Exercice 4. Étude de convergence Étudier la nitude des sommes suivantes : x 2.

Transcription

1 #55 Familles sommables Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel. Exercice. Dénombrabilité A étant un ensemble inni dénombrable, les ensembles suivants sont-ils dénombrables : ) P(A)? ) {parties nies de A}? 3) {suites périodiques à valeurs dans A}? 4) {suites ultimement périodiques à valeurs dans A}? 5) {relations d'ordre total sur A}? Exercice. Discontinuités d'une fonction monotone ) Soit f : R R croissante. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable (pour [a, b] R, considérer la famille (f(x + ) f(x )) x [a,b] ). ) Donner un exemple de fonction f : R R croissante ayant une innité dénombrable de discontinuités. 3) ( ) Trouver une fonction f : R R strictement croissante dont l'ensemble des points de discontinuité est égal à Q. Exercice 3. Ensemble non vide? Soit (r n ) n une énumération des rationnels. On note I n = ]r n n, r n + [, n E = I n et F = R \ E. Montrer que F (ceci est choquant vu que les éléments de F sont, par dénition, "loin" de chaque rationnel, pourtant c'est vrai). Exercice 4. Étude de convergence Étudier la nitude des sommes suivantes : ) (i,j) (N ) (i + j) α. 3) x Q [,+ [ ) (i,j) (N ) i α + j α. 4) Exercice 5. Série des restes + + Calculer n=0 =n!. Exercice 6. Série des restes + + ( ) p Calculer p= q=p q 3 en fonction de ζ(3). x. (p,q) N a p, a >, b >. + bq Exercice 7. Non interversion des sommations On pose a n,p = n p si n p et a n,n = 0. ) Expliquer simplement pourquoi la suite double (a n,p ) (n,p) N n'est pas sommable. ) Calculer a n,p et a n,p. n=0 p=0 p=0 n=0 Exercice 8. Identité remarquable Montrer que pour x C, x <, on a l'égalité : + n=0 x n+ + x n = xn+ n= x n. n= 4 septembre 05 Thierry Sageaux

2 Exercice 9. Calcul de somme Soit z C tel que z <. Montrer que positifs de n. n= z n z = n n= d(n)z n où d(n) est le nombre de diviseurs Exercice 0. Centrale MP 000 Soit S(t) = t n n= + t n. ) Pour quelles valeurs de t S(t) a-t-elle un sens? ) Montrer que S(t) = ( ) t = t. 3) Soit F m (t) = m ( ) t ( t) = t. Montrer que (F m(t)) converge uniformément vers ( t)s(t) sur [0, ]. En déduire la limite en de ( t)s(t). On rappelle que ln = ( ) m m= m. 4) Calculer le développement en série entière de S(t). Donner une interprétation arithmétique des coecients de ce développement et préciser leur signe en fonction de n. Exercice. Centrale MP 00 Soient a, b, c N. On pose f(z) = z bn n=0 z an+c. ) Étudier la convergence de la série et montrer qu'on peut intervertir b et c dans la formule. ) Développer en série entière : Exercice. Calcul de sommes m= Calculer les sommes suivantes : A = z m z m. (p,q) (N ) p q, B = p q (p,q) (N ) p q et C = p q= (p,q) (N ) p q. Exercice 3. Série harmonique alternée On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour p termes positifs puis q termes négatifs, p, q. Calculer la somme de la série correspondante. Exercice 4. Familles de carrés sommable π ) Soit P R[X]. Vérier que : P (t) dt + i P (e iθ )e iθ dθ = 0. t= θ=0 En déduire : P (t) dt π P (e iθ ) dθ. t=0 θ= π n n a b l ) Soient n réels positifs a,..., a n, b,..., b n. Montrer que = l= + l π n n a b l. = l= 3) Soient (a ) N et (b l ) l N deux ( suites) complexes de carrés sommables. a b l Montrer que la suite double est sommable. + l (,l) N Exercice 5. Associativité générale Soit (a i ) i I une famille sommable et (I n ) n N une suite croissante de parties de I, non nécéssairement nies, telle que I n = I. Montrer que a i n > a i. En déduire que si (J n ) n N est une n N i I n i I partition dénombrable de I alors a i = a i. i I n=0 i J n Thierry Sageaux

3 Exercice 6. Mines MP 00 Déterminer l'ensemble de dénition de f(x) = domaine et la développer en série entière. = ( ) x +. Montrer que f est de classe C sur son 3 Thierry Sageaux

4 Solutions des exercices Exercice. 3) Soit (r n ) une énumération de Q. On pose f(x) = r n<x (n + ). f est strictement croissante car pour x < y il existe n N tel que x < r n < y donc f(y) f(x) (n + ). Si x Q, x = r alors f(x + ) f(x ) d'où f est discontinue en x. ( + ) Si x R \ Q et n N alors il existe un voisinage de x ne contenant aucun r i, i n d'où f(x + ) f(x ) et f est continue en x. (i + ) i>n Exercice 3. Soit [a, b] de longueur supérieure ou égale à ζ() et F n = [a, b] \ (I I n ). Alors (F n ) vérie le thm des fermés emboités dans un compact. Exercice 4. ) Regroupement à i + j constant CV ssi α >. ) Pour α on a par convexité : α (i + j) α i α + j α (i + j) α donc il y a convergence ssi α >. 3) Il y a une innité de termes supérieurs à /4. 4) a p + b q a p b q sommable. Exercice n=0 =n Exercice ζ(3).! = + =0 +! Exercice 7. ) a n,n diverge. n= ) p=0 = e. a n,p = si n 0, π 4n 6 si n = 0. n=0 p=0 Exercice 8. + x n+ + = x (p+)(n+) = + x p+ n=0 xn+ (n,p) N p=0 x p+. Exercice 0. ) t <. ) S(t) = absolue. n= t n + t n = n= = a n,p = π 8 = p=0 n=0 a n,p. ( ) t n et on peut échanger les deux sommes car il y a convergence 4 Thierry Sageaux

5 3) On suppose t ]0, [. Familles sommables d ( t x ) dx t x = tx ln t ( t x < 0 donc le critère des séries alternées s'applique, le ) t reste est majoré en valeur absolue par le premier terme du reste. 0 t ( t) t = donc le terme général converge uniformément vers 0. Par interversion de limite (puisqu'il y a convergence uniforme) on obtient ( ) = ln. = 4) S(t) = ( ) t n = ( ) t p = σ(p)t p + t + + t lim t ( t)s(t) = n= = p= n=p p= avec σ(p) = (nombre de diviseurs impairs de p) (nombre de diviseurs pairs de p) = σ i (p) σ p (p). Si p = α q avec q impair alors σ p (p) = ασ i (p) = ασ i (q) donc σ(p) > 0 ssi p est impair (très joli exercice). Exercice. ) Il y a convergence si z <. On a alors f(z) = z anp+bn+cp. Il y a aussi convergence pour (n,p) N z > lorsque a > b et on a dans ce cas : f(z) = z anp+bn cp (non symétrique en b, c). (n,p) N N ) f(z) = d n z n avec d n = nombre de diviseurs de n dans [[, n ]]. n= Exercice. A = ζ(), B = ζ()ζ(4), C = A/ζ(4) = 5/. Exercice 3. ln + ln(p/q). Exercice 6. La série converge pour tout x / {, 3,...} car le critère des séries alternées s'applique à partir d'un certain rang (fonction de x). Il en va de même pour toutes les séries obtenues par dérivations successives terme à terme, et ces séries convergent localement uniformément (le reste d'une série vérifant le CSA est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du permier terme gurant dans le reste) donc f est C. f(x) = Pour x < on a = n=0 ( ) ( x ) n = = n=0 ( ) +n n+ x n = ( ln ) + ( ) n ( ( n )ζ(n + ))x n. n= 5 Thierry Sageaux