Jean-Philippe Préaux. Introduction à la Géométrie dans le plan Hyperbolique

Transcription

1 Jean-Philippe Préaux Introduction à la Géométrie dans le plan Hyperbolique

2 Ce cours est une version dactylographiée des supports manuscrits d une série de cours donnés au printemps 1998 dans le groupe de travail en Topologie et Géométrie des groupes de l école doctorale des Universités Marseillaises, à l attention des doctorants et chercheurs.

3 Table des matières I Transformations de Möbius 5 I.1 Inversions I.2 Le groupe de Möbius I.3 Le groupe hyperbolique I.4 Réflexions hyperboliques II Le plan hyperbolique 19 II.1 Le modèle du demi-plan supérieur II.1.1 Les géodésiques de H 2 u II.1.2 Le groupe d isométrie de H 2 u II.2 Propriétés géométriques II.2.1 Homogénéité et isotropie de H 2 u II.2.2 Complétude de H 2 u II.3 Le modèle du disque conforme III Géométrie dans le plan hyperbolique 31 III.1 Les cercles hyperboliques III.2 Circonférence d un cercle, aire d un disque III.3 Les triangles et leurs angles intérieurs III.4 Aire d un triangle IV Classification des isométries 41 IV.1 Compactification de H IV.2 Points fixes d une isométrie dans H IV.3 Etude géométrique IV.3.1 Le cas de deux géodésiques sécantes IV.3.2 Le cas de deux géodésiques parallèles IV.3.3 Le cas de deux géodésiques ultra-parallèles IV.4 Etude analytique IV.5 Isométries renversant l orientation IV.6 Propriétés algébriques des isométries

4 4 Table des matières Jean-Philippe Préaux - Géométrie dans le plan Hyperbolique

5 Chapitre I Transformations de Möbius Nous étudions dans ce chapitre les transformations de Möbius ; ce sont les transformations du plans engendrées par les réflexions le long de droites et les inversions le long de sphères ; ou autrement dit les transformations de la sphère de Riemann engendrées par les réflexions. Elles forment un groupe de transformations conformes contenant toutes les isométries euclidiennes ainsi que les homothéties, et nous permettrons de définir le groupe des isométries hyperboliques dans les modèles conformes. I.1 Inversions Soit E le plan euclidien, C le cercle de centre A et de rayon r. On considère l application : γ C : E {A} E {A} M M tel que M [A; M] et AM.AM = r 2 C(est une application involutive de E {A} dont l ensemble des points fixes est C. Expression analytique de γ C dans un repère orthonormé d origine A : et en posant z = x + i.y : γ C : (R 2 ) (R ( 2 ) ) (x, y) r 2 x x 2 + y, y 2 r2 x 2 + y 2 γ C : C C z r 2 z z = r2 2 z 5

6 6 Chapitre I- Transformations de Möbius C est une application différentiable, qui se prolonge sur E = E { } par γ C (A) = et γ C ( ) = A. Convenons d appeler une droite de E la réunion d une droite de E et de, et un cercle de E un cercle de E. Proposition I.1 L application γ C transforme dans E les cercles ou droites en cercles ou droites. Démonstration. Par 3 points ditsincts de E passe un unique cercle ou droite. Ainsi puisque γ C est involutive il suffit de prouver que tous les points d un même cercle ou droite sont envoyés sur un même cercle ou droite. Un cercle ou droite est défini par une équation cartésienne de la forme : α ( x 2 + y 2) + βx + γy + δ = 0 pour des constantes α, β, γ, δ non toutes nulles. De plus est un cercle si et seulement si α 0, une droite autrement, et passe par l origine A si et seulement si δ = 0. Soit M E. Si M est un point M(x, y) du plan E alors : Si M A, alors x 2 + y 2 0 et donc : α ( x 2 + y 2) + βx + γy + δ = 0 x α + β x 2 + y + γ x 2 x 2 + y + δ x2 + y 2 2 (x 2 + y 2 ) 2 = 0 Soit M (x, y ) = γ C (M), en multipliant membre à membre par r 4 : α + β.x + γ.y + δ ( x 2 + y 2) = 0 où x = r 2 x x 2 + y, 2 y = r 2 y x 2 + y, pour les constantes non toutes nulles 2 α = α.r 4, β = β.r 2, γ = γ.r 2 et δ = δ. Ainsi toutes les images par γ C de {A, } sont sur le cercle ou droite d équation α + β x + γ y + δ (x 2 + y 2 ) = 0. Si M = A alors nécessairement δ = 0 = δ et est une droite. Ainsi γ C (A) = est sur. Si M = alors nécessairement α = 0 = α et donc est un cercle ou droite passant par A qui est l image γ C ( ) = A de M. Remarquons que de plus :

7 I.1- Inversions 7 - Une droite passant par l origine est envoyée sur elle-même. - Une droite ne passant pas par l origine est envoyée sur un cercle passant par l origine. - Une cercle passant par l origine est envoyé sur une droite ne passant pas par l origine. - Un cercle ne passant pas par l origine est envoyé sur un cercle ne passant pas par l origine. - Un cercle centré en l origine est envoyé sur un cercle centré en l origine.

8 8 Chapitre I- Transformations de Möbius Proposition I.2 Une inversion est une application conforme qui renverse l orientation. Démonstration. En conjuguant par une translation on peut supposer que le cercle C est centré en l origine O. Soit une inversion γ : E {O} E {O}. Par définition il faut prouver que sa matrice jacobienne J γ (x, y) en (x, y) s écrit : (x, y) (0, 0), J γ (x, y) = κ(x, y) O (x,y) où κ : R 2 R + et O (x,y) O(2, R) SO(2, R) est une matrice orthogonale renversant l orientation. ( ) Puisque γ(x, y) = r 2 x x 2 + y, y 2 r2, le calcul donne pour tout x, y non tous x 2 + y 2 deux nuls : ( ) r 2 y J γ (x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 2 x 2 2xy 2xy x 2 y 2 et det(j γ (x, y)) = (x 2 + y 2 2 < 0. La matrice : ) O (x,y) = r 4 1 det(jγ (x, y)) J γ(x, y) = ( ) 1 y x 2 + y 2 x 2 2xy 2 2xy x 2 y 2 ( ) a b est dans O(2, R) SO(2, R) puisque de la forme avec a b a 2 + b 2 = 1. En posant κ(x, y) = det(j γ (x, y)) on a la conclusion recherchée. I.2 Le groupe de Möbius Donnés a, b, c, d C, soit l application : f : C { d c } C z az + b cz + d L application f se prolonge par continuité en f : C { } C { } en posant f ( d c ) = et f( ) = a c. On considère : H = { f : z az + b cz + d } ; a, b, c, d C, ad bc 0

9 I.2- Le groupe de Möbius 9 Proposition I.3 Muni de la loi de composition, H a une structure de groupe. Démonstration. Loi interne : Soient f, g H avec f(z) = az + b cz + d et g(z) = αz + β γz + δ : g f(z) = α(az+b)+β(cz+d) cz+d γ(az+b)+δ(cz+d) cz+d = α(az + b) + β(cz + d) γ(az + b) + δ(cz + d) (αa + βc)z + (αb + βd) = (γa + δc)z + (γb + δd) = g f H Et bien sûr la loi de composition est associative. Elément neutre : C est l application identité : z z. Inverse : Soient z C { d c } et Z C { a c } : Z = az + b cz + d (cz + d)z (az + b) = 0 z(cz a) + (dz b) = 0 z = dz + b cz a Ainsi un élément f : z az + b cz + d de H a pour inverse : f 1 : z dz + b cz a. On a alors naturellement l homomorphisme de groupe : ϕ : GL(2, ( C) ) H a b z az + b c d cz + d Proposition I.4 L homomorphisme ϕ passe au quotient en un isomorphisme de P SL(2, C) sur H. Démonstration. L homorphisme ϕ étant surjectif il suffit de déterminer son noyau. Soit f : z az + b, alors f est l élément neutre z z de H si et seulement si : cz + d b = c = 0 et a = b {( ) } a 0 Ainsi : ker ϕ = a C 0 a = C est le centre de GL(2, C). Ainsi ϕ passe au quotient en un isomorphisme :

10 10 Chapitre I- Transformations de Möbius H = LF (2, C) = GL(2, C)/ C = SL(2, C)/ ± Id = P SL(2, C) On appelle groupe de Möbius, le groupe des transformations de E = E { } engendré par les inversions et les réflexions. On le note M. On note aussi M + le sous-groupe de M des éléments qui préservent l orientation. On note σ : z z la réflexion le long de l axe des abscisses. Elle engendre dans M un sous-groupe d ordre 2 : < σ > = Z 2. Proposition I.5 De plus : M + = H = P SL(2, C) M = M + < σ > = P SL(2, C) Z 2 Démonstration. Le groupe M est engendré par les réflexions et les inversions ; elles renversent toutes l orientation. Donc M + contient les translations (composées de 2 réflexions le long de droites parallèles), les rotations (composées de 2 réflexions le long de droites sécantes) et les homothétiques (composées de 2 inversions le long de cercles concentriques). En particulier M + contient : les rotations de centre O : z e iθ z les homothéties de centre O : z k z z R les translations : z z + c z C qui sont aussi clairement des éléments de H. Montrons que H M + : soit f : z az + b cz + d avec ad bc = 1. z cz + d M + car composée d une homothétie et d une rotation de centre O suivie d une translation. z 1 z M + car composée de l inversion z 1 le long du cercle unitaire z et de la réflexion z z. Donc z 1 cz + d M + et : z 1 c Ainsi H M +. ( ) 1 + a cz + d c = caz + ad 1 c(cz + d) caz + cb = c(cz + d) = az + b M + cz + d

11 I.2- Le groupe de Möbius 11 Montrons que M + H. Pour cela il suffit de montrer que M est dans le sousgroupe < σ; H > des transformations de E engendré par σ et par H ; en effet σ est d ordre 2 et donc H y est distingué : < σ; H >=< σ > H, et σ M renverse l orientation tandis que H la préserve. Puisque M est engendré par les réflexions et les inversions il suffit donc de montrer que les réflexions et les inversions sont toutes dans < σ; H >. Premier cas : celui d une réflexion. Donnée une réflexion le long d une droite d on peut la décomposer comme suit : en conjuguant par une translation t suivie d une rotation ρ de centre O (éléments de H ) on ramène d sur l axe réel. en composant par la réflexion σ on se ramène à l identité. Ainsi toute réflexion est la conjuguée de σ par une translation et une rotation de centre O, et en particulier est dans < σ; H >. Deuxième cas : celui d une inversion le long d un cercle C : en conjuguant par une translation t H on ramène le centre en O. en conjuguant par une homothétie h H on se ramène au cercle unitaire. en composant par l inversion z 1/z < σ; H > on se ramène à l identité. Ainsi toute inversion est la conjuguée de z 1/z par une translation et une homothétie de centre O, et en particulier est dans < σ; H >. Proposition I.6 Soient (α, β, γ) C 3 et (δ, η, ɛ) C 3 deux triplets d éléments 2 à 2 distincts ; il existe un unique élément de M + qui envoie (α, β, γ) sur (δ, η, ɛ). Démonstration. Il suffit de montrer que donné (α, β, γ) C 3 avec α β γ il existe une unique élément φ M + qui l envoie sur (, 0, 1). Il existe φ : z az + b avec ad bc 0 et φ(α) =, φ(β) = 0, φ(γ) = 1. cz + d En effet, en prenant : on a : a = α γ γ β φ(α) = φ(β) = φ(γ) = ; b = β α γ β γ α α γ γ β + β α γ β γ α + α β α γ γ β + β α γ β γ β + α γ α γ γ β + β α γ β γ γ + α = = = ; c = 1 ; d = α (α γ)(α β) (α α)(γ β) = (α γ)(β β) (α β)(γ β) = 0 (α γ)(γ β) (α γ)(γ β) = 1

12 12 Chapitre I- Transformations de Möbius Avec ces paramètres l application φ convient ; il reste à démontrer son unicité. Nécessairement des paramètres a, b, c, d convenables doivent vérifier : = cα + d = 0 aβ + b = 0 (a c)γ + (b d) = 0 cα = d aβ = b a(γ β) = c(α γ) = (L 3 L 3 L 2 +L 1 ) = (a, b, c, d) = cα + d = 0 aβ + b = 0 a(γ β) + c(α γ) = 0 ( a, β a, β γ α γ ) β a, αγ α γ a En particulier si a, b, c, d sont d autres paramètres convenables, alors il existe k C tel que a = ka, b = kb, c = kc, d = kd (nécessairement k est non nul car a d b c 0) et l application φ qu il définissent vérifie : φ (z) = a z + b c z + d = kaz + kb kcz + kd = az + b cz + d = φ(z) Ce qui montre l unicité de φ H vérifiant φ(α) =, φ(β) = 0 et φ(γ) = 1. Après avoir remarqué que par trois points distincts de E passe un unique cercle ou droite, on obtient le corollaire immédiat : Corollaire I.7 Le groupe M + agit transitivement sur les cercles-droites de E. Notons M = M M + l ensemble des éléments de M reversant l orientation. Corollaire I.8 Soient A, B, C trois points distincts de E et le cercle-droite passant par ces points. Le seul élément de M + fixant A, B et C est l identité. Le seul élément de M fixant A, B et C est l inversion-réflexion par. Démonstration. La première assertion est un corollaire immédiat, puisque l identité est un élément de M + qui fixe A, B et C. Pour la deuxième assertion, soit φ M qui fixe A, B et C et soit γ l inversion par. Alors γ Φ M + et fixe A, B et C. Donc γ Φ = Id, donc Φ = γ 1 = γ. I.3 Le groupe hyperbolique et : On note le demi-plan supérieur ouvert et fermé : H 2 u = {z C Im(z) > 0} H 2 u = {z C Im(z) 0} { } = H 2 u R

13 I.3- Le groupe hyperbolique 13 H le groupe hyperbolique : H = { } h M h(h 2 u) = H 2 u H + le groupe hyperbolique préservant l orientation : H + = { } h M + h(h 2 u) = H 2 u Ce sont les sous-groupes constitués des éléments préservant le demi-plan supérieur du groupe de Möbius M et de son sous-groupe des éléments préservant l orientation M +. Proposition I.9 On a les isomorphismes suivants : H + = P SL(2, R) H = Z 2 H + = Z2 P SL(2, R) Pour cela commençons par établir le lemme : Lemma I.10 En notant R = R { } C et : on a les isomorphismes : { H + = z az + b cz + d {( ) a b = c d H + = { h M + h(r) = R }. } ; a, b, c, d R, ad bc 0 } ; a, b, c, d R, ad bc = 1 / ± I = GL(2, R)/ R Démonstration. Les deux derniers isomorphismes étant évidents nous montrons le premier. Identifions M + et H via l isomorphisme établi à la proposition I.5. Il nous faut alors montrer l égalité : H + = { z az + b cz + d } ; a, b, c, d R, ad bc 0 Inclusion. Soient a, b, c, d R avec ad bc 0 et φ : z az+b cz+d. Clairement φ M + et puisque a, b, c, d sont réels : φ(r) = R. Ainsi φ H +. Inclusion. Donnés deux triplets d éléments deux à deux distincts : (α, β, γ) R 3 et (δ, η, ɛ) R 3 montrons qu il existe φ : z az+b avec a, b, c, d R et ad bc 0 cz+d qui envoie (α, β, γ) sur (δ, η, ɛ). Avec la proposition I.6, puisqu un élément de H + envoie n importe quel triplet de réels sur un triplet de réels, par unicité on aura bien l inclusion recherchée. Pour cela il suffit de se restreindre au cas où (δ, η, ɛ) = (, 0, 1). Considérons selon que α 0 ou α = 0 :

14 14 Chapitre I- Transformations de Möbius Dans tous les cas : si α 0 : si α = 0 : φ 1 : z z φ 1 : z 1 z α z φ 2 : z z β φ 2 : z z 1 β α β z φ 3 : z φ 3 : z z γ γ α β β α φ 1 (α) = φ 2 φ 1 (α) = ; φ 2 φ 1 (β) = 0 1 γ 1 β φ 3 φ 2 φ 1 (α) = ; φ 3 φ 2 φ 1 (β) = 0 ; φ 3 φ 2 φ 1 (γ) = 1 Et l application φ = φ 3 φ 2 φ 1 convient. Démonstration de la proposition I.9. Soit h H + comme dans le lemme et f : C R tel que f(z) = Im(h(z)). C est une application continue donc d après le théorème des valeurs intermédiaires h envoie H 2 u sur lui-même ou sur H 2 u. Il suffit de le vérifier pour z = i. En notant h(z) = az+b avec a, b, c, d R : cz+d h(i) = ai + b ci + d = (ai + b)(d ci) c 2 + d 2 = 1 (ac + bd + i(ad bc)) c 2 + d2 donc Im(h(i)) a même signe que ad bc. Puisque : {( ) } H + a b = ; a, b, c, d R, ad bc = 1 / ± I c d alors : {( H + a = c ) b d } ; a, b, c, d R, ad bc = 1 / ± I = SL(2, R)/ ± I = P SL(2, R). Cela prouve la première assertion. Maintenant soit h H qui renverse l orientation. En considérant par exemple n importe quelle réflexion γ le long d une droite verticale γ h = h H + et h = γ h. Ainsi H se décompose en le produit semi-direct : H =< γ > H + = Z2 H + Remarque : Il apparaît dans la preuve que H préserve aussi le demi-plan supérieur fermé H 2 u ainsi que la droite réelle R.

15 I.4- Réflexions hyperboliques 15 I.4 Réflexions hyperboliques On appelle droite hyperbolique dans C : un cercle centré sur R, ou une droite verticale, c est à dire perpendiculaire à R. Proposition I.11 Par deux points distincts de H 2 u passe une et une seule droite hyperbolique. B A A B R Démonstration. Soient A, B deux points distincts de H 2 u. Premier cas : si (AB) est perpendiculaire R, c est l unique droite hyperbolique passant par A et B. Deuxième cas : sinon, la médiatrice de [A, B] intersecte R en un point O et le cercle centré en O passant par A est l unique droite hyperbolique passant par A et B. Proposition I.12 Un élément du groupe hyperbolique H envoie une droite hyperbolique sur une droite hyperbolique. Démonstration. Puisque le groupe de Möbius M est engendré par les inversions et les réflexions, transformations conformes (proposition I.2) envoyant un cercle droite en un cercle droite (proposition I.1), tout élément de M est une transformation conforme envoyant un cercle droite sur un cercle droite. Il en est donc de même pour un élément de H M. De plus les élément de H préservent la droite réelle R. Ainsi un élément de H envoie une droite hyperbolique sur une droite hyperbolique. Proposition I.13 Le sous-groupe H + du groupe hyperbolique agit transitivement sur les droites hyperboliques. Démonstration. Soient (d) et (d ) deux droites hyperboliques. Sur chacune on choisit deux triplets de 3 point distincts de la façon suivante :

16 16 Chapitre I- Transformations de Möbius Dans le cas d un cercle les deux premiers de ces points sont ses deux points d intersection avec R, le troisième est un point arbitraire du cercle. Dans le cas d une droite le premier point est l intersection de la droite avec R, le deuxième est et le troisième un point arbitraire de la droite. D après la proposition I.8 il existe un élément φ préservant l orientation du groupe de Möbius qui envoie le premier triplet sur le deuxième, et par conformité φ préserve R. Si φ ne préserve pas H 2 u on le change en sa composée avec la réflexion par R suivi d une inversion ou réflexion par (d ), pour obtenir un nouvel élément φ dans le groupe hyperbolique préservant l orientation. D après les propositions I.11 et I.12, φ H envoie (d) sur (d ). On appelle réflexion hyperbolique : une inversion le long d un cercle centré sur R, ou une réflexion le long d une droite verticale. Une réflexion hyperbolique se restreint en une transformation conforme de H 2 u. Théorème I.14 Les réflexions hyperboliques engendrent le groupe hyperbolique. De plus tout élément du groupe hyperbolique se décompose en au plus 3 réflexions. Pour cela nous aurons besoin de deux lemme géométriques : Lemma I.15 Soient P et P deux points distincts de H 2 u. Il existe une (unique) réflexion hyperbolique qui envoie P sur P. P P P P R Démonstration. Premier cas : si (P P ) est une droite horizontale. La médiatrice de [P, P ] est une droite verticale, et la réflexion par rapport à est une réflexion hyperbolique qui envoie P sur P. Deuxième cas : si (P P ) n est pas une droite horizontale. Elle intersecte alors R en un point O et O, P, P sont alignés. Soit r = OP.OP et le cercle de centre O et de rayon r. L inversion par rapport à est une réflexion hyperbolique qui envoie P sur P. Lemma I.16 Soit P un point de H 2 u et A, A deux points de R. Il existe une (unique) réflexion hyperbolique qui fixe P et envoie A sur A.

17 I.4- Réflexions hyperboliques 17 Démonstration. Soit O R ; il existe un cercle C centré en O et passant par P (x P, y P ). Soient x et x A les abscisses respectives de O et de A. Alors l image B par l inversion γ C est sur R et : { B = si O = A (x B x) (x A x) = (x P x) 2 + yp 2 si O A où x B est l abscisse de B lorsque O A. Ainsi soit B =, soit : x B = f(x) = x + (x P x) 2 + y 2 P x A x = x(x A 2x P ) + x 2 P + y2 P x A x = f (x) = (x A x P ) 2 + y 2 P (x A x) 2 dont on déduit le tableau de variation de x B = f(x) en fonction de l abscisse x du centre O de C : x 0 x A + f (x) x P x A f(x) 2x P x A Ainsi f réalise une bijection de R {x A } sur R {2x P x A }. De plus lorsque O = A, γ C (A) = et la réflexion par la droite verticale passant par P envoie A sur le point B R d abscisse x B = 2x P x A. Ainsi quelque soient P H 2 u, et deux points A, A de R, il existe une (unique) réflexion hyperbolique qui fixe P et envoie A sur A. Démonstration du Théorème I.14. Soit h un élément du groupe hyperbolique, et P H 2 u. Soit h fixe P, soit on compose h par la réflexion hyperbolique qui envoie P sur h(p ) (Lemme I.15). Dans la suite on supposera que h fixe P. Soit (d) une droite hyperbolique passant par P ; elle intersecte R en deux points A, B. Soit h fixe A soit on compose h par la réflexion hyperbolique qui fixe P et envoie h(a) sur A pour obtenir un élément de H qui fixe P et A (lemme I.16). Dans la suite on suppose que h fixe P et A. D après les propositions I.11, I.12 et puisque h préserve R, h préserve (d) et fixe P, A et B. Puisque H M, d après le corollaire I.8, h est soit l identité soit la réflexion hyperbolique le long de (d), dans quel cas en composant h par cette réflexion on obtient l identité. Ainsi h est la composée d au plus 3 réflexions hyperboliques.

18 18 Chapitre I- Transformations de Möbius

19 Chapitre II Le plan hyperbolique Nous établissons les modèles conformes du plan hyperbolique, le modèle du demiplan supérieur et le modèle du disque de Poincaré. Nous établissons les propriétés géométriques du plan hyperbolique, en particulier qu il s agit d une géométrie non euclidienne, c est à dire d une variété riemannienne simplement connexe complète, homogène et isotrope non isométrique au plan euclidien. II.1 Le modèle du demi-plan supérieur On munit le demi-plan supérieur H 2 u = {z C Im(z) > 0} de la métrique riemannienne donnée par la forme différentielle : ds 2 = 1 y 2 ( dx 2 + dy 2) H 2 u est alors un espace métrique géodésique. Quelles sont ses géodésiques? ses isométries? II.1.1 Les géodésiques de H 2 u Proposition II.1 Les droites verticales sont des géodésiques de H 2 u. Ce sont les seules reliant géodésiques reliant deux points distincts situés sur une droite verticale. Démonstration. Donnés deux points A = a + iy 0 et B = a + iy 1 avec y 0 < y 1, on peut considérer le chemin vertical de A à B : C : [y 0, y 1 ] H 2 u t a + it Alors : lgr(c) = ds = y1 C y 0 19 dy y = ln ( y1 y 0 )

20 20 Chapitre II- Le plan hyperbolique Considérons un autre lacet C 1 de A à B : l(t) = (x(t), y(t)) pour t [t 0, t 1 ] : t1 (dx ) 2 1 lgr(l) = + t 0 y dt ( ) 2 dy t1 1 dt dt ( ) t 0 y dy dt dt [ln(y(t)] t 1 t 0 = ln ( ) (*) L inégalité est stricte lorsque t tel que dx (t) > 0, par continuité. dt (**) Car on peut couper l pour obtenir un sous-chemin l de A à B avec dy dt > 0, dans quel cas l inégalité est stricte. Ainsi le segment vertical [A, B] est l unique géodésique de A à B. Clairement, puisqu elles laissent invariante la forme différentielle : ( y1 y 0 ) Proposition II.2 Toutes les réflexions par des droites verticales sont des isométries de H 2 u. Montrons que les inversions par un cercle centré en R sont aussi des isométries de H 2 u. Proposition II.3 Toute inversion le long d un cercle centré sur R est une isométrie de H 2 u. Démonstration. Soit l inversion γ par le cercle de centre a R et de rayon r : C C z r 2 1 z a + a ou R 2 R 2 (x, y) (u(x, y); v(x, y)) avec : u(x, y) = a + r 2 (x a) (x a) 2 + y 2 ; v(x, y) = r 2 y (x a) 2 + y 2 On pose Q = ((x a) 2 + y 2 ) 2 et on calcule la forme différentielle 1 v 2 (du2 + dv 2 ) : u x (x, y) = y2 (x a) 2 r2 Q v 2y(x a) (x, y) = r2 x Q ; ; u 2y(x a) (x, y) = r2 y Q v y (x, y) = (x a)2 y 2 r2 Q

21 II.1- Le modèle du demi-plan supérieur 21 On remarque que : u x = v y Ainsi : et u y = v x ; alors : ( ) 2 ( ) 2 u u du 2 =.dx 2 +.dy u x y x. u y.dx.dy ( ) 2 ( ) 2 v v dv 2 =.dx 2 +.dy v x y x. v y.dx.dy ( ) 2 u ( = du 2 + dv 2 = dx 2 + dy 2) ( ) 2 u ( + dx 2 + dy 2) x y ( ( u ) 2 ( ) ) 2 u (dx = dy 2) x y = r4 Q 2 ( (y 2 (x a) 2) 2 + 4y 2 (x a) 2 ) (dx 2 + dy 2) = r4 ( y 2 + (x a) 2) 2 ( dx 2 + dy 2) Q 2 = r4 ( dx 2 + dy 2) Q du 2 + dv 2 = ((x a)2 + y 2 ) 2 r 4 v 2 r 4 y 2 ((x a) 2 + y 2 ) 2 (dx 2 + dy 2) = dx2 + dy 2 y 2 la forme différentielle est laissée invariante par une inversion γ de cercle centré sur R. Ainsi : lgr(γ(l)) = ds = ds = lgr(l) γ((l) L inversion dans un cercle centré en R est une isométrie de H 2 u. l Corollaire II.4 Le groupe hyperbolique H agit par isométrie sur H 2 u. Puisque le groupe hyperbolique agit transitivement sur l ensemble des droites hyperboliques (Proposition I.13), dont les droites verticales qui sont des géodésiques de H 2 u (Proposition II.1) et qu une isométrie envoie une géodésique sur une géodésique : Corollaire II.5 Les droites hyperboliques sont des géodésiques de H 2 u. Réciproquement : Théorème II.6 Les géodésiques de H 2 u sont les droites hyperboliques.

22 22 Chapitre II- Le plan hyperbolique γ(p ) P Q γ(q) R Démonstration. Soient P et Q deux points distincts de H 2 u ; par P et Q passe une unique droite hyperbolique C (Proposition I.11). Procédons par l absurde en supposant qu il existe une autre géodésiques (d) passant par P et Q. Envoyons la droite hyperbolique C sur une droite verticale (si ce n est déjà le cas) isométriquement en appliquant l inversion γ par un cercle centré sur R de rayon double et qui est tangent à C en un point de R (et sinon en appliquant l identité). Mais alors γ((d)) est une autre géodésique passant par γ(p ) et γ(q) qui n est pas une droite verticale. Cela contredit la Proposition II.1. Ainsi la droite hyperbolique C est l unique géodésique passant par P et Q. II.1.2 Le groupe d isométrie de H 2 u Théorème II.7 Le groupe hyperbolique H est le groupe d isométrie de H 2 u. Afin de prouver le théorème nous établissons d abord trois lemmes. Lemma II.8 Le groupe hyperbolique agit transitivement sur : { } (x, (d)) x H 2 u et (d) est une géodésique de H 2 u. Démonstration. D après le Théorème II.6 et la Proposition I.11 une géodésique de H 2 u est uniquement déterminée par un point de H 2 u et un point de R. Soit (P, (d)) et (P, (d )) deux couples point/géodésique, et Q (d) R, Q (d ) R. D après les lemmes I.15 et I.16 il existe un élément du groupe hyperbolique qui envoie P, Q sur P, Q. D après la Proposition I.12 cet élément envoie (P, (d)) sur (P, (d )). Dans la suite on note d(.,.) la distance hyperbolique et d E (.,.) la distance euclidienne. Lemma II.9 Soient A, B, C trois points de H 2 u sur une droite euclidienne horizontale. Alors : d(a, B) = d(b, C) d E (A, B) = d E (B, C).

23 II.1- Le modèle du demi-plan supérieur 23 Démonstration. Soient A(a + i.y 0 ) et B(b + i.y 0 ). Alors l unique droite hyperbolique passant par A et B a pour centre O ( a+b, 0). Puisque H Isom(H 2 2 u) (Corollaire II.4) on peut supposer en appliquant une translation suivie d une homothétie que c est le cercle C centré en l origine O(0, 0) et de rayon 1. Ce faisant, remarquons que l angle ÂOB demeure inchangé. Soit la doute verticale passant par O et I H 2 u le point à l intersection de et C. Puisque la réflexion par est une isométrie de H 2 u qui envoie A sur B et fixe I, on a d(a, B) = 2.d(I, B). Notons x 0 l abscisse de B. I A B O Le demi-cercle C H 2 u a pour équation y = 1 x 2 = f(x). Alors : d(a, B) = 2 x0 0 x 0 1 x0 1 + f (x) f(x) 2 dx = 2 0 dx 1 x 2 On effectue le changement de variable x = cos θ, alors dx = sin θ.dθ : d(a, B) = 2 arcos(x0 ) arcos(0) sin θ dθ = 2 1 cos 2 θ arcos(x0 ) arcos(0) dθ sin θ En effectue le changement de variable x = tan θ, alors dθ = 2 cos 2 θ. dx : 2 tan(arcos(x0 )/2) dx d(a, B) = 2 tan(arcos(0)/2) x = 2 ln tan(arcos(x 0)/2) tan(arcos(0)/2) = 2 ln tan(arcos(x 0)/2) tan(π/4) ( ( )) arcos(x0 ) = 2 ln tan 2 ( ( )) π ÂOB = 2 ln tan 4 Ainsi d(a, B) ne dépend que de l angle ÂOB. Quant à la distance euclidienne elle égale avant transformation : d E (A, B) = 2 OA sin ÂOB 2.

24 24 Chapitre II- Le plan hyperbolique Ainsi, l isométrie appliquée laissant l angle ÂOB inchangé, pour 3 points A, B, C alignés sur une droite horizontale : d(a, B) = d(a, C) d E (A, B) = d E (A, C) Lemma II.10 Une isométrie de H 2 u qui fixe point par point une géodésique C et préserve les deux composantes connexes de H 2 u C est l identité. Démonstration. Soit φ une isométrie fixant point par point une géodésique C de H 2 u. Quitte à conjuguer par un élément préservant l orientation du groupe hyperbolique (Proposition I.13 et Corollaire II.4) on peut supposer que C est un cercle euclidien centré en l origine O(0, 0) et de rayon r > 0. Soit la droite verticale passant par O, γ D la réflexion hyperbolique par et A le point de H 2 u intersection de et C ; γ (A) = A. Soit B un point de situé dans l intérieur de H 2 u C et la droite horizontale (d 0 ) d équation y = y 0 passant par son image φ(b). Finalement soient P, P les deux points d intersection de C et (d 0 ) ; P = γ (P ) et P, P sont laissés invariants par φ. Alors, avec le lemme précédent appliqué à φ(b), P et P : d(b, P ) = d(γ (B), γ (P )) = d(b, P ) = d(φ(b), P ) = d(φ(b), P ) = d E (φ(b), P ) = d E (φ(b), P ) = φ(b) Or B et φ(b) sont tous deux situés sur, intérieurs à C et de plus d(a, B) = d(a, φ(b)). Donc φ(b) = B : B est fixé par φ. Mais puisque φ est une isométrie qui fixe deux point distincts de la géodésique, φ préserve (Proposition I.11) et plus encore fixe chaque point de (en effet un point de est uniquement déterminé par ses distances à A et B). Pour la même raison, φ fixe point par point tous les segments géodésiques reliant deux points de et C. En particulier φ fixe tous les points de la zone hachurée : r O r

25 II.2- Propriétés géométriques 25 Le même argument appliqué aux droites verticales intersectant la zone hachurée en au moins 2 points montre que φ fixe point par point la bande verticale : { z H 2 u Re(z) ] r, +r[ } Or par tout point de H 2 u passe une géodésique intersectant cette bande (en une infinité de points) : donc φ fixe tout point de H 2 u : φ est l identité. Démonstration du Théorème II.7. Avec le Corollaire II.4 il s agit de montrer que toute isométrie de H 2 u est un élément de H. On considère une isométrie φ de H 2 u. Donnés un point P et une géodésique droite verticale (d) passant par P, d après le lemme II.8 on peut composer par un élément de H pour obtenir une isométrie fixant P et préservant (d). Elle fixe ou échange les 2 points limites (d) R de (d). En composant si nécessaire par l inversion par le cercle centré sur R orthogonal en P à la droite (d), on obtient une isométrie ψ = γ φ avec γ H qui préserve (d), fixe P ainsi que les 2 point limites de (d). Alors nécessairement ψ fixe (d) point par point : en effet un point de (d) est uniquement déterminé pas sa distance à P et sa position relative (au dessus ou au dessous) à P. L isométrie ψ est continue et donc préserve ou échange les 2 composantes connexes de H 2 u (d). En composant éventuellement par la réflexion par (d) on suppose que ψ conserve ces composantes connexes. D après le lemme précédent ψ est donc l identité. Donc φ est composée d éléments de H, donc φ H. II.2 Propriétés géométriques Le modèle du demi-plan supérieur du plan hyperbolique est H 2 u = {z C Im(z) > 0} muni de la métrique riemannienne ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ). Alors : Les points sont les éléments de H 2 u. Les géodésiques sont les droites hyperboliques. Par deux points distincts passe une et une seule géodésique. Le groupe d isométrie est le groupe hyperbolique. La structure riemanienne de H 2 u est homogène et isotrope. H 2 u est un espace métrique complet. H 2 u est une variété riemannienne de dimension 2, simplement connexe. Par un point de H 2 u passe une infinité de géodésiques n intersectant pas une géodesique donnée.

26 26 Chapitre II- Le plan hyperbolique géodésique donnée P i.e. Le plan hyperbolique est une géométrie non-euclidienne de dimension 2. Cette géométrie est notée, indépendamment de tout modèle, H 2 et appelée géométrie hyperbolique 2-dimensionnelle. II.2.1 Homogénéité et isotropie de H 2 u Soient X une variété riemannienne réelle de dimension 2 et G son groupe d isométrie. On dit que X est homogène lorsque : G agit transitivement sur X, i.e. x, y X, g G tel que y = g(x). Si G agit transitivement sur X, tous les stabilisateurs des points sont conjugués dans G, i.e. si G x = {g G g(x) = x} est le stabilisateur (ou sous-groupe d isotropie) de x X, alors x, y G, h G tel que G y = h.g x.h 1 (il suffit de prendre h G tel que y = h(x)). On dit que X est homogène et isotrope lorsque X est isotrope et le stabilisateur de tout point de X est isomorphe au groupe orthogonal O(2, R) (le groupe des matrices M, 2 2 à coefficients réels telles que t M M = Id). Exercice. X est homogène et isotrope si et seulement si G = Isom(X) agit transitivement sur {(p, (d)) p X et (d) est une géodésique passant par P }. Ainsi le Lemme II.8 montre non seulement que H 2 u est homogène mais aussi qu il est isotrope. Intuitivement : homogène : la géométrie est la même en tout point, isotrope : la géométrie est la même dans toutes les directions Donnons une preuve directe de l isotropie de H 2 u : Proposition II.11 Le stabilisateur d un point de H 2 u est isomorphe à O(2, R). Démonstration. Toute isométrie de H 2 u est d une des formes : Préservant l orientation : z az + b cz + d

27 II.3- Propriétés géométriques 27 avec a, b, c, d R et ad bc = 1. Renversant l orientation : z αz + β γz + δ avec α, β, γ, δ R et αδ βγ = 1. Puisque H 2 u est homogène (Lemme II.8) il suffit de s intéresser au stabilisateur G i du point i. L application : ai + b ci + d αi + β γi + δ = i a = d, b = c = a 2 + b 2 = 1 = i α = δ, β = γ f : G i O(2, R) ai + b bi + a = α 2 + β 2 = 1 ( ) a b, a b a 2 + b 2 = 1 ( ) αi + β α β βi α, α β α 2 + β 2 = 1 est bijective, et il est facile de vérifier que f est un morphisme de groupe, donc un isomorphisme. II.2.2 Complétude de H 2 u Un espace métrique est complet lorsque toute suite de Cauchy y est convergente. Lemma II.12 Dans un espace métrique (E, d), si il existe r > 0 tel que x E, la boule fermée B(x, r) = {y E d(x, y) r} est compacte, alors E est complet. Démonstration. Soit (x n ) une suite de Cauchy. Pour ε = r, n 2 0 N tel que n n 0, d(x n, x n0 ) < r, donc (x 2 n) n n0 B(x n0, r) qui est compact, donc (x n ) a une valeur d adhérence dans B(x n0, r), et donc converge. Proposition II.13 H 2 u muni de sa métrique riemannienne est un espace complet. Démonstration. Les boules de H 2 u sont des boules euclidiennes décentrées (démonstration formelle au chapitre suivant), dont l adhérence dans H 2 u (muni de la topologie métrique) est une boule euclidienne fermée ( décentrée et à distance non-nulle de R), et donc compacte. Avec le lemme précédent, H 2 u est complet.

28 28 Chapitre II- Le plan hyperbolique II.3 Le modèle du disque conforme Le modèle du disque conforme, ou modèle de Poincaré 1 est un autre modèle du plan hyperbolique. Considérons la transformation de Möbius : ϕ : C C z z i z + i C est une application conforme (Proposition I.2) et bijective. Proposition II.14 L application ϕ envoie H 2 u sur le disque D 2 centré en l origine et de rayon 1 et H 2 u sur son intérieur D 2. Démonstration. L application ϕ est un homographie elle envoie donc la droite R sur un cercle ou droite (Proposition I.1). Or un simple calcul donne : ϕ(0) = 1 ; ϕ(1) = i ; ϕ( 1) = i ; ϕ( ) = 1. Ainsi l image de R par ϕ est le cercle unitaire C. Alors par continuité de ϕ, H 2 u est envoyé sur l intérieur D 2 ou sur l extérieur de C. Or ϕ(i) = 0, donc ϕ(h 2 u) = D 2. On peut noter que l application induite ϕ 1 C projection stéréographique de pôle i. : C R n est rien d autre que la Proposition II.15 Le disque ouvert D 2 muni de la métrique riemannienne : est isométrique à H 2 u. ds 2 = dz 2 (1 z 2 ) 2 Démonstration. L application ϕ envoie bijectivement H 2 u sur D 2. C est une homographie et donc une application différentiable, tout comme sa bijection réciproque : z = ϕ 1 (Z) = i 1 + Z 1 Z ϕ réalise donc un difféomorphisme de H 2 u sur D. Ainsi D 2 hérite d une structure riemannienne pour laquelle ϕ est une isométrie ; il nous suffit donc de déterminer sa métrique riemanienne. 1. Improprement, les deux modèles conformes, le modèle du demi-plan supérieur et le modèle du disque conforme, étant tous deux dus à Henri Poincaré, pour l étude des groupes dits fuchsines, avec pour objectif la résolution des équations différentielles à coefficients algébriques

29 II.3- Le modèle du disque conforme 29 La métrique riemannienne de H 2 u est donnée par la forme différentielle : En notant Z = ϕ(z) : Par ailleurs : AInsi : ds 2 = 1 y 2 ( dx 2 + dy 2) = dz 2 Im(z). dz dz = dϕ (z + i) (z i) (z) = = dz (z + i) 2 dz (z + i)2 = dz = 2i dz = dz = 2i (1 Z) 2 = dz 2i 2i (z + i) 2 ( i 1 + Z 1 Z + i Im(z) = z z = 1 + Z i 1 Z ( i) 1 + Z i 1 Z = 1 + Z 1 Z Z 1 Z 1 ( ) = (1 + Z)(1 Z) + (1 Z)(1 + Z) 1 Z ( 2 ) 1 ZZ = 2 1 Z 2 ds 2 = dz 2 Im(z) = dz Z 1 Z ( 1 ZZ ) 2 = dz 2 ( ) 2 = 1 ZZ ) 2 dz 2 (1 Z 2 ) 2 qui donne la métrique riemannienne de D 2 recherchée. Le disque unité muni de cette structure riemannienne est le modèle du disque conforme de H 2, que l on notera H 2 d. Par conformité de ϕ ses géodésiques sont les intersections avec le disque unitaire des cercles et droites perpendiculaires à son bord.

30 30 Chapitre II- Le plan hyperbolique

31 Chapitre III Géométrie dans le plan hyperbolique Nous faisons maintenant un peu de géométrie dans le plan hyperbolique, en nous intéressant à ses cercles, leur circonférence, et l aire d un disque, et ses triangles, aire et somme des angles intérieurs. Nous établissons notamment une propriété fondamentale de la géométrie hyperbolique : la somme des angles intérieurs à un triangle est strictement inférieure à π : plus précisément elle est égale à π moins son aire. III.1 Les cercles hyperboliques On appelle cercle hyperbolique du plan hyperbolique l ensemble des points équidistants, pour la métrique hyperbolique, à un point donné, dénommé son centre. Quels sont alors les cercles hyperboliques? Dans le modèle du demi-plan supérieur, on considère un point J H 2 u d abscisse nulle, et A et B deux points de la droite verticale : x = 0 tels que J soit le milieu (au sens hyperbolique) du segment [A, B]. On considère le cercle euclidien C de diamètre [A, B], et Γ la géodésique hyperbolique centrée en l origine et passant par J. A J C B Γ 31

32 32 Chapitre III- Géométrie dans le plan hyperbolique Alors l inversion par Γ fixe J, envoie A sur B et préserve C. On se propose de montrer que C est en fait le cercle au sens hyperbolique centré en J, et passant par A, i.e. : C = { M H 2 d(j, M) = d(a, J) } Lemma III.1 Toute géodésique passant par J intersecte C orthogonalement. Démonstration. On se donne Λ une géodésique passant par J ; on peut supposer que Λ. Elle instersecte le cercle C en deux points. Premièrement on remarque que lorsque 2 cercles s intersectent en deux points ils découpent en ces deux points des angles égaux : en effet la réflexion le long de la médiatrice de ces deux points préservent les deux cercles et permute leurs points d intersection. Ainsi Λ et C découpent des angles θ 1 et θ 2 (avec θ 1 + θ 2 = π). Soit P l un de ces deux points d intersection. Deuxièmement on considère l inversion par Γ ; elle fixe J, préserve et C, envoie Λ sur Λ et P sur P, comme dans la figure suivante. Λ C A J P θ 1 θ 2 Λ θ B P 1 θ θ 2 Γ Par conformité les angles θ 1 et θ sont égaux. Troisièmement, la réflexion par envoie Λ sur Λ et préserve C, et donc θ = θ 2. On a donc θ 1 + θ 2 = 2 θ 1 = π = θ 1 = θ 2 = π 2. Proposition III.2 C est un cercle hyperbolique de centre J. Démonstration. Soit M un point de C. On doit montrer que d(j, M) = d(j, A). On considère l inversion γ par une géodésique Ω qui fixe J et envoie M sur (Proposition II.8). D après le lemme précédent Ω intersecte le cercle C orthogonalement et donc γ préserve C. Donc nécessairement M est envoyé sur A ou B. Puisque γ est une isométrie : d(j, A) = d(j, B) = d(j, M).

33 III.2- Circonférence d un cercle, aire d un disque 33 Ainsi les cercles hyperboliques sont, dans les deux modèles conformes, des cercles euclidiens, et réciproquement. Le centre d un cercle au sens hyperbolique est cependant décentré par rapport au centre euclidien. Les diamètres des cercles hyperboliques sont tous les segments géodésiques perpendiculaires en leurs deux extrémités au cercle. III.2 Circonférence d un cercle, aire d un disque Dans le modèle du demi-plan supérieur on considère un cercle centré en i et de rayon R. Son image par ϕ dans le modèle du disque conforme est le cercle euclidien C centré en l origine et de rayon r. I) Déterminons dans le modèle du disque conforme la distance hyperbolique R de l origine O à un point à distance euclidienne r. La métrique hyperbolique dans le modèle du disque conforme : ds = dz 1 z 2 étant invariante par rotation de centre O, Il est suffisant de calculer la longueur hyperbolique de l arc horizontal : c : [0, r] D 2 t (t, 0) C est un segment géodésique. Ainsi : dz = dx + i dy = dz 2 = dx 2 + dy 2 = ds = 2 dx 2 + dy 2 1 (x 2 + y 2 ) x(t) = t, y(t) = 0 = dx(t) = dt, dy(t) = 0 = ds = 2 dt 1 t 2 r dt R = d(o, P ) = ds = 2 c 0 1 t [ 2 1 r dt = t r dt r = 0 1 t + dt t [ ( )] r 1 + t = ln = ln 1 t 0 r ] dt 1 + t ( 1 + r 1 r )

34 34 Chapitre III- Géométrie dans le plan hyperbolique II) Circonférence d un cercle. On a une paramétrisation de C en coordonnées polaires dans D 2 : x(θ) = r cos(θ) y(θ) = r sin(θ) = dx(θ) = r sin(θ) dθ dy(θ) = r cos(θ) dθ = ds = 2r 1 r 2 dθ D où l expression de la longueur au sens hyperbolique de C en fonction du rayon euclidien r : 2π 2r l = 0 1 r dθ = 4π r 2 1 r 2 Que l on exprime alors en fonction du rayon hyperbolique R : ( ) 1 + r R = ln r = er 1 1 r 1 + e R Ainsi : r 1 r 2 = e R 1 ( 1 + e R e R 1 ) ( e R + 1 ) ( ) e R 2 = 1 (1 + e R ) 2 (e R 1) e R = e2r 1 4 e = er e R = 1 R 4 2 sinh(r) = l = 2π sinh(r) Ainsi on obtient l expression de la circonférence d un cercle en fonction de son rayon, au sens hyperbolique : Proposition III.3 La circonférence d un cercle hyperbolique de rayon R est 2π.sinh(R). III) Aire d un disque. A = R 0 R 2π sinh(x)dx = 2π sinh(x)dx 0 = 2π [cosh(x)] R 0 ( ) e R + e R = 2π 1 2 (( e R/2 e R/2) ) 2 = 2π = 4π sinh 2 ( R 2 2 ) Proposition III.4 L aire d un disque de rayon R est : 4π sinh 2 ( R 2 ).

35 III.3- Les triangles et leurs angles intérieurs 35 III.3 Les triangles et leurs angles intérieurs Proposition III.5 La somme des angles intérieurs d un triangle est inférieure à π. De plus donnés α, β, γ R + tels que α + β + γ < π, il existe un triangle ayant pour angles α, β, γ. Démonstration. Dans le modèle du demi-plan supérieur. Donné n importe quel triangle il existe une isométrie envoyant l un de ses côtés sur une droite verticale (Proposition II.8). Aussi on considère des triangles dont l un des côtés est sur une droite verticale. On considère une géodésique D intersectant avec l angle α. Il existe une infinité de géodésiques intersectant avec l angle β et formant avec et D un triangle. On note {D x x I} la famille de toutes ces droites. β presque euclidien D β β α D x D 0 θ x 0 Quand x décrit l intérieur ]0, 1[ de I, l angle entre D et D x varie continument de 0 à π (α +β) (exclus), en effet quand x 1, le triangle est de plus en plus semblable à un triangle euclidien. Alors : 1- Si α, β, γ sont les angles intérieurs d un triangle alors α + β + γ < π. 2- D après le Théorème des valeurs intermédiaires, donnés α, β, γ R + vérifiant α + β + γ < π, il existe un triangle ayant α, β, γ comme angles intérieurs. Corollaire III.6 Dans un polygône à n côtés, la somme des angles intérieurs est strictement inférieure à (n 2)π. Démonstration. Il suffit de procéder par récurrence sur le nombre de côtés, en décomposant un (n + 1)-gône en un n-gône et un triangle. Schématiquement : α 2 α 2 α 1 α 1 β 2 β 2 β 1 β 1

36 36 Chapitre III- Géométrie dans le plan hyperbolique La somme de tous leurs angles intérieurs demeure inchangée, et le résultat découle alors de la proposition précédente. Plus intéressant est le corollaire suivant : à isométrie près les triangles sont caractérisés par leurs angles intérieurs, ce qui contraste avec le cas euclidien. Corollaire III.7 Deux triangles sont congruents si et seulement si ils ont mêmes angles intérieurs. Démonstration. Il est clair que deux triangles congruents ont mêmes angles intérieurs. Montrons la réciproque. Donnés deux triangles ABC et A B C de mêmes angles intérieurs α, β, γ aux sommets respectifs A, A, B, B et C, C. Une isométrie permet d envoyer A en A, et les demi-droites [A B ) et [A C ) respectivement sur [AB) et [AC) (en considérant les isométries données par les Lemmes I.15, I.16, éventuellement suivies d une réflexion hyperbolique le long de la droite (AB)). A cette isométrie près on se retrouve alors dans l un des cas suivants, schématiquement : A α B β π β B B β π β I γ π γ γ α γ π γ A C C Remarquer que dans chaque cas, les angles découpés étant égaux : Dans le premier cas : C B = B si et seulement si C = C Si B B et C C : le quadrilatère BB C C a pour somme de ses angles intérieurs 2π ; c est impossible d après le corollaire précédent. = B = B et C = C. Dans le second cas : Si B B et C C : le triangle BB I a une somme de ses angles intérieurs supérieure à π ; c est impossible d après la proposition précédente. = B = B et C = C. Ainsi une isométrie envoie A B C sur ABC : les triangles sont congruents. Remarquons que le même schéma de preuve qu au Corollaire III.6 montre alors que les n-polygones sont aussi à isométrie près caractérisés par les n-uplets, à permutations cycliques et inversion près, de leurs angles intérieurs. B β β γ C

37 III.4- Aire d un triangle 37 III.4 Aire d un triangle Nous avons vu l importance de la notion d angles intérieurs pour un triangle, puisqu ils caractérisent les triangles congruents dans le plan hyperbolique. En particulier, à contrario du cas euclidien, les angles intérieurs d un triangle déterminent son aire. Plus encore, on a en fait le résultat remarquable suivant : Théorème III.8 Un triangle a pour aire π moins la somme de ses angles intérieurs. La preuve, célèbre, que nous en donnons est due à Gauss. On déduit aussi immédiatement en corollaire l expression de l aire d un polygône en fonction de ses angles intérieurs : Corollaire III.9 L aire d un polygône à n côtés est (n 2)π moins la somme de ses angles intérieurs. Démonstration. La preuve s obtient par une récurrence sur le nombre de côtés comme dans le corollaire III.6. Nous nous consacrons dans la suite de cette partie à la preuve du Théorème III.8. On appellera triangle idéal, la réunion de trois géodésiques infinies reliant trois sommets à l infini (c est à dire sur H 2 u = R dans le modèle du demi-plan supérieur, ou sur H 2 d = B dans le modèle du disque conforme). Lemma III.10 Tous les triangles idéaux sont congruents et ont pour aire π. Démonstration. Dans le modèle du demi-plan supérieur, tout triangle idéal peut être transfomé par isométrie en un triangle idéal de sommets 1, 1 et. 1 1 En effet une inversion par un cercle de centre l un de ses sommets l envoie sur un triangle idéal ayant pour sommet, suivie d une translation horizontale et d une homothétie centrée en l origine, on l envoie isométriquement sur le triangle idéal de sommets 1, 1,. Tous les triangles idéaux sont donc congruents.

38 38 Chapitre III- Géométrie dans le plan hyperbolique Le domaine D délimité par le triangle idéal de sommets 1, 1, est : { D = (x, y) R 2 1 x 1 ; } 1 x 2 y La métrique étant ds 2 = 1 y 2 (dx 2 + dy 2 ) = ds 2 x + ds 2 y, la différentielle d aire est donnée dans le modèle du demi-plan supérieur par : L aire du triangle idéal est donc : A = da = ds x ds y = dx y dy y = 1 dx dy y2 D da = x 2 On effectue le changement de variable x = sin θ : 1 1 dx dy dx = y2 1 1 x 2 = A = π 2 π 2 cos θ dθ cos θ = π On appelle triangle à deux tiers idéal un triangle dont au moins 2 sommets sont sur le bord H. On appelle sommet réel d un triangle à deux tiers idéal, son sommet, s il en est, ne se trouvant pas sur le bord. Lemma III.11 Deux triangles à deux tiers idéaux sont congruents si et seulement si ils ont même angle intérieur en leur sommet réel. Démonstration. L implication directe étant évidente on montre la réciproque. Soient ABC et A B C deux triangles à deux tiers idéaux ayant pour sommets réels respectivement A et A. Après avoir composé par une isométrie on peut supposer que A = A. On compose alors par une isométrie envoyant la demi-droite [AB) sur [A B ). Alors, par égalité des angles au sommet A = A, les triangles ABC et A B C sont soit confondus soit images l un de l autre par la réflexion d axe (AB). Considérons un triangle à deux tiers idéal ayant un sommet réel d angle intérieur π θ (θ [0, π]). On peut alors définir l application A qui à un triangle à deux tiers idéal associe son aire A(θ) ; l application est bien définie d après les deux lemmes précédents, et est continue. Lemma III.12 A(θ) = θ.

39 III.4- Aire d un triangle 39 Démonstration. On se place dans le modèle du disque conforme H 2 d. Premièrement A est une application additive, i.e. A(θ 1 + θ 2 ) = A(θ 1 ) + A(θ 2 ). Pour voir cela, on considère les deux triangles à deux tiers idéaux ABJ et BB J, d angle au sommet réel θ 1 et θ 2. Les figures illustrent la construction effectuée : B B J O A J O A θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 A B A B On considère les triangles à deux tiers idéaux OAB et OA B ; ils ont même angle au sommet réel et donc même aire. Ainsi : A(θ 1 ) + A(θ 2 ) = A (AJB) + A (BJB ) = A (AOB) + A (JOB ) = A (A OB ) + A (JOB ) = A (JA B ) = A(θ 1 + θ 2 ) Deuxièmement, l application A est additive sur [0, π], elle est donc aussi Q- linéaire. Puisque A est continue, par densité de Q dans R, l application A est R-linéaire (Exercice standard), au sens où α R tel que pour tout x [0, π], A(x) = α x. Par ailleurs l aire d un triangle idéal est A(π) et égal à π (Lemme III.10). Ainsi α = 1 et donc pour tout θ [0, π], A(θ) = θ. Démonstration du Théorème III.8. On considère un (vrai) triangle ABC d angles intérieurs α, β, γ. On prolonge ses côtés en des demi-géodésiques pour obtenir un triangle idéal A B C comme dans la figure suivante :

40 40 Chapitre III- Géométrie dans le plan hyperbolique A B A α B β γ C C Alors d après les Lemmes III.10 et III.12 : A (ABC) = A (A B C ) A (A AC ) A (C CB ) A (B BA ) = π A(α) A(β) A(γ) = π (α + β + γ)

41 Chapitre IV Classification des isométries IV.1 Compactification de H 2 Considérons le modèle du disque conforme du plan hyperbolique, muni de son bord H 2 d = H 2 d { H2 d } D2. On le munit de la topologie induite par la topologie euclidienne. Sur son intérieur H 2 d elle coïncide avec la topologie métrique hyperbolique de H 2 d (puisque chaque boule euclidienne contient une boule hyperbolique et réciproquement, cf. Chap. 3). Via la bijection conforme (Proposition II.14) : ϕ : H 2 u D 2 z z i z + i H 2 u = {z C Im(z) 0} { } hérite d une topologie qui fait de ϕ un homéomorphisme et de H 2 u un espace compact ; cette topologie coïncide sur l intérieur H 2 u avec la topologie induite par la topologie euclidienne ainsi qu avec la topologie métrique hyperbolique. La compactification du plan hyperbolique H 2 s obtient aussi intrinsèquement : le bord H 2 est défini comme l ensemble des classes d équivalence des rayons géodésiques par la relation d équivalence : rester à distance bornée. La topologie de H 2 = H 2 H 2 est la topologie engendrée par les cônes ouverts, c est à dire par les intérieurs des domaines délimités par deux rayons géodésiques issus d un même point. On peut vérifier que dans les modèles du disque conforme et du demi-plan supérieur, la compactification et sa topologie coïncident avec celles précédemment définies. 41