Distance à un sous-espace vectoriel

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1 [ édité le 1 juillet 214 Enoncés 1 Distance à un sous-espace vectoriel Exercice 1 [ 526 ] [correction] [Déterminant de Gram] Soit E un espace préhilbertien réel. Pour (u 1,..., u p ) famille de vecteurs de E, on note G(u 1,..., u p ) la matrice de M p (R) dont le coefficient d indice (i, j) est (u i u j ). a) Montrer que si la famille (u 1,..., u p ) est liée alors det G(u 1,..., u p ) = b) Etablir la réciproque. c) Montrer que si (e 1,..., e p ) est une base d un sous-espace vectoriel F de E alors pour tout x E, det G(e 1,..., e p, x) d(x, F ) = det G(e 1,..., e p ) Exercice 2 [ 527 ] [correction] a) Montrer que (P Q) = P ()Q() + P (1)Q(1) + P (2)Q(2) définit un produit scalaire sur R 2 [X]. b) Calculer d(x 2, P ) où P = { ax + b/(a, b) R 2} Exercice 3 [ 2734 ] [correction] Calculer le minimum de 1 pour a, b, c parcourant R. (t 3 at 2 bt c) 2 dt Exercice 4 [ 529 ] [correction] On définit une application ϕ : R [X] R [X] R par ϕ(p, Q) = P (t)q(t)e t dt a) Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur R [X]. b) Calculer ϕ(x p, X q ). c) Déterminer e t (t 2 (at + b)) 2 dt Exercice 5 [ 2736 ] [correction] On munit M n (R) du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note la norme associée. Soit J la matrice de M n (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Si M M n (R), calculer M ai n bj. Exercice 6 [ 2735 ] [correction] Calculer { 1 } t 2 (ln t at b) 2 dt, (a, b) R 2 Exercice 7 [ 1332 ] [correction] Soient n N, E = R n [X] et, : (P, Q) E 2 P, Q = P (t)q(t)e t dt a) Justifier la définition de, et montrer qu il s agit d un produit scalaire. On pose F = {P E, P () = }. On cherche à déterminer d(1, F ). On note (P,..., P n ) l orthonormalisée de Schmidt de (1, X,..., X n ). b) Calculer P k () 2. c) Déterminer une base de F que l on exprimera dans la base (P,..., P n ). En déduire d(1, F ) et d(1, F ). Exercice 8 [ 3764 ] [correction] Soit A = (a i,j ) 1 i,j n M n (R). Calculer M S n(r) 1 i,j n (a i,j m i,j ) 2 Exercice 9 [ 2571 ] [correction] a) Montrer que (f g) = 1 f(t)g(t) dt définit un produit scalaire sur l ensemble E des fonctions continues sur R engendré par f 1 (x) = 1, f 2 (x) = e x et f 3 (x) = x. b) Pour quels réel a et b la distance de f 2 (x) à g(x) = ax + b est-elle minimale?

2 [ édité le 1 juillet 214 Enoncés 2 Exercice 1 [ 3117 ] [correction] a) Montrer que (A B) = tr (A t B) définit un produit scalaire sur M n (R). b) Montrer que S n (R) et A n (R) sont supplémentaires et orthogonaux. Exprimer la distance de M = M 3 (R) à S 3 (R). c) Montrer que l ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de M n (R) et donner sa dimension. Donner la distance à H de la matrice J dont tous les coefficients valent 1. Exercice 11 [ 73 ] [correction] On munit E = C([ 1, 1], R) du produit scalaire : (f g) = f(x)g(x) dx Pour i {, 1, 2, 3}, on note P i (x) = x i. a) Montrer que la famille (P, P 1, P 2 ) est libre mais pas orthogonale. b) Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée (Q, Q 1, Q 2 ) de F = Vect(P, P 1, P 2 ) à partir de la famille (P, P 1, P 2 ). c) Calculer la projection orthogonale de P 3 sur F et la distance de P 3 à F.

3 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 3 Corrections Exercice 1 : [énoncé] a) Si la famille (u 1,..., u p ) est liée alors il existe (λ 1,..., λ p ) (,..., ) tel que p λ i u i = E et on observe alors n λ i L i = en notant L 1,..., L n les lignes de la matrice G(u 1,..., u p ). On conclut det G(u 1,..., u p ) =. b) Si det G(u 1,..., u p ) = alors il existe (λ 1,..., λ p ) (,..., ) tel que λ i L i = et on obtient alors que le vecteur n λ i u i est orthogonal à tout u j, c est donc un vecteur commun à Vect(u 1,..., u p ) et à son orthogonal, c est le vecteur nul. On conclut que la famille (u 1,..., u p ) est liée. c) x = u + n avec u F et n F. En développant det G(e 1,..., e p, x) selon la dernière colonne : det G(e 1,..., e p, u + n) = det G(e 1,..., e p, u) + or det G(e 1,..., e p, u) = car la famille est liée et donc avec n = d(x, F ). det G(e 1,..., e p, x) = n 2 det G(e 1,..., e p ) G(e 1,..., e p ) n 2 Exercice 2 : [énoncé] a) Sans difficulté, notamment parce qu un polynôme de degré 2 possédant trois racines est nécessairement nul. b) d(x 2, P ) = X 2 π avec π = ax + b projeté orthogonal de X 2 sur P. (X 2 π 1) = (X 2 π X) = donne le système { 3a + 3b = 5 5a + 3b = 9 Exercice 3 : [énoncé] Sur R [X], on définit un produit scalaire par (P Q) = 1 P (t)q(t)dt La quantité cherchée m apparaît alors sous la forme m = X 2 (ax 2 + bx + c) 2 a,b,c R C est donc le carré de la distance de X 3 au sous-espace vectoriel R 2 [X]. En introduisant la projection orthogonale p sur ce sous-espace vectoriel On peut écrire Pour chaque i =, 1, 2, on a car m = d(x 3, R 2 [X]) 2 = X 3 p(x 3 ) 2 p(x 3 ) = a + bx + cx 2 (p(x 3 ) X i ) = (X 3 X i ) (p(x 3 ) X 3 X i ) = On obtient alors un système d équations d inconnue (a, b, c) a + b/2 + c/3 = 1/4 a/2 + b/3 + c/4 = 1/5 a/3 + b/4 + c/5 = 1/6 La résolution de ce système donne a = 1/2, b = 3/5 et c = 3/2 m = X 3 p(x 3 ) 2 = (X 3 p(x 3 ) X 3 ) = 1 28 Après résolution { a = 2 b = 1/3 et après calcul d = 2/3 Exercice 4 : [énoncé] a) symétrie, bilinéarité et positivité : ok Si ϕ(p, P ) = alors P 2 (t)e t dt = donc (fonction continue positive d intégrale nulle) t R +, P (t) =

4 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 4 Comme le polynôme P admet une inité de racines, c est le polynôme nul. b) Par intégration par parties successives, t n e t dt = n! donc c) On interprète ϕ(x p, X q ) = (p + q)! e t (t 2 (at + b)) 2 dt = d(x 2, R 1 [X]) 2 = X 2 π 2 avec π = ax + b le projeté orthogonal de X 2 sur R 1 [X] (X 2 π 1) = (X 2 π X) = donne { a + b = 2 Après résolution a = 4, b = 2 et 2a + b = 6 e t (t 2 (at + b)) 2 dt = 4 Exercice 5 : [énoncé] Le cas n = 1 étant évident, on suppose désormais n 2. La quantité cherchée est m = d(m, Vect(I, J)) = M p(m) avec p la projection orthogonale sur Vect(I, J). p(m) = ai + bj avec (p(m) I) = (M I) = tr(m) et (p(m) J) = (M J) = σ avec σ la somme des coefficients de M. La résolution de ce système donne donc a = ntr(m) σ n(n 1) et b = σ tr(m) n(n 1) m 2 = M p(m) 2 = (M p(m) M) = M 2 (n 1)tr(M)2 + (tr(m) σ) 2 n(n 1) Exercice 6 : [énoncé] En introduisant l espace E des fonctions réelles f continues sur ], 1] telles que t (tf(t)) 2 soit intégrable et en munissant cet espace du produit scalaire (f g) = 1 t 2 f(t)g(t) dt la quantité cherchée est : m = d(f, F ) 2 avec f : t ln t et F = Vect(f, f 1 ) où f (t) = 1 et f 1 (t) = t. m = f p(f) 2 avec p la projection orthogonale sur F. p(f)(t) = a + bt avec (p(f) f ) = (f f ) et (p(f) f 1 ) = (f f 1 ). La résolution du système ainsi obtenu donne a = 5/3 et b = 19/12. m = f p(f) 2 = (f p(f) f) = 1/432. Exercice 7 : [énoncé] a) Pour P, Q E, la fonction t P (t)q(t)e t est définie et continue par morceaux sur [, + [ et vérifie t 2 P (t)q(t)e t t + On peut donc affirmer que cette fonction est intégrable sur [, + [ ce qui assure la bonne définition de,. On vérifie aisément que, est une forme bilinéaire symétrique positive. Si P, P = alors par nullité de l intégrale d une fonction continue positive t [, + [, P (t) 2 e t = que le polynôme P admet une inité de racines et donc P =. b) Pour k 1 ou k =, on peut affirmer que les polynômes P k et P k sont orthogonaux. Par une intégration par parties = P k(t)p k (t)e t dt = 1 2 [ Pk (t) 2 e t] P k () 2 = P k 2 = 1 P k (t) 2 e t dt c) F est un hyperplan (car noyau de la forme linéaire non nulle P P ()). Son orthogonal est donc une droite vectorielle. Soit Q un vecteur directeur de celle-ci. On peut écrire Q = P k, Q P k Or k= P k, Q = P k P k (), Q + P k () 1, Q Puisque le polynôme P k P k () est élément de F, il est orthogonal à Q et l on obtient P k, Q = P k () 1, Q

5 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 5 ce qui permet d écrire Enfin par Pythagore et l on obtient Q = λ d(1, F ) = P k ()P k avec λ = 1, Q k= 1, Q Q 1 = = P k () 2 k= 1 2 = d(1, F ) 2 + d(1, F ) 2 n d(1, F ) = n n + 1 Exercice 8 : [énoncé] En introduisant la norme euclidienne canonique sur M n (R) définie par A = 1 i,j on peut interpréter l imum calculé (a i,j m i,j ) 2 = d(a, S n (R)) 2 M S n(r) 1 i,j n La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant A = M + N avec on obtient M = A + t A 2 a 2 i,j S n (R) et N = A t A 2 d(a, S n (R)) 2 = N 2 = 1 4 1/2 1 i<j n A n (R) = S n (R) (a i,j a j,i ) 2 Exercice 9 : [énoncé] a) On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l espace des fonctions réelles continues sur [, 1]. b) La distance f 2 à g sera minimale quand g est le projeté orthogonal de f 2 sur Vect(f 1, f 3 ). Ce projeté g vérifie (f 2 g f 1 ) = (f 2 g f 3 ) = ce qui donne le système 1 2 a + b = e a = 1 Après résolution, on obtient a = 18 6e et b = 4e 1. Exercice 1 : [énoncé] a) (A B) = tr (A t B) définit le produit scalaire canonique sur M n (R), (A B) = b) Pour A S n (R) et B A n (R), on a a i,j b i,j i,j=1 (A B) = tr(a t B) = tr(ab) et (A B) = (B A) = tr( t AB) = tr(ab) (A B) =. Les espaces S n (R) et A n (R) et donc en somme directe. Puisqu on peut écrire pour tout M M n (R), M = 1 2 ( M + t M ) ( M t M ) avec 1 2 (M + t M) S n (R) et 1 2 (M t M) A n (R), les espaces S n (R) et A n (R) sont supplémentaires orthogonaux. La distance de M à S 3 (R) est égale à la distance de M à son projeté orthogonal sur S 3 (R) i.e. d(m, S 3 (R)) = 1 M t M = 2 2 c) H est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c est donc un hyperplan de M n (R). La matrice I n est orthogonale à tout élément de H et c est donc un vecteur normal à l hyperplan H. d(h, J) = (I n J) I n = n n = n

6 [ édité le 1 juillet 214 Corrections 6 Exercice 11 : [énoncé] a) Si λ P + λ 1 P 1 + λ 2 P 2 = alors le polynôme λ + λ 1 X + λ 2 X 2 admet une inité de racines. C est donc le polynôme nul et par conséquent λ = λ 1 = λ 2 =. La famille (P, P 1, P 2 ) est donc libre. Elle n est pas orthogonale puisque (P P 2 ) = 1/3. b) R = P, R = 1, Q : x 1 (P P 1 ) =, R 1 = P 1, R 1 = 1/ 3, Q 1 : x 3x. R 2 = P 2 + λ R + λ 1 R 1. (R 2 R ) = donne λ = (P 2 P ) = 1/3, (R 2 R 1 ) = donne λ 1 /3 = (P 2 R 1 ) =. R 2 : x x 2 1/3, R 2 = 2 3, Q 5 2 : x ( 5 2 3x 2 1 ). c) Le projeté orthogonal de P 3 sur F est R = (Q P 3 )Q + (Q 1 P 3 )Q 1 + (Q 2 P 3 )Q 2 soit, après calculs R : x 3 5 x La distance de P 3 à F est alors d = P 3 R = 2 5 7