FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

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1 FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour la fabrication de q centaines de ballons est donnée par : C(q) = q q +8q+0. Le prix de vente d un ballon est de 7 euros. On cherche, à l aide de la calculatrice ou d un logiciel, la quantité à produire pour obtenir un bénéfice maximum et la valeur de ce bénéfice maximum. I Généralités sur les fonctions :. Vocabulaire, rappels : Soit D une partie de l ensemble R. On définit une fonction f de D dans R, en associant à chaque réel x de D, un réel et un seul noté f(x) et que l on appelle l image de x par f. La fonction est notée f : D R x f(x) L ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f. On appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l ensemble (C) des points M de coordonnées (x;f(x)) avec x D. L équation y = f(x) est appelée équation de (C). Si x et y sont deux réels tels que y = f(x), alors y est l image de x par la fonction f. x est un antécédent de y par la fonction f. Remarque(s) -Pour x D, on sait que x a une image et une seule par f. La représentation graphique de f a donc un et un seul point d abscissex. -Si l ensemble de définition d une fonction n est pas indiqué, il est convenu que cet ensemble de définition est le plus grand ensemble sur lequel f(x) existe. Par exemple la fonctionf définie par f(x) = est définie sur R, c est-àdire sur ] ; 0[ ]0; x + [. représente une fonction ne représente pas une fonction Exercice. On considère la fonction f définie par f(x) = x +. (a) Justifier que f est définie sur R. (b) Donner les images par f de ; 0; ; -. (c) Les nombres ; 0; ont-ils des antécédents par f? Si oui déterminer-les. Fonctions (ESL) Page /8

2 . Sens de variation : Une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie que f(b) pour tout a et pour tout b de I, si a < b alors f(a) f(b) (On dira que f est strictement croissante : si a < b alors f(a) f(a) < f(b)). a b f(a) Une fonction f est décroissante sur un intervalle I signifie que pour tout a et pour tout b de I, si a < b alors f(a) f(b) f(b) (On dira que f est strictement croissante : si a < b alors f(a) > f(b)). a b Remarque(s) : Une fonction croissante est une fonction qui conserve l ordre. Une fonction décroissante est une fonction qui inverse l ordre. Si une fonction f est croissante sur un intervalle I ou décroissante sur I, on dit que f est monotone sur I. Exercice. a et b sont deux réels. (a) Démontrer, en utilisant les inégalités, que si a < b alors a + > b +. Que peut-on en déduire pour la fonction f définie par f(x) = x+? (b) De la même façon justifier le sens de variation de la fonction g définie par g(x) = x 5. Fonctions (ESL) Page /8

3 Exercice. 5. On considère la fonction f définie sur R dont la courbe est donnée par le graphique ci-contre. Compléter le tableau de valeurs suivant : x f(x) x - 0 f(x). (a) Donner les valeurs de f() et f(0). (b) Donner les antécédents par f de -6; 0 et 5. (c) Résoudre f(x) > 0. (d) Quel est le minimum de f sur [ ;]? En quelle valeur est-il atteint? Donner une approximation. Quel est le maximum de f sur [ ; ]? En quelle valeur est-il atteint? Donner une approximation Compléter : f est décroissante sur... f est croissante sur... Dresser le tableau de variations de f Fonctions (ESL) Page /8

4 II Fonctions affines, carrés, inverse (rappels) :. Fonction affine : On appelle fonction affine, toute fonction f définie sur R par f(x) = ax+b, a et b étant deux réels. La représentation graphique d une fonction affine est une droite. a est appelé coefficient directeur, b est appelé ordonnée à l origine. - Si a = 0, la fonction f est une fonction constante sur R (elle est définie par f(x) = b). Sa représentation graphique une droite est parallèle à l axe (Ox). -Si a > 0, la fonction f est une fonction strictement croissante sur R. -Son tableau de variations est : -Si a < 0, la fonction f est une fonction strictement décroissante sur R. -Son tableau de variations est : x + f(x) x + f(x) -Sa représentation graphique est : -Sa représentation graphique est : a b b b a a b a y = ax+b y = ax+b -Son tableau de signes est : -Son tableau de signes est : x b a + x b a + ax+b 0 + ax+b + 0 Remarque(s) : -Le coefficient directeur a est la valeur dont y varie lorsque x varie de. -Dans le cas où b = 0, la fonction f est définie sur R par f(x) = ax; c est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l origine. Fonctions (ESL) Page /8

5 Exercice. Donner l expression de la fonction affine représentée par chacune des droites ci-dessous. d5 d 5 d Dans chaque cas, tracer la droite passant par A et de coefficient directeur a. a) A(;); a = b) A(;); a = c) A(; 5); a = d) A(;); a = 5 Dans le plan muni d un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques des fonctions affines suivantes : f (x) = x ; f (x) = x 5 ; d f (x) = x+ ; f (x) =. d. Fonction carré : Exercice 5. (a) Soient a et b deux réels de [0;+ [ tels que a < b. Étudier après avoir factorisé le signe de a b. En déduire le sens de variation de la fonction carré sur [0;+ [. (b) En raisonnant de même, donner le sens de variation de la fonction carré sur ] ;0]. La fonction carré est définie sur R par f(x) = x. Elle est strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0;+ [. Son tableau de variation est : La fonction carré est une fonction paire c està- dire que pour tout nombre x on a f( x) = f(x). Sa courbe est une parabole, elle a pour axe de symétrie l axe des ordonnées. C Fonctions (ESL) Page 5/8

6 . Fonction inverse : Exercice 6. (a) Soient a et b deux réels de ]0;+ ] tels que a < b. Justifier que a b = b a ab. Étudier le signe de b a ab. En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur ]0;+ ]. (b) En raisonnant de même, donner le sens de variation de la fonction carré sur ] ;0[. La fonction inverse est définie sur R {0} par f(x) = x. Elle est strictement décroissante sur ] ; 0[ et strictement décroissante sur ]0; + [. Son tableau de variation est : La fonction carré est une fonction impaire c est-à- dire que pour tout nombre x non nul on a f( x) = f(x). Sa courbe est une hyperbole, elle a pour centre de symétrie le point O. Exercice 7. Soit l équation (E) : = x où l inconnue est un réel de l intervalle ]0;+ [. x (a) A l aide de votre calculatrice, représenter l hyperbole d équation y = et la droite x d équation y = x. Combien de solutions semble avoir l équation (E)? Déterminer un encadrement d amplitude 0 de ces solutions avec votre calculatrice. (b) i. Justifier que pour tout x > 0, (E) est équivalente à l équation x x. ii. Résoudre cette dernière équation. iii. En déduire la résolution de l équation (E). Fonctions (ESL) Page 6/8

7 III Fonctions racine carré, cube :. Fonction racine carré : Soit x un nombre réel supérieur ou égal à 0. On appelle racine carrée de x et on note x, l unique nombre réel x dont le carré est égal à x. Exemple : est un nombre réel positif. Il y a deux nombres dont le carré est, ce sont et -. La racine carrée de est le nombre réel positif dont le carré est. Donc =. Remarque(s) La touche. d une calculatrice permet d obtenir une valeur approchée ou exacte de la racine carrée d un nombre. Par exemple, elle donne 9= c est la valeur exacte; =,6.65, c est une valeur approchée... Propriétés : Si a 0, a = a Si a 0, a = a Si a 0 et b 0, a b = a a b Si a 0 et b > 0, b = Attention; Si a et b sont deux nombres positifs, a+b n est pas égal à a+ b. Par exemple, + = et + =! Exercice 8. (a) Écrire plus simplement ; ( )( + ) et ( + 6). (b) Soit A = 5 et B = 9 5. Justifier que A = B. Peut-on en déduire que A = B? (c) Justifier les égalités suivantes : = ; + = et a b = ( 5 ) On appelle la fonction racine carré, la fonction qui à tout réel x supérieur à 0 associe le nombre x. On note :[0; + [ [0; + [ x x Exercice 9. (a) On considère deux nombres réels positifs a et b tels que a < b. i. Calculer ( a+ b)( a b). En déduire le signe de a b. ii. En déduire que si a < b, alors a < b. (b) Que peut-on en déduire pour la fonction racine carrée? La fonction racine carrée est (strictement) croissante sur[0; + [ Son tableau de variations est : Fonctions (ESL) Page 7/8

8 . Fonction cube : Exercice 0. (a) On considère deux nombres réels a et b. Montrer que (a b)(a +ab+b ) = a b. (b) On considère deux réels a et b positifs. Quel est le signe de a +ab+b? En déduire que a b et a b sont de même signe. Quel est le sens de variations de la fonction cube sur [0;+ [? (c) Quel est le sens de variations de la fonction cube sur ] ;0]? (d) Si a < 0 et b > 0, quel est le signe de a b? et celui de a b? 8 La fonction cube est (strictement) croissante sur R Son tableau de variations est : La fonction cube est une fonction impaire, c est-à-dire que pour tout réel x on a f( x) = f(x). Sa courbe a donc pour centre de symétrie le point O, origine du repère. Exercice. En utilisant la calculatrice, résoudre les équations et inéquations suivantes (donner éventuellement des valeurs arrondies à 0 près) : a)x = 7 b)x > 7 c)x +5 = 0 d)x 5 e)(x ) = 5 Exercice. En utilisant les représentations graphiques de la fonction inverse et de la fonction cube, donner les solutions de l équation x = x. Retrouver ces solutions par le calcul. Exercice. (a) Tracer dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur R par f(x) = x et g(x) = x. Donner graphiquement le nombre de points d intersections de ces deux courbes ainsi que la position relative de ces deux courbes. (b) Développer le produit (x) (x+). Retrouver par le calcul les résultats précédents. Fonctions (ESL) Page 8/8

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