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1 Exercice 1: Préciser les racines carrées des nombres complexes suivants: 6+8i, 8i, 5-1i, 10-4i 6. Exercice : Résoudre dans les équations: 1/ z²+z+5=0 / 4z²+1z+5=0 3/ z²-4iz+5=0 4/ z²+(6-i)z++6i=0 5/ (+i)z²+(1-7i)z-5=0 6/ (1+3i)z²-5(1+i)z-4+8i=0 Exercice 3: 1/ trouver les nombres complexes z tells que z²+(1+i)z+i=0. / en déduire les solutions de : a) z²+(1-i)z-i=0 b) 1+(1+i)z+iz²=0 c) z 4 +(1+i)z²+i=0 Exercice 4: Soit un nombre réel donné appartenant à l'intervalle ], [. 1/ résoudre dans l'équation: (z²-z)cos²+1=0. / donner en fonction de le module et un argument de chaque solution. Exercice 5: 1/ soit un élément de ; factoriser ²-i-1. / résoudre dans l'équation (E): z²-(+i)z+i 3 =0. 3/ on note le module de et un de ses arguments. Calculer le module et un argument de chacune des solutions de (E) en fonction de et. Exercice 6: 1/ résoudre dans l'équation (E): z²-(3+i)z+(1+i)=0. / résoudre dans l'équation X 4 -(3+i)X²+(1+i)=0. Exercice 7: Déterminer les racines cubiques des nombres complexes: -8i, -+i, 1 i 3. 1 i 3 Exercice 8: ( 1 i ) Trouver les racines quatrièmes de. 3 i Exercice 9: a) déterminer les racines quatrièmes de -i3. b) en déduire cos 1 et sin1. Page 1

2 Exercice 10: on considère l'équation d'inconnue complexe (E) : z 3 +5z²+11z+15=0. 1) montrer qu'il existe deux réels b et c tel que pour tout complexe z: z 3 +5z²+11z+15= (z+3)(z²+bz+c). ) déterminer b et c. 3) en déduire les solutions de (E). Exercice 11: soit le polynôme P définie dans par: P(z)=z 3 +(--3i)z²+3(1+i)z-9i. 1/ montrer que P admet une racine imaginaire pur. / factoriser P(z). 3/ en déduire les solutions de l'équation P(z)=0. Exercice 1: Soit f l'application de dans telle que: f(z)=z 4-4(1+i)z 3 +1iz²+8(1-i)z-0. 1/ déterminer p et q pour que, pour tout z de, on ait: f(z)=(z²+i)(z²+pz+q). / résoudre dans : f(z)=0. 3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A, B, C, D dont les affixes sont les solutions de l'équation f(z)=0; démontrer qu'elles constituent un carré. Exercice 13: 1/ déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l'équations: z 3 =4(-1+i). /en utilisant les racines cubiques de l'unité écrivez les solutions de cette équations sous forme algébrique. 3/ déduisez des question précédentes les valeurs de cos et sin. 1 1 Exercice 14: soit a un nombre complexe non nul et (E) l'équation sur d'inconnue z (E): z²-a(7+i3)z+a²(3+i3)=0 1/ a) calculer le module et un argument du nombre complexe u= 1 i 3. b) en déduire ses racines carrées. / calculer les racines z 1 et z de (E). 3/ a) vérifier que z -a=u(z 1 -a). b) en déduire la nature du triangle AM 1 M ou A, M 1, M sont respectivement les points d'affixes a, z 1, z dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé. 4/ dessiner ce triangle dans le cas a=1+i. Page

3 Exercice 15 : pour tout zc on pose P(z)=z 3 +(-1)z²+4(1-)z-8 1/a/ calculer P() b/ en déduire une factorisation de P(z) /a/ résoudre dans C l équation P(z)=0 b/ on appelle z 1 et z les solutions non réel de P(z)=0 ; Im(z 1 )>0 Déterminer la forme exponentielle de z 1 et z 3/ a/ placer dans le plan complexe munie d un repère orthonormé (O, i, j) le point A d affixe, B d affixe z 1 et C le milieu de [AB] b/ montrer que le triangle OAB est isocèle c/ en déduire une mesure de l angle ( i, OC) d/ écrire l affixe du point C sous forme trigonométrique e/ déduire des résultats précédentes les valeurs exactes de cos(3/8) et sin (3/8) Exercice 16: soit ]-,[\{-/,/} ; u=e i et f(z)=z 3 -(u+u )z²+(+u ²)z-u 1/ a/ montrer que u est une solution de f(z)=0 b/ résoudre alors dans C : f(z)=0 u / on pose Z²=u+1- u² 1 1 a/ montrer que Z²=u+1-. En déduire la partie réelle de z² u u b/ pour quelle valeur de Rel(Z²)=1 3/ on suppose que Rel(Z²)=1 ; montrer que : a/ Arg( Z ² 1) [] 1 1 b/ Arg( Z ) Arg ( ) [ ] Z Z Exercice 17: pour tout nombre complexe z on pose : f(z)=z 3 -(5+6i)z²+(18i-5)z+13 1/a/ montrer que l équation f(z)=0 possède une racine imaginaire pure que l on déterminera b/ déterminer les nombres complexes a et b tel que pour tout z C, f(z)=(z-i)(z²+az+b) c/ résoudre alors dans c l équation f(z)=0 3/dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j), on considère les points A, B, C d affixes respectives z 0 =i, z 1 =+3i et z =3+i Page 3

4 a/ montrer que z z 1 1 i 0 1 z z b/ en déduire la nature du triangle ABC Exercice 18: étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; ] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P(z), défini par : P(z) = z 3 (1 sin ) z + (1 sin ) z 1. 1/ a) Calculer P(1). b) En déduire l'existence de trois nombres réels a, b, c tels que : P(z) = (z 1) (az + bz + c). Déterminer a, b et c. c) Résoudre, dans, l'équation P(z) = 0. / On considère trois nombres complexes : z 1 = 1 ; z = sin + i cos ; z 3 = sin i cos. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z 1, z et z 3. Exercice 19: Pour tout zc on pose P(z)=z 3 +(-1)z²+4(1-)z-8 1/a) calculer P() b) en déduire une factorisation de P(z) /a) résoudre dans C l équation P(z)=0 b) on appelle z 1 et z les solutions non réel de P(z)=0 ; Im(z 1 )>0 Déterminer la forme exponentielle de z 1 et z 3/ a) placer dans le plan complexe munie d un repère orthonormé (O, i, j) le point A d affixe, B d affixe z 1 et C le milieu de [AB] b) montrer que le triangle OAB est isocèle c) en déduire une mesure de l angle ( i, OC) d) écrire l affixe du point C sous forme trigonométrique e) déduire des résultats précédentes les valeurs exactes de cos(3/8) et sin (3/8). Exercice 0: 1/ résoudre dans C l'équation (E): z²-(3-i)z+-i3=0. / le plan complexe est munie d'un repère orthonormé direct (O, i, j ). On considère les points A, B et C d'affixes z A = -i; z B =3+i et z C =(-1+i). a) écrire z A, z B et z C sous forme exponentielle. b) Montrer que les points A, B et C sont situés sur un même cercle de centre O. Page 4

5 3/ soit Z= z C. z B a) écrire Z sous forme trigonométrique et sous forme algébrique. et sin 7. 1 b) Déterminer cos 7 1 Exercice 1: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O,i, j ). 1/ déterminer les racines carrées du nombre complexe -+i3. / résoudre dans C l'équation (E): z²+(3-i3)z+-i3=0. 3/ écrire les solutions de (E) sous forme trigonométrique. 4/ A et B les images des solutions de (E). Montrer que OAB est un triangle équilatéral. Exercice : 1/ résoudre dans l'équation z²-(1+i)z+ 1 +i=0. / soit [0, ] et E l'équation: z²-(1+cos+i)z+cos+i=0. a) montrer que l'équation E admet une racine réelle que l'on calculera. b) Déduire l'autre racine en fonction de. 3/ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A( 1 ) et M(cos+i). Calculer AM en fonction de et déduire la valeur de pour laquelle AM est minimale. Exercice 3: Pour tout nombre complexe z, on pose f(z)=z 3 -(5+6i)z²+(18i-5)z+13. 1/ a) montrer que l'équation f(z)=0 possède une racine imaginaire pur que l'on déterminera. b) déterminer les nombres complexes a et b tels que pour tout z ; f(z)= (z-i)(z+az+b). c) résoudre dans l'équation f(z)=0. / dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O,i, j ). On considère les points A, B et C d'affixes respective z 0 =i, z 1 =+3i et z =3+i. a) montrer que z z1 1 i. z 0 z1 b) En déduire la nature du triangle ABC. 3/ a) résoudre dans l'équation z 3 =1. Page 5

6 b) calculer (+i) 3 ; en déduire les solutions dans de l'équation z 3 =+11i. Exercice 4: 1/ résoudre dans l'équation z²+6z+1=0. / dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé ( O,i, j ) on considère les point A et B d'affixes respectives z A = -3-i3 et z B = -3+i3. a) mettre z A et z B sous forme exponentielle. b) Déterminer une mesure de l'angle ( OA,OB ). c) Montrer que le triangle OAB est équilatéral. 3/ soit z'= e i 4 z A. a) écrire z' sous forme trigonométrique et sous forme algébrique b) En déduire cos. et sin 1 1 Exercice 5: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé( O,i, j ). Soit p(z)=z 3 -(4+i)z²+(8+4i)z-8i 1/ a) vérifier que i est une solution de p(z)=0. b) déterminer les complexes a et b tel que p(z)=(z-i)(z²+az+b). c) résoudre dans l'équation p(z)=0. / on considère les points A, B et C d'affixes respectives z A =i, z B =+i et z C =-i. a) placer les points A, B et C dans le plan complexe. b) Montrer que le triangle OBC est rectangle isocèle. 3/ on considère l'application qui à tout point M d'affixe z non nul, on associe le point M' d'affixe z' définie par: z'= 1 z. Soit M un point du cercle de diamètre [BC] et distinct de O. a) montrer que M \ {O} si et seulement si 1 z ' ; z' en déduire que 1 z ' z '. b) Montrer que si M un point de \{O} alors M' est un point d'une droite. Exercice 6: 1/ Soit l'équation (E): z 3 -(4+i)z²+(7+i)z-4=0. a) Montrer que l'équation (E) admet une solution réelle z 0 que l'on déterminera. b) Résoudre alors l'équation (E). on notera z 1, z les deux autres racines avec z 1 > z. Page 6

7 / Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct ( O,i, j ) ; on considère les points A et B d'affixes respectives z 1 et z. a) Ecrire z 1 et z sous forme exponentielle. b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe z 1. z c) En déduire que le triangle OAB est rectangle en O. 3/ a) Ecrire sous forme algébrique et sous forme trigonométrique le i nombre complexe e 3 z 1. b) en déduire que cos et sin Exercice 7: Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé( O,i, j ). 1/ a) développer (1+3)². b) résoudre dans l'équation z²+(1+3)z++3=0. / soit a= 1 3 ( 1 i ) et b 1 3 ( 1 i ) ; on note A et B les point d'affixes respectives a et b. a) écrire a et b sous forme trigonométrique. b) quelle est la nature du triangle OAB. 3/ on désigne par C le point d'affixe 1. a) déterminer le nombre complexe 1 a soue forme trigonométrique. b a b) En déduire la nature du triangle ABC, placer les points A, B et C. Exercice 8: I/ soit l'équation (E): z²-(+i)z+1+i=0; on désigne par z et z' les solutions de(e). 1/ sans calculer z' et z'': a) mettre a= 1 1 sous forme cartésienne. z ' z '' b) Déterminer Arg(z'z''). / résoudre l'équation (E). II/ soit [0, ] et soit l'équation (E ): z²-(i+cos)z+1+ie -i =0. 1/ a) vérifier que e -i est une solution de (E ). b) en déduire l'autre solution de (E ) et la mettre sous la forme exponentielle. / dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé( O,i, j ), on considère les point A(i) et B(i+e i ). a) déterminer AB. Page 7

8 b) Déterminer et construire F={B(i+e i ); [0, ] }. Exercice 9: Soit p(z)=z 3 -(4+i)z²+(3+6i)z+-4i. 1/ montrer que l'équation p(z)=0 admet une solution réel z 0. / a) déterminer les nombres complexes a et b tel que p(z)=(zz 0 )(z²+az+b). b) résoudre dans p(z)=0. 3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé( O,i, j ), on désigne par A(i), B() et C(+i). a) montrer que le triangle ABC est rectangle. b) Montrer que le quadrilatère OABC est un rectangle. A tout point M du plan d'affixe z on associe le point M' d'affixe z' défini par z'= 1 iz z. 4/ a) montrer que z' = AM BM. b) déterminer l'ensemble des point M lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon 1. 5/ on suppose que zi et z. montrer que ( i,om ' ) ( MB,MA ) k ;k. Exercice 30: On considère l'application f : \{ 0 } z z² z 1 z 1/ résoudre dans \{0} les équations : a) f(z)=1 b) f(z)=0 / soit z 0 =e i ; IR. a) Exprimer f(z 0 ) en fonction de cos. b) En déduire les réels ]-, [ tel que f(z0 )= / montrer que pour tout z, tel que z =1 on a f(z) réel. Page 8

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