Exercices résolus progressifs sur les (in-)équations exponentielles et logarithmiques à base e ( )

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1 LGL Cours de Mathématiques 8 Eercices résolus progressifs sur les (in-)équations eponentielles et logarithmiques à base e Pour chacun des eercices proposés, il faut chercher le domaine d'eistence, que ce soit demandé epressément ou non. Rappelons que certains cas peuvent se présenter parmi les (in-)équations élémentaires: La fonction ( ) ) e = e = = = = > > acommedomaine ) e = 3 impossible,la fonction n'étant définie que sur S = > < La fonction ( ) 3) e > 8 e > 8 > 8 > 3 = 3 > > acommedomaine ) e > toujours vrai, même si la fonction ne s'applique pas au S = > < Remarque: Voici quelques eercices simples et progressifs, dont la solution est proposée à la suite des données. Il est conseillé de faire d'abord les eercices, avant de s'occuper des solutions proposées. Eercice : Résoudre dans les équations eponentielles/ logarithmiques suivantes: ) e = ) e = e 3) 3 = ) 3 = ) = 6) 3e e = ( ) 7) 3 = 8) = 3 ) e e = ) 3e = e Eercice : Résoudre dans les inéquations eponentielles/ logarithmiques suivantes: ) e ) 3e < e 3) 8 < ) > 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 6) 3 ( e ) < ( ) > ( ) ( ) > ( ) 7) 3 8) ) 3 ) 3 Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - -

2 LGL Cours de Mathématiques 8 Résolution - Eercice : Résoudre dans les équations eponentielles/ logarithmiques suivantes: ) e = = e = e = = S = ) e = e = 6 e = e = 3 = 3 3 S = 3 3) 3 = = = e = S = e ) 3 = 3 = 3 = = e {} S = e ( ) ) = i) Domaine : D = ; = ( ) = = S = 6) 3e e = e = = S = Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - -

3 LGL Cours de Mathématiques 8 Au contraire de l'eercice ) proposé, l'eercice 7) réunit dans le premier membre une somme de deu epressions logarithmiques: ( ) 7) 3 = i) Domaine : D = ;3 3 = d ' où : 3 = = =,7 =, S = ; 8) = 3 ( ) i) ii) Domaine : Résolution : D = = 3( ) doù ' : = 3 3 = 3= ( 3) = D 3 = D S = ) e e = a) Posons : t = e > t t = t= ou t = b) Revenons à : t = e = = = t = e = = S = ; ) 3e = e a) Posons : t = e > 3t t = t = < 3 à rejeter! ou t = b) Revenons à : t = e = = S = Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - 3 -

4 LGL Cours de Mathématiques 8 Résolution - Eercice : Résoudre dans les inéquations eponentielles/ logarithmiques suivantes: Remarque: Dans tous les eercices sur les inéquations, l'ensemble E qui apparaîtra, sera toujours la solution à l'inéquation (*) qui surgit au cours de cet eercice, en ne considérant pas le domaine d'eistence de l'inéquation de départ. ) e 3 e 3 > > S = ;3 ) 3e < e < e < < > > S = ; 3) 8 < < e < S e = ; ) > 7 i) ii) Domaine : Résolution : D = > > e e > (*) Racines : = e = e e e e E = ; e e ; S = D E = ; e e ; Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - -

5 LGL Cours de Mathématiques 8 ( ) ( ) ) i) Domaine : D = ; Conditions : > > > > D: ( ) ( ) ( ) ( ) (*) Racines : 3 3 = = E = ; ; 3 S = D E = ; 6) ( 3 ) ( ) ( ) i) Domaine : D = ;3 Conditions : 3 > > > 3> < > D: ( 3 ) ( )( ) ( 3 ) ( )( ) 7 (*) Racines : = = E = ; ; 3 S = D E = ; Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - -

6 LGL Cours de Mathématiques 8 ( ) 7) e < 3 i) Domaine : D = e; Conditions : e > > Racines : = e = e e e e ( ) ( ) D : e < e 3 e < 3e e < 3e 3e e < (*) Racines : = e = e = e e e 3e e ] ; [ E = e e S = D E = e;e ( ) 8) > i) Domaine : D = ; ( ) Conditions : > Racines : = = D: > > bij > (*) ( ) ( ) Racines : = 3 =,8 =,8 Tds : 3e e E = ; S = D E = ; Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - 6 -

7 LGL Cours de Mathématiques 8 ( ) ) 3 i) Domaine : D = ] ; [ ; D: E = ;3 3 S = D E = ; ;3 ( ) > ( ) ) 3 i) Domaine : D = ; Conditions : 3 > < toujours le signe de a = > > D: 3 > 3 > > * bij < E = S = D E = ; Beran - EFGEercicesMelanges-DonnesCorriges EFG - Eponentielles et Logarithmes - 7 -