 sin 4 4 ) Démontrons que : sin cos sin cos sin 4 4 sin sin Autre méthode un peu plus compliquée (inutilement compliquée) : 4 4 sin sin cos 4 4 On peut dire que l on a linéarisé l epression sin Autre façon (un peu maladroite) : sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin tan ) Cette question constitue une application de la question ) : on utilise l égalité cos tan démontrée sin dans cette question pour des valeurs particulières de Calculons tan 8 On applique l égalité obtenue dans la question ) (c est-à-dire cos tan ) pour sin 8 Il n est pas nécessaire d introduire des complications inutiles (avant de rédiger une solution, on réfléchit au brouillon) 0 Pour cet eercice, faire tous les traits de fractions à la règle cos La condition «n est pas un multiple entier de» assure que le dénominateur de l epression sin n est pas nul ) Simplifions cos sin cos sin sin sin tan sin sin sin définition de tan

7 cos 8 tan 8 sin 8 cos 4 sin 4 (on utilise les valeurs remarquables : cos sin ) 4 4 tan 8 Calculons tan On applique l égalité du ) pour cos tan sin cos 6 sin 6 tan Epression de cos 4 en fonction de Eprimons cos 4 en fonction de Méthode du changement de variable : X = X cos cos X On reprend la «valeur normale» de cos 4 cos cos On a bien eprimé cos 4 en fonction de (même si en fait, on a eprimé cos 4 en fonction de )

8 Déduisons-en cos 4 en fonction de cos 4 cos 4 4cos 4 (on utilise l identité remarquable a b cos ) On vérifie aisément ce résultat avec un logiciel de calcul formel (sur XCas commande : tepand(cos(4*)) Epressions de en fonction de et sin en fonction de sin 4 ; sin sin 4 sin Il est conseillé de retenir ces formules Grâce à elles, on peut retrouver le résultat de l eercice Idée : on écrit = cos ( + ) et l on développe à l aide des formules d addition (astuce de départ) cos sin sin (on développe avec la formule d addition du cosinus) sin sin (formule de duplication du cosinus et du sinus) sin cos (on utilise la formule sin ) 4 cos 4 cos cos On vérifie aisément ce résultat avec un logiciel de calcul formel (sur XCas commande : tepand(cos(*)) sin sin (astuce de départ) sin cos sin (formule d addition du sinus) sin sin sin (formule de duplication du cosinus et du sinus) sin sin sin (on développe) sin sin sin sin (on utilise la formule sin ) sin sin sin sin sin 4sin Le résultat obtenu sur un logiciel de calcul formel est différent (sur XCas commande : tepand(sin(*)) On peut initier les élèves au polynômes de Tchebytcheff de ère espèce grâce à un logiciel de calcul formel Linéarisons cos t où t est un réel 6 Que signifie «linéariser»? - appliquer une formule de linéariser ; - passer d une écriture avec puissance à une écriture sans puissance On applique la formule de linéarisation : cos cos t 6 t 6 cos 4t (c est tout!) On a linéarisé l epression demandée On ne peut pas aller plus loin cos a cos a sin sin 4sin On pourrait déduire sin à l aide de en remplaçant par mais le calcul est intéressant à savoir refaire indépendamment