Les droites du plan. Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées.

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1 Les droites du plan Le plan est muni d un repère orthogonal. contrôles résumés de cours Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées. Quels que soient les points M et N de la droite, le nombre m = y M y N x M x N est constant. Ce nombre est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite (d). ym yn différence des ordonnées À retenir : coef. dir. = m = =. x M x N différence des abscisses L ordonnée du point d intersection de la droite (d) et de l axe des ordonnées est appelée ordonnée à l origine de la droite (d). exercices Remarques : Une droite parallèle à l axe des ordonnées n a ni coefficient directeur, ni ordonnée à l origine. Deux droites sécantes à l axe des ordonnées sont parallèles entre elles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. corrigés Équation d une droite Une droite (d) sécante à l axe des ordonnées a pour équation y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p l ordonnée à l origine de la droite (d). Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme x = a, où a est l abscisse commune de tous les points de la droite.. Les droites du plan 7

2 Méthodes de construction d une droite Exemple Tracer la droite d équation y = x. On place d abord l ordonnée à l origine qui vaut ici, puis ensuite le coefficient directeur. Exemple Tracer la droite d équation y =,5x,5. On calcule les coordonnées de deux points : si x =, alors y = ; on place A( ; ) ; si x =, alors y = 4 ; on place B( ; 4). Enfin, on trace la droite (AB). Exemple Tracer la droite passant par A( ; ) et de coefficient directeur m =. On place le point A, puis on place le coefficient directeur. 8. Les droites du plan

3 Exercice : L essentiel est-il connu? Exercice : QCM 0 min. Le coefficient directeur de la droite d équation y = x + 5 est : a) x b) 5 c) d) x. Le coefficient directeur de la droite d équation y = x + est : a) b) x c) d). L ordonnée à l origine de la droite d équation y = x est : a) b) c) d) x 4. Pour calculer le coefficient directeur m de la droite (AB), on utilise la formule : ya yb yb ya a) m = c) m = x A x B x B x A xa xb xb xa b) m = d) m = y A y B y B y A 5. On a tracé ci-dessous la droite d : résumés de cours exercices contrôles a) L équation de d est y = x + b) L équation de d est y = x+ c) L équation de d est y = x + d) L équation de d est y = x+ corrigés. Les droites du plan 9

4 Exercices et : Le vocabulaire est-il connu? Exercice 5 min Pour chacune des droites suivantes, déterminer le coefficient directeur et l ordonnée à l origine : a) d : y = 4x e) d 5 : y = x + b) d : y = x c) d : y = f) d 6 : y = x d) d 4 : y = 4 x Exercice 0 min Pour chacune des droites représentées ci-dessous, déterminer le coefficient directeur et l ordonnée à l origine : Exercice 4 : Savoir vérifier si un point appartient à une droite Exercice 4 5 min Dans chacun des cas suivants, déterminer par le calcul, si le point E appartient à la droite d : a) E(5 ; ) et d : y = x + 7 b) E( ; 5) et d : y = 8,5x e) E(6 ; ) et d : y = c) E(5 ; 8) et d : y = x + x + f) E(,5 ; 6) et d : y = 6 d) E(7 ; ) et d : y = 7 0. Les droites du plan

5 Exercices 5 et 6 : Savoir déterminer l équation d une droite Exercice 5 0 min Calculer l équation de la droite (AB) dans chacun des cas suivants : a) A( ; 5) et B(5 ; ) b) A( ; ) et B(9 ; 7) c) A( ; 4) et B( 9 ; 4) d) A( ;,5) et B( ; ) résumés de cours Exercice 6 0 min Déterminer l équation de chacune des droites tracées ci-dessous : exercices Exercices 7 à 9 : Savoir tracer des droites contrôles Exercice 7 5 min Tracer dans un repère les droites suivantes : a) d : y = 4x e) d 5 : y = x + b) d : y = x f) d 6 : y = x c) d : y = d) d 4 : y = 4 x corrigés. Les droites du plan

6 Exercice 8 40 min Même exercice avec : a) d : y =,5x,5 b) d : y = x c) d : y =,5 d) d 4 : y = x e) d 5 : y = x + 4 f) d 6 : y = x Exercice 9 5 min Tracer dans un repère les droites suivantes, passant par le point indiqué et de coefficient directeur m : a) A( ; ) et m = e) E( ; ) et m =,5 b) B(0 ; ) et m = c) C( ; ) et m = d) D( ; 0) et m =,5 f) F(0 ; 0) et m = Corrigés des exercices Exercice. Le coefficient directeur de la droite d équation y = x + 5 est. La bonne réponse est la réponse c).. Le coefficient directeur de la droite d équation y = x + est. La bonne réponse est la réponse c).. L ordonnée à l origine de la droite d équation y = x est. La bonne réponse est la réponse c). 4. Pour calculer le coefficient directeur m de la droite (AB), on utilise la ya yb yb ya formule m = ou m =. x A x B x B x A yb ya ( ya yb) ya yb En effet : m = = = x B x A ( x A x B) x A x B Les bonnes réponses sont les réponses a) et c). 5. L ordonnée à l origine est et le coefficient directeur est.. Les droites du plan

7 Ainsi, l équation de la droite est y = x+. La bonne réponse est la réponse b). Exercice Droite Coefficient directeur Ordonnée à l origine d : y = 4x 4 résumés de cours d : y = x 0 d : y = 0 d 4 : y = 4 x = x d 5 : y = x + d 6 : y = x = x + exercices Exercice Méthode L ordonnée à l origine est l ordonnée du point d intersection de la droite avec l axe des ordonnées. Pour le coefficient directeur, on choisit deux points A et B de la droite dont on peut facilement lire les coordonnées, puis on utilise la formule : yb ya m =. x B x A Droite Coefficient directeur Ordonnée à l origine contrôles d d 0 d d 4 corrigés. Les droites du plan

8 Exercice 4 Si E appartient à la droite d équation y = ax + b, alors on a : ye = ax + b. E a) x E + 7 = = = y E donc E appartient à d : y = x + 7. b) 8,5x E = 8,5 ( ) = y E, donc E n appartient pas à d : y = 8,5x. x c) E + 5+ = = 8 = ye donc E appartient à d : y = x +. d) y E 7 donc E n appartient pas à d : y = 7. x + = 6+ = y donc E n appartient pas à d : y = e) E E x +. f) y E = 6 donc E appartient à d : y = 6. Exercice 5 yb ya 5 6 a) Le coefficient directeur est m = = = =. x B x A 5 Donc (AB) a une équation de la forme y = x + p où p est l ordonnée à l origine. Or, A appartient à (AB) donc ses coordonnées vérifient l équation, soit : y A = x A + p, ce qui donne : 5 = + p. On obtient donc p = 4. Finalement, l équation de (AB) est : y = x 4. yb ya 7 0 b) Le coefficient directeur est m = = = =. x B x A 9 ( ) 0 Donc (AB) a une équation de la forme y = x + p où p est l ordonnée à l origine. Or, A appartient à (AB) donc ses coordonnées vérifient l équation, soit : y A = x A + p, ce qui donne : = ( ) + p. On obtient donc p =. Finalement, l équation de (AB) est : y = x +. c) On remarque que y A = y B = 4. L équation de la droite (AB) est donc : y = 4. d) On remarque que x A = x B =. L équation de la droite (AB) est donc : x =. 4. Les droites du plan