3 Dérivation. 1 Prérequis : «Pour démarrer» (page 60) 2 Objectifs. Prérequis testés. Exercice. En complément 1 1. Réponse. c c

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1 C HAPITRE Dérivation Prérequis : «Pour démarrer» (page 60) Eercice Prérequis testés Réponse En complément Connaître la définition du nombre dérivé. c c Rappeler la différence entre tau de variation et nombre dérivé. Revoir quelques calculs de ites. Rappeler l interprétation grapique du nombré dérivé. Déterminer une équation de la tangente à une courbe. d Considérer d autres eemples (en particulier avec des coefficients directeurs non entiers, nuls ). Utiliser l approimation affine pour obtenir des valeurs approcées (dans les cas simples, majorer l erreur). Construire la tangente à une courbe en un point. Lire grapiquement un nombre dérivé. Calculer la dérivée d un polynôme. b Considérer d autres eemples : polynômes, fonctions rationnelles. Réviser les formules de calcul de dérivées. Déterminer les variations d une fonction. d Rappeler le lien entre signes de la dérivée et sens de variation de la fonction. Entraîner les élèves à lire grapiquement le signe de la dérivée. Entraîner les élèves à repérer des incoérences entre leurs calculs et la représentation grapique d une fonction obtenue avec la calculatrice. 5 Résoudre une équation trigonométrique de la forme cos k. b Envisager plusieurs métodes de résolution (cercle trigonométrique, courbe, tableau de valeurs). Proposer d autres eemples. Vérifier à l aide de la calculatrice. 6 Calculer la dérivée d une fonction : f (a + b). a Reconnaître les fonctions f (a + b) et calculer leur dérivée. bjectifs Étudier la dérivabilité d une fonction en un point. Connaître le lien entre continuité et dérivabilité d une fonction. Étudier la position d une courbe par rapport à une tangente. Connaître les règles de calcul des dérivées énoncées en cours, notamment celle sur la dérivée d une fonction composée. Savoir reconnaître les formules à appliquer. Savoir décomposer pour dériver. Savoir étudier le signe d une epression. Étudier les variations de fonctions polynômes, rationnelles, irrationnelles, trigonométriques. Connaître les liens entre etremum local et dérivée. Savoir recercer les etremums locau d une fonction. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 57

2 Natan-VUEF/Reproduction interdite Savoir déterminer un majorant, un minorant d une fonction sur un intervalle. Connaître les propriétés de la fonction tangente. Savoir faire le lien entre l étude de fonctions et la résolution de problèmes. Difficultés et erreurs.. Fonctions dérivables Difficultés à comprendre et à interpréter la dérivabilité en un point. Eercice résolu (page 6) Eercice (page 76) Eercices à (page 77) Ne pas penser à utiliser la définition du nombre dérivé pour calculer certaines ites. Eercice 5 (page 77) Ne pas comprendre le lien entre les propriétés de dérivabilité et de continuité (laquelle est une condition nécessaire, suffisante de l autre?). Eercices 8, 9,,, (page 76) Eercice 5 (page 87).. Règles de dérivation Difficultés pour reconnaître les formules à utiliser. Eercices résolus et (page 65) Difficultés à adapter les formules du cours au notations de l eercice. Eercice 59 (page 78) Eercice 95 (page 8).. Dérivée et étude d une fonction Ne pas justifier rigoureusement zéros et signe de la dérivée. Eercice résolu (page 67) Eercice 97 (page 8) Confusion entre signe et sens de variation de f et de f. Eercice 60 (page 78) Eercice 6 (page 79) Eercice 98 (page 8).. Étude de fonctions trigonométriques Difficultés pour justifier le coi de l intervalle d étude puis le tracé complet de la courbe. Eercice résolu (page 69) Eercice 76 (page 80) Difficultés pour étudier le signe de la dérivée. Eercice 96 (page 8) Activité (page 7).5. Dérivation d une fonction composée Difficultés à reconnaître une fonction composée. Eercice résolu (page 7) Confusion entre produit et composée. Eercices 7 et 55 (page 78).6. Autres erreurs Difficultés pour justifier une inégalité à l aide de fonction. Eercice 99 (page 8) Difficultés pour déterminer la position relative de deu courbes. Eercice résolu (page 6) Activité (page 7) Eercice 0 (page 8) Ne pas repérer les incoérences entre ites, variations et courbe représentant une fonction. Eercices 7 et 6 (page 77) Eercice 0 (page 86) Description de l approce Dérivation d une fonction composée (page 70) A. Raison du coi et objectifs L approce permet de réinvestir la définition du nombre dérivé en un point et de préparer, à partir d un eemple, le téorème de dérivation d une fonction composée. B. Corrigé Pour tout réel, u + g + donc +. Pour tout 0 f ( + ) f () ( + ) + ( + ) 0 et 0 ( ) donc 0 f ( + ) f () Cette ite est le nombre dérivé de la fonction f en. C est aussi le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse de la courbe représentant f. 58

3 u est une fonction polynôme dérivable sur et pour tout réel, u (). g est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout réel > 0, g (). u() g (u()) u () g () u () donc f () g (u()) u (). C. Scénario possible de mise en œuvre er temps n laisse au élèves un temps de réfleion individuelle. e temps Le professeur sollicite les élèves, effectue les mises au point nécessaires et fait établir la formule de dérivation d une fonction composée dans ce cas particulier. D. Une autre approce Il s agit d une présentation grapique de la dérivation d une fonction composée. Dans un repère ortonormal ( ; i, j ) du plan,, et sont les courbes représentant les fonctions u, g et f.. Sur le grapique ci-dessous on a tracé les courbes et, on a construit successivement les points A d abscisse de, le point A de et le point A comme l indique la figure ci-dessous. Vérifier que A est un point de. y. Déterminer le coefficient directeur m de la sécante (A M ) à, m de la sécante (A M ) à et m de la sécante (AM) à. Vérifier que m m m.. Lorsque tend vers zézo, vers quels réels tendent m et m? Que devient la sécante (A M ) à et la sécante (A M ) à? 5. Le coefficient m a-t-il une ite quand tend vers 0? La sécante (AM) à a-t-elle une position ite quand tend vers 0? Que peut-on en conclure pour f? Corrigé. A ( ; ), A ( ; ), A( ; ) donc A car f ().. M ( + ; ( + ) + ), M (( + ) + ; ( + ) + ), + ( + ). M( + ; m +, ( + ) + m, ( + ) ( + ) + m donc m m m.. n sait que la fonction u est dérivable sur, donc u est dérivable en. Quand tend vers 0, m tend vers u () et la sécante (A M ) devient la tangente à en A.De même g est dérivable sur ]0 ; + [. Quand tend vers 0, m tend vers g (u()) et la sécante (A M ) devient la tangente à en A. 5. Puisque m m m,m a pour ite, quand tend vers 0, u () g (u()). La sécante (AM) devient, quand tend vers 0, la tangente à en A. Donc f est dérivable en et f () u () g (u()). A A. M est le point de d abscisse + avec réel non nul. Construire de façon analogue les points M et et M de. Eprimer les coordonnées des points M,M,M en fonction de. A 5 Activités 5.. Positions relatives de courbes (page 7) A. Notions utilisées Équation de la tangente à une courbe. Étude des variations d une fonction trigonométrique. Étude d un signe à l aide des variations d une fonction. Justification d inégalités à l aide des variations d une fonction. Étude des positions relatives de courbes. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 59

4 B. Corrigé Une tangente commune f est une fonction polynôme dérivable sur [0 ; ] et pour tout de [0 ; ], f () f (0) 0 et f (0)., La fonction sinus est dérivable sur [0 ; ] et pour tout de [0 ; ], sin cos, sin 0 0 et sin 0. et Γ ont donc la même tangente T au point d équation y. b) Sur [0 ; ], Γ est au-dessous de % et est au-dessous de T. Τ Étude des positions de G, et T. u est dérivable sur [0 ; ] et pour tout de [0 ; ], u () cos. r cos donc u () 0 et u () s annule pour 0. 0 u () 0 u() 0 u est décroissante strictement sur [0 ; ] et u(0) 0, donc pour tout de ]0 ; ], u() < 0. Γ Natan-VUEF/Reproduction interdite. a) Pour tout de [0 ; ], v () cos +, v () sin +. b) Pour tout de [0 ; ], v () y() or u() 0 donc v () 0 et v () s annule pour 0. c) v est strictement croissante sur [0 ; ] et v (0) 0, donc pour tout de ]0 ; ], v () > 0, donc v est strictement croissante sur [0 ; ]. v est strictement croissante sur [0 ; ] et v(0) 0, donc pour tout de ]0 ; ], v() > 0. a) Pour tout de [0 ; ], u() 0, donc sin, v() 0, donc 0 v () 0 + v () 0 v () 0 + v() d où sin sin 5.. Étudier une fonction trigonométrique (page 7) A. Notions utilisées Étude d une fonction trigonométrique (périodicité, symétries, réduction de l intervalle d étude, variations, courbe). Étude du signe d epressions de la forme a cos + b. B. Corrigé. a) Pour tout réel, f ( + ) sin ( + ) 0,5 sin ( + ) sin 0,5 sin car la fonction sinus est de période d où f ( + ). D où f est périodique de période. b) Pour tout réel, f ( ) sin( ) 0,5 sin( ) sin + 0,5 sin car la fonction sinus est impaire, d où f ( ). Donc f est une fonction impaire et admet le point comme centre de symétrie.. f est dérivable sur et pour tout réel, f () cos 0,5 cos cos cos or cos cos donc f () cos + cos + (cos ) ( cos + ).. a) Pour appartenant à [0 ; ], cos + 0 équi- 60

5 vaut à cos c est-à-dire,. cos + > 0 équivaut à cos > c est-à-dire 0;,. b) f () 0 équivaut à cos ou cos Sur [0 ; ], les solutions sont 0 et Pour tout de [0 ; ] cos donc (cos ) 0. f () a donc le même signe que cos cos f () u est une fonction rationnelle dérivable et strictement positive sur ] ; [ donc f est dérivable sur 0] ; [. u () b) Pour tout de ] ; [, f (), u() u () f (). Pour tout tel que < + <, f ( + ) f () ( + ) () ( + ) ( + ) d où car < 0. ( + ) b) + 0 <0 ( + ) et X + X + f ( + ) f () donc. 0 <0 admet au point d abscisse une demi-tangente verticale, f n est pas dérivable en. Étude des variations de la fonction f ( + ) ( + ) Étudier une fonction définie à l aide d un radical (page 7) A. Notions utilisées Étude de la dérivabilité d une fonction composée de la forme u(). Calcul de la dérivée d une fonction composée. Interprétation grapique de la ite d un tau d accroissement. Calcul de ites de fonctions composées. Étude des variations d une fonction avec radical. Équation de la tangente à une courbe. Détermination d une asymptote verticale. B. Corrigé Étude de la dérivabilité de la fonction f. a) Pour tout de ] ; [ > 0. + f u où u est la fonction définie sur ] ; [ par u() +. a) ( ) et ( + ) 0 avec + > 0 > donc + > + or X + X + donc +. > Pour tout de ] ; [, f () < 0. f est donc strictement décroissante sur ] ; ].. f () + 0 Construction de la courbe a) f (0), f (0) donc T a pour équation y +. b) n sait que + donc la droite d équation est asymptote à. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 6

6 c) c) Vitesse et accélération A. Notions utilisées Étude des variations d une fonction polynôme et représentation grapique. Utilisation du téorème des fonctions continues strictement monotones. Application des résultats à l étude du mouvement d une particule sur un ae. B. Corrigé Étude de la fonction f a) f est une fonction polynôme dérivable sur [0 ; ] et pour tout t de [0 ; ], f (t) t + t + 8. n cerce les valeurs qui annulent f (t). 00, t + t + 8 a deu racines t, t. Τ Étude de la vitesse a) v(t) t + t + 8, v (t) 6t +. b) 5 t 0 v (t) v(t) 8 Étude de l accélération Natan-VUEF/Reproduction interdite t 0 f (t) + 0 f (t) b) Sur [0 ; ], f est croissante et f (0) donc pour tout t de [0 ; ], f (t). L équation f (t) 0 n a pas de solution dans [0 ; ]. Sur [ ; ] f est continue et strictement décroissante donc pour tout réel k compris entre f () et f () l équation f (t) k admet une solution unique dans [0 ; ]. En particulier pour k 0. Avec la calculatrice, on obtient, < t 0 <,. 5 g(t) v (t) f (t) 6t +. g est une fonction affine représentée par une droite. 6

7 Étude du mouvement du point M. 5 0 d t 0 t t À l instant t 0, le point M se trouve à la graduation, il se déplace dans le sens des abscisses croissantes. À l instant t, il se trouve à la graduation et rebrousse cemin. Il atteint la graduation 5 à l instant t.. a) La vitesse est maimale à l instant t b) 0 À l instant t M se trouve à la position et son, 7 accélération est nulle.. L équation f (t) 0 a une solution unique t 0. Donc le point M passe une seule fois à l origine du repère de l ae d. C est à l instant t 0, ; v(t 0 ) 0,, g(t 0 ) 8,5.. f 0 7, γ 0. t 0 v(t) γ(t) + 0. Sur 0; et sur [ ; ] v(t) g(t) > 0 donc le recouvrement du point M est accéléré. Sur v(t) g(t) 0 donc le mouvement du point ;, M est retardé Un problème d optimisation A. Notions utilisées Utilisation du logiciel Géoplan W. Étude des variations d une fonction avec radical. Étude de la dérivabilité d une fonction en un point. Détermination du maimum d une fonction. B. Corrigé Une étude de fonction. a) H [AA ] donc [ ; ]. b) HA. Le cercle de centre, de rayon a pour équation + y, donc les coordonnées des points M et M sont (, ) et (, ), MM. L aire du triangle AMM est donc ( ).. a) Sur ] ; [ ; > 0 donc la fonction est définie et dérivable sur ] ; [. La fonction l est définie et dérivable sur ] ;?], f produit de ces deu fonctions, est donc dérivable sur ] ; [ et pour tout réel de ] ; [, f () + ( ) b) Pour tout réel < 0, f (7)f() ( + ). ( ) 0 et X 0 0 X 0 ( + ) f () donc 0 f 0. <0 Donc f est dérivable en et f () 0. c) Pour tout réel > 0, f ( + )f ( ) 0 <0 donc 0 ( ). + et X + X + +. <0 ( ) 0 f ( + ) f () d où +. 0 <0 f n est donc pas dérivable en, sa courbe représentative admet au point d abscisse, une demi-tangente verticale. d) ( ) ( )( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) f () Pour tout de [ ; [, f () a le même signe que ( + ). a) L aire du triangle est maimale pour. b) La valeur maimale de l aire est Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 6

8 f. M ; et M ; donc (A ; M ) (A ; M). De plus M A M donc par la rotation de centre et d angle M a pour, image M, qui a pour image M, d où MA AM M M. Le triangle est donc équilatéral. 6 Corrigés des eercices et des problèmes Natan-VUEF/Reproduction interdite Faire le point Pour se tester 6 a c b b 5 b c 7 c 8 b 9 c Vrai ou fau 0 F V F V V 5 V 6 V 7 F 8 F 9 V 0 F F F Eercices d application a) Pour tout réel tel que + 0 et 0, f ( + )f ( ) ( + ) ( + ). b) ( ) et ( + ) 0 0 f ( + ) f () donc. 0 f est dérivable en et f ( ). f ()f (0) a) Pour tout réel 0, ) + + b) 0 ( + + ) donc 0 + ( f () f (0) 0. ( + ) f est dérivable en 0 et f (0) 0. 5 a) Pour tout réel tel que + < et 0, + f ( + )f (). + ( ) + b) 0 ( ) et 0 + f ( + )f () donc 0 f est dérivable en et f (). 6. Il semble que f ne soit pas dérivable en. Sa courbe représentative semble admettre une demi-tangente verticale au point d abscisse. f semble dérivable en 0 et f (0) 0 car sa courbe semble admettre une tangente orizontale au point d abscisse 0.. Pour tout réel tel que < < 0, f ( + )f () 0 <0 + et X + X + f ( + ) f () donc. 0 <0 f n est pas dérivable en. Pour tout réel tel que < < et 0, f ()f (0) + ( + ) 6

9 0 f)f (0) donc 0. f est dérivable en 0 et f (0) 0. f () f (0) Pour tout réel < 0,. f admet en 0 un nombre dérivé à droite égal à et un nombre dérivé à gauce égal à, les deu nombres sont différents. f n est pas dérivable en >0. a) Pour tout réel > 0, f ()f (0) + + donc 0 >0 f n est pas dérivable en b) La courbe représentant f admet une demi-tangente verticale au point.. a) Pour tout réel > 0, g()g(0). 0 g est dérivable en 0 et g (0) 0. b) La courbe représentant g admet au point une tangente orizontale. 8 + g() g(0) 0.. Pour tout réel 0, donc sin,. b) Pour tout réel 0, 0 or 0 donc d après le téorème «des gendarmes» 0 0, f (0) 0 0 donc f est continue en. r sin n a pas de ite quand tend vers 0. Donc f n est pas dérivable en a) b) f est continue sur car sa courbe obtenue par un tracé sans lever de crayon. f ()f (0) sin f () f (0). Pour tout réel 0, sin. f () f (0). Pour tout réel > 0,. 0 0 <0 a) f ( + ) f () b) Pour tout réel > 0, f ( + ) f () 0 0. >0 f ( + ) f () Pour tout réel < 0, f ( + ) f () 0. f est donc dérivable en et f () 0. c) f () 0, f () 0, donc T a pour équation y 0, T est l ae des abscisses. a) 0 n est pas un entier. Il eiste un entier relatif n tel que n < 0 < n +. Pour tout réel de [n ; n + [, E() n. La fonction E est dérivable en 0 et E ( 0 )0. b) 0 est un entier relatif. n sait que E n est pas continue en 0, donc E n est pas dérivable en 0... f n est pas continue en, donc f n est pas dérivable en. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 65

10 Natan-VUEF/Reproduction interdite.. a) f est continue en car sa courbe est un tracé sans lever de crayon. f () f (0) f () f (0) b) et >0 <0 f () f (0) n a pas de ite en 0. La fonction f n est pas dérivable en 0... a) f est continue en 0 car sa courbe est un tracé sans lever de crayon. b) 0 >0 et 0 <0 f est dérivable en 0 et f (0) 0. 5 a) f est dérivable sur et pour tout réel, f (). Pour proce de 0, f ( + ) f () + f () f ( + ) +. f ( + ) + +, donc l erreur commise est. b),09 + 0,09, on applique l approimation du a) avec 0,09,09 + 0,09, c est-à-dire,09,6, 0,09 < 0. Donc l erreur commise est inférieure à 9 0 ou encore inférieure à 0. 6 f () f (0) 0 a) f est dérivable en tout réel 0 et f () f () f (0) 0.. Pour proce de 0, f ( + ) f () + f (), f ( + ). b) + () +. Pour tout réel + 0 et 0, donc > 0. + Pour tout réel donc +, d où + +. Finalement, si alors 0 < ( ). + c) 0,99 0,007, on applique l approimation du a) avec 0,007,,007. 0,99 L erreur commise est inférieure à car si 0 ( ), + ( 7 0 ) L erreur commise est donc inférieure à 0. 7 a) f est une fonction polynôme dérivable sur et pour tout réel, f () + +. Une équation de la tangente au point d abscisse a est y f (a)( a)+f (a). Pour a T : y 9 ; pour a 0 T : y. b) Pour étudier la position de par rapport à la droite T, on étudie le signe de ϕ() : ϕ() ϕ() 0 équivaut à +, 0 ou. Pour tout réel, ϕ() a le même signe que +. Sur ] ; ], ϕ() 0 donc est au-dessus de T. Sur [ ; + [, ϕ() 0 donc est au-dessous de T. et T ont deu points communs (0 ; 0) et A( ; 9). c) 8 a) f est une fonction polynôme donc dérivable sur et pour tout réel, f (). f (), f (). 66

11 La tangente à f au point d abscisse a pour équation y ( ) +, y +. b) g est une fonction rationnelle donc dérivable en tout réel non nul et g (). g(), g (), donc g a la même tangente que f au point d abscisse. c) Pour tout réel > 0, est dérivable et 6 () +. (), (), donc a la même tangente que f et g au point d abscisse. 9 f u où u est la fonction définie sur ; + par u(). Pour > u() > 0, donc f est dérivable, sur et pour tout > f (). ; +, f () équivaut à,,. r f () et f (). La tangente à au point d abscisse a pour équation y ( ) +, y. La droite D n est donc pas une tangente à si ou. si < < f ( + ) f () + +. f ( + ) f (). 0 >0 Donc f est dérivable à droite en et son nombre dérivé à droite en est. b) La tangente à droite à au point A a pour équation y ( ) + 0, y.. a) Pour tout réel tel que < + <, f ( + ) f (). f ( + ) f (). 0 <0 Donc f est dérivable à gauce en et son nombre dérivé à gauce est. b) La tangente à gauce à au point A a pour équation y ( ) + 0, y +.. F n est pas dérivable en car son nombre dérivé à droite et son nombre dérivé à gauce sont différents. a) f est dérivable en. b) f (). f () est le coefficient directeur de la tangente à au point A. a) f n est pas dérivable en, le point A est un point anguleu. b) f est dérivable à droite en et son nombre dérivé à droite est. f est dérivable à gauce en et son nombre dérivé à gauce est. a) f n est pas dérivable en. b) admet en A une tangente verticale. a) f n est pas dérivable en. b) f est dérivable à gauce en et son nombre dérivé à gauce en est 0. f n est pas dérivable à droite en.. a) Pour tout réel > 0, A 5 a) ϕ est la fonction sinus définie et dérivable sur. Pour tout réel, ϕ () cos. ϕ est, en particulier, dérivable en, donc d où ϕ() ϕ(0) 0 ϕ (0), 0 sin cos 0. 0 b) ϕ est la fonction cosinus définie et dérivable sur. Pour tout réel, ϕ () sin. ϕ est, en particulier, Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 67

12 dérivable en, donc 0 0 ϕ() ϕ(0) ϕ (0), d où 0 c) La fonction ϕ considérée est à nouveau la fonction cosinus dérivable en donc d où d) La fonction ϕ considérée est la fonction sinus dérivable en donc d où Pour la ite de l() en cos 0, l() d où l() 0 ( ) 0. 6 cos ϕ() ϕ cos ϕ() ϕ sin sin 0 0. ϕ sin. ϕ cos 0. sin on écrit pour tel que Pour tout réel, f () cos f () 50 5 Pour tout réel, f () Pour tout réel, f () ( + ) ( + ). 5 a) f est le produit des fonctions et. Ces fonctions sont dérivables sur ]0 ; + [, donc f est dérivable sur ]0 ; + [. Pour tout réel > 0, 6 f () +( ). b) g est une fonction rationnelle définie sur {} donc g est dérivable sur ] ;[ et sur ] ; + [. Pour tout réel, g () c) La fonction cos est dérivable sur, ainsi que la fonction a +. Par composée, est définie sur et pour tout réel, () sin ( + ). 5 (sin )( sin ) (cos )( + cos ) ( sin ) sin + cos ( sin ). ( +) ( +)( +) ( +) ( +)( + ) ( +) ( ) ( +) 6( ) ( +). 6 ( +5). f est la somme d une fonction affine et d une fonction rationnelle définie sur R donc f est Natan-VUEF/Reproduction interdite 7 Pour > 0, 9 f () + ( ). 8 Pour, ( +)( +)( + +) f () ( +) ( +). Pour 0;, dérivable sur Pour tout réel, f() f () ; et sur 5 ( )+7 + ; +. donc 5 +7 ( +) 5 ( +). 5 a) f est une fonction rationnelle définie sur * donc f est dérivable sur ] ; 0[ et ]0 ; + [. 68

13 Pour tout réel non nul, f (). De même, f est une fonction rationnelle définie sur * donc f est dérivable sur ] ; 0[ et ]0 ; + [. Pour tout réel 0, f () De même, pour tout 0, f () () 6 et f () () n b) Pour n * et n 0, f (n) () () n n! n + f (n) () ( ) n n a) f est la composée de la fonction sin dérivable sur et de la fonction + dérivable sur, donc f est dérivable sur et pour tout réel, f () cos ( + ). b) g est la composée de la fonction 5 dérivable sur et de la fonction X X 7 dérivable sur, donc g est dérivable sur, pour tout réel, g ()7(5 ) 6 5 5(5 ) 6. c) est la composée de 7 9 dérivable sur et X X dérivable sur ]0 ; + [. r, 7 9 > 0 pour. 9 7 ; +. sin + n sin cos(k) + cos sin(k) sin ( ) k. Si n k +, k *, sin + n sin cos k + + cos sin k + cos ( ) k. Donc pour tout réel, f (n) () sin 57 g est la composée de dérivable sur et de la fonction sinus dérivable sur, donc g est dérivable sur. Pour tout réel, g () cos (), de même g ()g(sin ()), g () 7 cos () cos (), g () () sin (). Pour n N* et pour tout réel, g (n) () n sin 58 a) La fonction est périodique de période En effet pour t [0 ; + [, t n. sin 0 t n sin 0 t + 5 sin(0t) (t). Donc est dérivable sur 9 7 Pour tout réel > (). 7, a) f est la fonction sinus donc f est dérivable sur, pour tout réel, f () cos. De même la fonction cosinus est dérivable sur, pour tout réel, f () sin. f () () cos, f () () sin. b) n N*, si n k, k * alors pour tout réel, f (n) () () k sin, si n k +, k * alors pour tout réel, f (n) () ( ) k cos. c) Pour tout réel, sin + n sin cos n + cos sin n. Si n k, k *, 9 7 ; +. b) est la composée d une fonction affine et de sinus, donc est dérivable sur [0 ; + [, pour t 0, (t)5 0 cos(0t), v(t) (t) 00 cos (0t). c) v(t) 0 équivaut à cos (0t) 0, 0t + k (k ) t 0 + k 0, v(t) maimale quand cos (0t), c est-à-dire 0t k (k ), t k 0 k 0. d) La vitesse est nulle pour Soit (t) (t) 5sin t 0 + k 0. 5sin k 0 t 0 + k 0. + k 5si k entier pair 5 si k entier impair. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 69

14 La vitesse est maimale pour t Soit (t) 5sin 0 k 5 sin (k) équivaut à q fp p + q f p f f p (avec p 0, q 0, f 0; p f ). q est une fonction rationnelle en p définie sur ]f ; + [ donc q est dérivable sur ]f ; + [ et q (p) 60. f (0) ; f () 0 ; f () ; f (5) 0.. a) a pour solutions et 5,5. b) f () 0 a pour solutions et 5. c) f () 0 a pour solutions ] ; ] [ ; + [. 6 a) f (p f )fp (p f ) k 0. f (p f ). 6 f est une fonction rationnelle définie sur, donc f est dérivable sur, pour tout réel, f () Comme f () < 0 pour < 0 et f (0) 0, f est strictement décroissante sur ] ; 0]. Comme f () > 0 pour > 0 et f (0) 0, f est strictement croissante sur [0 ; + [. 6. 8( +) ( ) ( +) 0 + f () 0 + ( +). a) f est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0 ; + [. b) f () s annule pour 0 en cangeant de signe, f admet donc un minimum pour 0 égal à f (0).. et sont eclues, les sens de variation ne correspondant pas. f () donc le coefficient directeur 8, de la tangente à au point d abscisse vaut C est 8. la courbe qui pourrait être celle de f. 6 a) Pour 0, 6 8 Natan-VUEF/Reproduction interdite b) f est une fonction rationnelle définie sur, ainsi f est dérivable sur, pour tout réel, ( +) f () ( +) ( +) + ( +) ). ( + ) Si ] ; [ ] ; + [, f () > 0 et si ] ; [, f () < 0. La dérivée f () s annule en en cangeant de signe (de même en ). Donc f admet un maimum local en et un minimum local en. f ( ) f ( ),. ( + ) ( ( + ) +,, + et donc +. De même + et donc +. b) f est une fonction polynôme donc dérivable sur. Pour tout réel, f () 8. r pour tout réel, ( ) ( + ) ( 8) ( + + ) 8 f (). Ainsi pour tout réel, f () ( ) ( + ). Pour tout réel, f () est du signe de. f () > 0 équivaut à >,f () < 0 équivaut à < et f () 0 si et seulement si ou. c) + f ()

15 f a) Pour tout de D, a + b + n obtient c + (a a +a + b +b + c. + a 6a b, 6b +c 0 Ainsi pour tout, + b)( +)+c + a b. c ( +). 65 a) 0 et +, donc f() >0 >0 L ae des ordonnées est asymptote à g. 0 + et 0. 0 Donc +. 0 b) f est une fonction rationnelle définie sur ]0 ; + [ donc f est dérivable sur ]0 ; + [. Pour tout réel > 0, f () +. f () est du signe de, trinôme du second degré dont les racines sont et. f () < 0 pour 0; f () > 0 pour ; + f () 0 pour. c) 0 6/ + f () f 6 b) + et donc +, de même +. < et > + donc et +. ( +) > < La droite d équation est asymptote verticale à la courbe de f. c) f est une fonction rationnelle définie sur D, donc f est dérivable sur D, pour tout, f () ( +) r pour tout ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) Donc pour tout D, f () 5 ( +) ( +) + ( +) ( +)( +) ( +). ( +), d) f () 0 équivaut à ou. Si <,f () < 0 et si >,f () > 0. + f () ,5 0 ( +) 0 Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 7

16 f , + + et +, donc ( ( )) 0. De même [ ( )] La droite D d équation y est asymptote à en et en +. d) Le trinôme + + ne s annule pas sur, il est du signe de a, positif pour tout réel ( ) est du signe de +. Si > alors ( ) > 0, donc >. Si < alors ( ) < 0, donc <. est au-dessus de D sur ; + 67 a) Pour tout 0, et est au-dessous de ;. + + I ; 9 est le point d intersection de et D. + + e) + + et donc. De même +. b) f est une fonction rationnelle définie sur donc f est dérivable sur. Pour tout réel, f () ( + +) ( +) ( + +) ( +6 +9) ( + +) Natan-VUEF/Reproduction interdite ( +) ( + +). f () 0 équivaut à 0 ou.f () > 0 pour 0 et,f (0) 0 et f ( ) 0, donc f est strictement croissante sur. c) Pour 0, ( )( + +) ( ) ( +) a) b) f est un polynôme donc f est dérivable sur, pour tout réel, f () + ( + ). 9 7

17 c) f () s annule pour en cangeant de signe, 9 donc f admet un maimum local en égal à 7. De même f admet un minimum local en 0 égal à. f (0). a) donc >0 >0 f n est pas dérivable en 0. admet une demi-tangente verticale au point 0. b) f est la somme de deu fonctions dérivables sur ]0 ; + [ donc f est dérivable sur ]0 ; + [ et f ().. a) Pour > 0,. + et donc +. b) / 0 + f () f () ( + ) 7. f est une fonction rationnelle définie sur, donc f est dérivable sur. ( +) f () +6 ( +) ( +) Pour 0, ( +) ( +). + et donc 0 et de même 0.. a) f est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; 0] donc pour tout de ] ; 0], f ( ). Pour [0 ; + [, 0. Finalement, pour tout réel,. De même f est croissante sur [0 ; ] et décroissante sur [ ; + [ donc pour tout de [0 ; + [, < f ( ). Pour ] ; 0], < 0. Finalement, pour tout réel,. f est donc bornée en. b) Pour tout réel, et f ( ) donc est le plus petit des majorants de f sur. De même, on démontre que minorants de f sur. + f () est le plus grand des 70 f est un polynôme donc f est dérivable sur. Pour tout réel, f () ( ). 0 / + f () f est une fonction rationnelle définie sur {}, donc f est dérivable en tout réel différent de. Pour, f () (a + b) ( ) ( )(a + b) ( ). n résout le système f () 0 f () (a + b) (a +b) 0 ; a +b Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 7

18 Natan-VUEF/Reproduction interdite (a + b) 60 ; a +b a + b 8 a b ; a b. Donc pour tout, ( ). f () s annule et cange de signe en, f admet un etremum en égal à f (). 7 f m est une fonction rationnelle définie sur {;} donc f m est dérivable en tout réel différent de et. ( + m)( )( + m) f m () ( ) m m m m m. ( ) ( ) n étudie le signe de m m lorsque m 0. ( m ). Si 0 ou < 0, pour m ] ;] [ ; + [ alors le signe du trinôme est constant (celui de m), donc f m () garde un signe constant (il peut être nul en certain point). Ainsi pour m ] ;] [ ; + [, f m n admet ni minimum, ni maimum. Pour m ] ; [ et m 0, > 0, f m admet un maimum et un minimum. Lorsque n 0, f m admet un maimum en. 7 v est fonction de L L L est dérivable sur ]0 ; + [ en tant que C + C L fonction rationnelle et L L C + C L et pour L > 0, v(l) k (L C ) v (L) L C CL C + L L C + C L a + b 8 a + b ; est dérivable sur ]0 ; + [ k C +C L L C C + L > 0 donc la fonction v (L) est du signe de L C, donc v (L) > 0 pour L ]C ; + [, v (L) > 0 pour L ]0 ; C[ et v (C) 0. La dérivée v (L) s annule pour L C en cangeant de signe, donc la vitesse v est minimale pour L C. 75. a) n utilise le téorème de Pytagore dans le triangle MCN rectangle en C. MN MC + NC ( ) + ( y) y y + y y +. b) MN MT + TN (MN) est tangente à en T donc (MT) (AT) et AD AT. Dans les triangles rectangles ADM et ATM, AD AT, d après le téorème de Pytagore : DM MT. De même, les triangles ATN et ABN sont isométriques donc TN BN y. Ainsi MN + y. c) MN ( + y) + y + y donc y + y, + y + y et y +. d) Donc MN f est une fonction rationnelle définie sur ]0 ; [ donc dérivable sur ]0 ; [ et pour tout ]0 ; [, ( +)( +) f () +. ( +) ( +) f () est du signe du trinôme + qui a deu racines + et. Donc f () < 0 pour ]0 ; + [, f () > 0 pour ] + ; [ et f ( + ) f () 0 + b) f admet un minimum pour +. Dans ce cas y. MN est minimale pour M tel que DM. 78 a) Pour tout réel t, f t + cos t + cos (t + ) cos t f(t). Donc f est périodique de période. b) Pour tout réel t, f ( t) cos( t) cos t. L ae des ordonnées est donc un ae de symétrie de la courbe. c) La fonction : t t est dérivable sur, la fonction cosinus est dérivable sur, donc par composition, f est dérivable sur. 7

19 Pour tout réel t, f (t) sin (t). Pour t 0; sin (t) > 0 donc f (t) < 0., f s annule en 0 et en Donc la fonction f est strictement décroissante sur d) n trace la courbe représentant f sur 0; puis, par symétrie par rapport à l ae des ordonnées, on construit Γ sur. ;. Pour obtenir, on applique à Γ les translations des vecteurs ki avec k. / / / / 0;. pour c est-à-dire pour ;, cos, donc f () > 0 ; 8 ; 7 8, >0 pour c est-à-dire pour ;, 7 cos donc f () < 0 ; 8 ;, >0 f () 0 pour ou 8 f est strictement décroissante sur strictement croissante sur 0 /8 7/8 f () ,5 0, ; 8 8 ; et 7 8 ;, 77 a) Pour tout réel, 0,5 f ( + ) 0,5 sin ( + ) /8 7/8 0,5 sin + 0,5 0,5 sin 78 a) f (t) ( + tan t) pour t ;. donc f est périodique de période. b) f est dérivable sur en tant que composée d une fonction affine et d une fonction sinus, toutes deu dérivables sur. Pour tout réel, f () 0,5 cos cos. À l aide du cercle trigonométrique, pour c est-à-dire pour ;, 0; cos, donc f () < 0 ; 8, >0 f (0) et f (0) donc une équation de T est y +. b) n étudie le signe de la fonction d définie par d(t)f (t) t. tan t t pour t d est dérivable sur cet intervalle et d (t) ( + tan t) tan t 0. La fonction d est croissante sur l intervalle et s annule en. Donc pour tout t ;. ;0, ; d(t) 0 et pour tout Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 75

20 t 0; d(t) 0., Ainsi la courbe est au-dessous de la tangente T sur l intervalle ;0 et au-dessus sur l intervalle 0;. / / 79. a) Pour tout D, + D et f + tan + tan ( + ). Donc f est périodique de période. b) Pour tout D, D et f ( ) tan ( ) tan (). La courbe est symétrique par rapport à l origine du repère.. a) La fonction affine est dérivable sur, pour + k + k donc f est dérivable sur D. Pour tout 0;, f () ( + tan ). b) Pour tout 0; f () > 0, donc f est stricte-, ment croissante sur. a) f (0) 0, f (0), donc une équation de T est y. b) n étudie le signe de la fonction d définie par d()tan () sur 0;. ;. d est dérivable sur cet intervalle et d () ( + tan ()) tan () 0. n construit Γ sur Pour obtenir, on applique à Γ les translations de vecteurs k i (k ). 80 a) Pour tout réel, f ( + ) sin ( + ) ( sin ) sin donc f est périodique de période. b) Pour tout réel, f ( ) sin ( ) ( sin ) sin. L ae des ordonnées est donc un ae de symétrie de la courbe. c) La fonction sinus est dérivable sur, donc la fonction f est dérivable sur. Pour tout réel, f () sin cos. Pour tout 0; ;. f () > 0 et f s annule en et cos > 0 et sin > 0 donc. La fonction f est strictement décroissante sur 0;. d) n trace la courbe représentant f sur 0; puis par La fonction d est croissante sur ; et s annule symétrie par rapport à l ae des ordonnées, on construit Natan-VUEF/Reproduction interdite en. Donc pour tout d() 0 et pour ;0, tout 0; d() 0., Ainsi la courbe est au-dessous de la tangente T sur l intervalle et au-dessus sur l intervalle 0; ;0. Γ sur Pour obtenir sur on ; ;., applique à Γ les translations de vecteurs i et i. / / / / 76

21 8. a) Pour tout réel, f ( + ) cos ( + ) cos ( + ) cos cos donc f est périodique de période. b) Pour tout réel, f ( ) cos ( ) cos ( ) cos cos. L ae des ordonnées est donc un ae de symétrie de la courbe.. a) Les fonctions affines et cosinus sont dérivables sur donc par composée et somme, f est dérivable sur. Pour tout réel, f () c). a) (sin ()) + sin sin cos + sin sin ( cos + ). b) n trace la courbe représentant f sur [0 ; ] puis par symétrie par rapport à l ae des ordonnées, on construit Γ sur [ ; ]. Pour obtenir on applique à Γ les translations de vecteurs ki (k ). 0 sin cos f () / + f () / AC 8. tan dans le triangle AC rectangle en A A donc AC tan. AB, de plus A, trajet AB vaut +. Les trajets sont égau si et seulement si + tan. tan est dérivable sur 0; ainsi que la fonction affine, donc par somme, f est dérivable sur Pour tout 0; f () + tan tan., b) f () > 0 pour 0; et s annule pour 0, donc f est strictement croissante sur tan + et ( ) < donc +.. a) f est continue et strictement croissante sur 0;, 0 / f () 0 + [ ; + [ donc l équation 0 admet une solution unique α dans 0;. 0;. b) Avec la calculatrice, α,. 8 a) f u où u est la fonction définie sur par u() +. u est dérivable sur et u () + donc f est dérivable sur et pour tout réel, f ()u () u () ( + ) ( + ). b) q u où u est la fonction définie sur par u() 6 +. Donc g est dérivable sur et pour tout t réel, (sin t sin t ) g (t) f (sin t) cos t cos t. ( + sin t) 9 a) Pour tout réel, f ( ). Par composition, f étant dérivable sur, la fonction f ( ) est dérivable sur et a pour fonction dérivée f ( ). Donc pour tout réel, f ( ) f (), c est-à-dire f ( ) f () et la fonction f est donc impaire. + 0;. 0;. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 77

22 b) De la même façon, on démontre que si f est impaire alors f est paire. 9 a) Pour tout réel, f ( ) ( ) + +. Donc l ae des ordonnées est un ae de symétrie de. b) f u où u() +, u est dérivable, strictement positive sur donc f est dérivable sur et pour tout u () réel, f (). u() + f () > 0 sur ]0 ; + [ et f (0) 0. Donc f est strictement croissante sur [0 ; + [. ( + ) + et donc +. X + c) Pour > 0, et + donc ( + + ) + et [ ] 0. La droite d équation y est asymptote à en f () d) La droite d équation y est asymptote à en. 6 + (0 ) Pour [0 ; 0], t + t f est dérivable sur [0 ; 0] et pour tout [0 ; 0], f () (0 ) (0 ) (0 ) f () est du signe du trinôme 6 (0 ). Ainsi nous obtenons le tableau de variation de f. 0 0 / 0 f () 0 + Le minimum est obtenu pour 0 ( 7,69), en effet la dérivée s annule en ce point en cangeant de signe. H est tel que AH Signe du trinôme (0 ) 6 + (0 ) 6 (0 ) (0 ) [ (0 ) + (0 ) km. 9. a) n lit le signe de f ()à partir de la position de sa courbe par rapport à l ae des abscisses. 0 + f () b) n en déduit les variations de f. 0 + Natan-VUEF/Reproduction interdite 9 Temps mis pour parcourir AH : t temps mis pour parcourir HB : t HB 0. 0 ; D après le téorème de Pytagore, HB 6 + (0 ).. a) A est éinée car les variations de la fonction sont contraires à celles de f sur ] ; 0[. Seule f ( ) 0, donc la courbe admet une seule tangente orizontale. C est éinée, f (), or la pente de la tangente à la courbe au point d abscisse est éinée. Le dessin D vaut, donc D est éinée. Seule la courbe B peut représenter f. 78

23 T 95. f (L) L s. f est une fonction rationnelle en L définie sur ]0 ; + [ donc f est dérivable ]0 ; + [ et pour tout L > 0, T f (L) T s L. L s T f (T), f est dérivable sur ]0 ; + [, L s s f (T). L T T s Ls s T f (s) L s. T f est de la forme k u avec k et u(s) u est L s, une fonction rationnelle dérivable sur ]0 ; + [, T u () s T f (s) k u() L T T Ls s T s Ls T. s. a) Pour L > 0, f (L) < 0, f est décroissante sur ]0 ; + [. Quand L diminue, f (L) augmente, le ton devient aigu. b) Pour T > 0, f (T) > 0. f est strictement croissante sur ]0 ; + [. Quand T augmente, f (T) augmente, donc le ton devient aigu. c) Pour s > 0, f (s) < 0. f est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Quand s augmente, f (s) diminue, le ton devient grave. 96 a) cos 0 lorsque cos, c est-à-dire cos. À l aide du cercle trigonométrique : pour cos donc cos 0 ;, et cos 0; pour 0; cos donc cos 0, et cos 0. b) + sin 0 lorsque sin,sin : pour sin donc sin ;, et + sin 0; pour 5 sin donc + sin 0; 6 ; 6, pour ; 5 sin donc + sin 0. 6, c) sin 0 lorsque sin, sin : pour 0; sin donc sin 0;, pour sin donc sin 0; ;, pour sin donc sin 0. ;, 97 a) g u où u() + 8, u est dérivable et strictement positive sur, donc g est dérivable sur ; pour u () tout réel, g (). La fonction affine u() + 8 est dérivable sur, donc f est dérivable sur (pour tout réel) ; f () b) Pour tout réel, f (). + 8 Si ] ; 0[, + 8 < 0, donc f () < 0. 8 Si [0 ; + [, f () donc + 8 ( + + 8) f () < 0. Ainsi pour tout réel, f () < 0, donc f est strictement décroissante sur. Eercices d approfondissement 99. Si 0, + + > 0 ; si > 0, + + +, donc Finalement, pour tout réel, + > 0 (). + > 0. En remplaçant par, on obtient, pour tout réel + ( ) ( ) > 0 d où + + > 0 (). Pour tout réel, ( + ) or + > 0 et + > 0 d après () + > 0 (). donc Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 79

24 . a) Pour tout réel, + > 0 g est dérivable sur et g () +, + pour tout réel, + > 0 et + > 0 d après la re question donc g () > 0 et g est strictement croissante sur. b) Pour tout réel 0, g() < 0. L équation g() 0 n a donc pas de solution négative. Pour > 0, g() 0 équivaut à +, c est-à-dire., c) g est strictement croissante sur et g 0 donc pour tout <, g() < 0 et pour tout >, g() > 0.. a) + ) + et ( ) + donc + d après les règles opératoires. ( Pour > 0, + + et donc X X + et +. b) Pour tout réel, + > 0 donc f est dérivable sur et pour tout réel, + g() f () c) f () a donc le même signe que g(). + donc [] 0. admet la droite D d équation y comme asymptote en +. b) Pour tout réel, et ( ) + donc [ + ] 0. admet la droite D d équation y comme asymptote en. c) Pour étudier la position de par rapport à D, on étudie le signe de. + + D après la re question, pour tout réel, + + >0 donc est au-dessus de D. Pour étudier la position de par rapport à D, on étudie le signe de +. + D après la re question, pour tout réel, + >0 donc est au-dessus de D. 5. Natan-VUEF/Reproduction interdite g. / + f () a) Pour tout réel, et a) D f est positive (resp. négative) là où est au-dessus (resp. au-dessous) de l ae des abscisses. D 80

25 b) Des variations de f, on déduit le signe de f ().. f est définie dès que f est définie. Donc f est définie sur [0 ; 0]. est définie si et seulement si f est définie et non f nulle. Donc est définie sur [0 ; 6[ [6 ; 8[ ]8 ; 0]. f f est définie si et seulement si f est définie et positive. Donc f est définie sur [0 ; 6] [8 ; 0].. f est dérivable sur [0 ; 0] et (f ) f f. est dérivable sur cacun des intervalles où elle est f définie et f f f. f f () f () f () f () a donc le signe contraire de celui de f a) Les tangentes en B à l arc AB et en C au segment [CD] ont pour coefficient directeur. Les conditions posées sont donc f (0) f (0) 0 et f () f () 0.,, Vérifions que la fonction f définie sur [0 ; ] par + cos répond à ces conditions : f (0) + cos 0 +, f () + cos. f est dérivable sur [0 ; ] et pour tout réel de [0 ; ], f () sin, f (0) 0, f () 0. b) B A 0. a) f est dérivable sur 0; et f () tan, f () ( + tan ) tan. b) Pour tout de 0; f () 0 équivaut à tan 0,, c est-à-dire à 0. C D f est dérivable sur [0 ; 6[ et ]8 ; 0] c est-à-dire lorsque > 0. f ( f ), f () f ( f ) a donc le même signe que f. 0 6 ( f ) () + 0 f ( ) Pour tout de 0;, f () < 0. 0 f () 0 f () + tan > 0, tan > 0 donc. a) f est continue et strictement décroissante sur 0; De plus 0 étant compris entre f (0) et f., l équation f () 0 admet une solution unique α dans 0;. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 8

26 b) f est strictement décroissante sur 0; et f (α) 0, donc pour tout de [0 ; α[, f (α) > 0 et pour tout de α ; f (α) < 0. f () 0 équivaut à cos, c est-à-dire 0. c) 0 f () a) 0 f () + 0 α f (α) 0 0. f est strictement croissante sur 0; et f (0) 0 donc pour tout 0; 0,, b) f est croissante sur [0 ; α] et décroissante sur α ; et f (0) f 0 donc pour tout de 0; 0 d où tan. soit sin + tan.. Natan-VUEF/Reproduction interdite. 0. f est dérivable sur 0; et pour tout de 0;, f () cos +. a) Pour tout X réel, (X ) (X X ) X X X X + X + X X + X X s annule pour X et X X (X ) (X + ) donc X X + (X ) (X + ). Les racines de ce polynôme sont donc et. b) Pour tout de cos cos +. cos 0;, cos (cos ) (cos +) f (). cos Pour tout de 0; f () est positif sur 0; et 0. a) Pour tout réel, 0 cos donc + cos +. b) +. D après les propriétés de comparaison, +. c) La courbe est au-dessus de la droite D d équation y et au-dessous de la droite D d équation y +.. a) Pour déterminer les abscisses des points d intersection de et D, on résout l équation + cos qui équivaut à cos 0, c est-à-dire + k avec k. et D ont une infinité de points communs. Les coordonnées des points d intersection de et D sont donc ((k + ) ; (k + )) avec k. b) Pour déterminer les abscisses des points d intersection de et D, on résout l équation + cos + qui équivaut à cos, c est-à-dire k avec k. et D ont une infinité de points communs. Les coordonnées de ces points sont (k ; k + ) avec k.. a) f est dérivable sur et pour tout réel, f ()sin cos sin. b) Pour tout réel, sin donc sin 0 et f est croissante sur. c) f () 0 équivaut à sin, c est-à-dire + k avec k, + k. 8

27 . a) 0 f () b) admet une tangente orizontale au points d abscisses et. D est tangente à au point d abscisse. D est tangente à au points d abscisses 0 et. D D cos sin cos +. b) f () 0 équivaut à + + k, + k avec k. f () > 0 équivaut à +k < + < +k avec k. f () > 0 équivaut à +k < < +k avec k.. a) / / f () b) 5. a) Pour tout réel, f ( + ) + + [cos ( + )] + + ( cos ) +. Le point N( +, + ) de est l image du point M(, f()) de par la translation de vecteur u (i + j ). b) n complète donc la courbe de f en effectuant des translations de vecteur ku avec k. 05. Pour tout réel, f ( + ) sin( + ) + cos( + ) sin + cos. f est donc périodique de période.. a) f est dérivable sur et pour tout réel, f 0 () cos sin c) f est de période. n complète donc la courbe de f, en effectuant des translations de vecteur k i avec k. 06. a) Pour tout réel, f ( + ) [sin ( + ) + cos ( + )] (sin ) + cos donc f est périodique de période. b) Pour tout réel, f ( ) [sin ( )] + cos ( ) ( sin ) + cos sin + cos. La courbe est symétrique par rapport à l ae des ordonnées.. a) f est dérivable sur et pour tout réel, f () sin cos sin sin ( cos ). b) Pour tout réel dans [0 ; ], sin 0 donc f () a le même signe que cos. Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 8

28 . a) 0 f () Pour tout de 0; sin > 0, cos > 0 donc g () > 0. g est donc strictement croissante et continue sur b) Sur 0; f est croissante et f (0), donc pour, tout réel dans 0;., L équation 0 n a pas de solution dans 0;. 0; De plus g(0) 0, g.. étant compris entre g(0) et g l équation 6, g() admet une solution unique α sur 0; 6, 0, < α < 0,5. Sur ;, f est continue et strictement décroissante. De plus, étant compris entre f et f (), l équation 0 g () 0 + g() 0 0 admet une solution unique α dans ;. L équation 0 a donc une solution unique α dans [0 ; ]. f (,) 0,065, f (,) > 0 f (,) 0,, f (,) < 0. Donc, < α <,. c) b) Pour tout réel dans [0 ; α[ g() < 6 6 sin >. donc Pour tout réel dans α ; g() > 6 donc 6 sin < sin + 0 α Natan-VUEF/Reproduction interdite 07. a) g est la fonction définie sur 0; par g() sin. g est dérivable et pour tout réel de 0;, g () sin cos. g () 0 équivaut à sin 0 ou cos 0, c est-à-dire sur 0; à 0 ou. α. a) Pour tout réel, f ( + ) sin ( + ) cos [( + )] sin ( + ) cos ( + ) sin cos. f est donc périodique de période. b) Pour tout réel, f ( ) sin ( ) cos ( ) sin cos. L origine du repère est donc centre de symétrie de la courbe. c) Pour tout réel, f sin cos ( + ) + + cos ( cos ), f sin cos ( ) cos ( cos ( )) cos ( cos ), 8

29 f donc la droite d équation de. est un ae de symétrie. a) et b) f est dérivable sur. Pour tout réel, f () cos cos sin sin cos ( sin ) sin ( sin cos ) cos ( 6 sin ). c) 0 α cos sin + 0 f () f (α) 0. a) + f α D après le téorème de Pytagore R r R R donc.. Le volume du cône est : r R.. a) Sur ]0 ; [ > 0, donc v est dérivable sur ]0 ; [ et pour tout de ]0 ; [, R v () + R R R R ( ) 8 Sur ]0 ; [, v () 0 équivaut à 8,. R De plus > 0 donc v () a le même signe que 8. r R À partir de la courbe représentant f sur obtient la courbe de f sur en effectuant une ; symétrie par rapport à la droite d équation. À partir de la courbe de f sur [0 ; ], on obtient la courbe de f sur [ ; 0] en effectuant une symétrie de centre. b) n complète ensuite en effectuant des translations de vecteur k i avec k puisque f est de période. 08. La longueur de l ae AB est R et correspond au périmètre du cercle de base de rayon r du cône, R donc r R, r. A R 0;, B on R b) Le volume est maimal pour. V 0 v () + 0 v() R R 8 R a) f u où u est la fonction définie sur ] ; + [ par u(). u est une fonction rationnelle, dérivable sur ] ; + [ et pour tout >, u () ( ) et pour tout ( ) ( ) >, u() > 0, donc f est dérivable sur ] ; + [ et pour tout >, 7 Natan-VUEF/Reproduction interdite C HAPITRE DÉRIVATIN 85

30 ( ) f (). ( ) b) f () a le même signe que ( ). + f () et ( ) 0+ > donc +. X + > X + donc +. > Pour >,, + et La droite D d équation y + est asymptote à en +. + b) Pour tout >, et + + > 0 ( ) >0 donc + + >0. 0. est donc au-dessus de D. c) D et donc +. Natan-VUEF/Reproduction interdite X + donc +. X +. Pour tout >, + + donc + + ( ) et + et + + donc a) f u où u est la fonction définie sur par u() +, u est un polynôme du e degré, < 0 donc pour tout réel, u() > 0 et u est dérivable sur, donc f est dérivable sur. u f. Donc pour réel, f (). + u f() et f () la tangente à f au point d abscisse, a pour équation y ( )+, y +. g est une fonction polynôme dérivable sur et pour tout réel, g () + 86

31 g() et g () donc la tangente à g au point d abscisse est D. b) Voir écran de la calculatrice.. Pour étudier la position de f et D, on étudie le signe de ( + ) + ( + ). Pour, + ( + ) équivaut à + ( + ), c est-à-dire + 0, ( ) 0. Cette inégalité est vraie pour tout, donc sur [ ; + [ f est au-dessus de D. Pour <, > 0 et ( + ) < 0 donc > ( + ). f est au-dessus de D sur ] ;[. En conclusion, f est au-dessus de D sur. Pour étudier la proposition de g et D, on étudie le signe de g() ( + ) + + ( ). Donc g est au-dessous de D sur.. Pour tout réel de [ 5 ; 5], f ( ) 5 ( ) f est paire et l ae des ordonnées est ae de symétrie de.. a) f u où u est la fonction définie sur [0 ; 5[ par u() 5. u est dérivable et pour tout de [0 ; 5[, u (). De plus u() > 0 sur [0 ; 5[ donc f est dérivable sur [0 ; 5[ et pour tout de [0 ; 5[, f (). 5 5 b) Pour tout de ]0 ; 5[, f () < 0 et f (0) 0 donc f est strictement décroissante sur [0 ; 5[.. a) Pour < 5, 5 f (5) (5 + ) 0 et (5 ) 0 avec 5 > <5 donc <5 f (5) X + donc. 5 <5 5 X + f n est pas dérivable en 5. b) admet au point d abscisse 5 une tangente verticale f () 0 est symétrique par rapport à l ae des ordonnées M G équivaut à y 5 (5 ) c est-à-dire y 5 ou y 5. Donc M Γéquivaut à M ou M. étant la courbe symétrique de par rapport à l ae des abscisses, Γ.. a) est une distance donc 0, BC +AC donc 0, d où [0 ; 0]. b) AH vérifie AH AC HC d où AH 5. L aire du triangle ABC est donc AH BC 5 et le volume du prisme est égal à v() C HAPITRE DÉRIVATIN 87 Γ 0 Natan-VUEF/Reproduction interdite

32 Natan-VUEF/Reproduction interdite. a) f est une fonction polynôme dérivable sur [0 ; 0] et pour tout de [0 ; 0], f () (00 ) + ( ) (00 ). f () 0 équivaut à 5. 0 f () + 0 b) f présente un maimum pour 5.. a) Pour tout de [0 ; 0], v() 5. Sur [0 ; 5 ], v est la composée de deu fonctions croissantes donc v est croissante. Sur [5 ; 0] v est la composée d une fonction décroissante et d une fonction croissante donc v est décroissante. b) v présente donc aussi un maimum pour 0 5. c) 0 7,07 à 0 près.. a) Pour ] ;[, + donc f () +. b) Pour ];[» [ ; + [, ( +) donc f () Pour tout ] ;[, f () < 0 donc f est strictement décroissante sur ] ;[. Pour ]; [,f () < 0 et f est strictement décroissante sur ] ; [. Pour ]; + [, f () a le même signe que. f () 0 pour 0. Pour ]; 0[,f () < 0 et f est strictement décroissante sur ] ; 0[. Pour ]0 ; + [, f () > 0 et f est strictement croissante sur ]0 ; + [ a) Pour >, ++ f () ( +)( +)+ ( +)( +) ( +) ( +)( +) ( + ) 0 et ( + ). f () Donc 0. > + f est dérivable à droite en et son nombre dérivé à droite en est 0. b) Pour <, + f () ( )( +)+ ( +)( +) f () Donc. < + f est dérivable à gauce en et son nombre dérivé à gauce en est. c) admet au point d abscisse une demi-tangente à gauce dont le coefficient directeur est une demi-tangente à droite dont le coefficient directeur est 0.. Pour tout réel, + + ( + ) + et donc +. Pour tout réel, + ( ) + et donc +. Pour tout réel + et donc f(), < donc +. > < > La droite d équation est donc asymptote à f () [ ( + )] ( +) ( +)( +) donc la droite D d équation y + est asymptote à en +. 88