COURS: TRIGONOMÉTRIE. 1 Relations trigonométriques CHAPITRE 4. Extrait du programme de la classe de troisième :

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1 HPITRE 4 URS: TRIGNMÉTRIE Etrait du programme de la classe de troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Triangle rectangle : relations trigonométriques onnaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deu côtés du triangle. Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées : du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donné de l angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à partir du quart de cercle trigonométrique. n établira les formules : cos 2 +sin 2 = et tan = sin cos. n n utilisera pas d autre unité que le degré décimal. Relations trigonométriques Définition : Soit un triangle rectangle en ; on notera α l angle. lors on a : cos α= ôté adjacent Hypoténuse = sin α= ôté opposé Hypoténuse = tan α= ôté opposé ôté adjacent = Illustration : ôté opposé à α ôté adjacent à α Hypoténuse α 3 ème Page /4 ours Trigonométrie

2 2 Pour quoi faire? Pour calculer des longueurs Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d un des côtés ainsi que la mesure de l un des angles aigus, on peut calculer les longueurs des deu autres côtés. Par eemple, supposons que dans le triangle rectangle en, on ait = 2 cm et α=30. lors on peut calculer la longueur du côté [ ] en utilisant la formule de la tangente : d où tan α= = tan α = cm tan30 De même on peut calculer la longueur du côté [ ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en utilisant la formule du sinus : sin α= d où = sin α = 2 = 24 cm sin Pour calculer des mesures d angles Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deu des côtés, on peut calculer les mesures des deu angles aigus du triangle. Par eemple, supposons que dans le triangle rectangle en, on ait = 2 cm et = 6 cm. lors on peut calculer la mesure de l angle en utilisant la formule de la tangente : tan = = 2 6 = 0,75 d où, à l aide de la calculatrice et de sa touche tan tan, 36,9 omme les deu angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit la mesure approchée de l angle par : = ,9= 53, 3 ème Page 2/4 ours Trigonométrie

3 3 Formules trigonométriques Propriété n : Soit la mesure, en degrés, d un angle aigu α quelconque. lors on a, pour toute valeur de : 0<cos < et 0<sin < Preuve : ela provient du fait que, dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le côté le plus long : supposons que soit la mesure en degrés d un angle α= dans un triangle rectangle en (voir figure page ). n a alors cos = cos α= avec < (car [ ] est l hypoténuse), et donc il vient cos <. De plus, comme et sont des longueurs, on a > 0 et > 0 ; par conséquent cos = cos α= > 0 Propriété n 2 : Soit la mesure, en degrés, d un angle aigu α quelconque. lors on a, pour toute valeur de : cos 2 + sin 2 = Remarques : n écrit cos 2 pour (cos ) 2, et ceci dans le but d éviter toute confusion avec cos 2, dans le cas où l on oublierait d écrire les parenthèses... ette formule peut permettre d obtenir le sinus d un angle aigu lorsque l on connaît son cosinus, et vice-versa. Preuve : Supposons que soit la mesure en degrés d un angle α= dans un triangle rectangle en (voir figure page ). n a alors cos = cos α= et sin = sin α=. insi on peut écrire que ( ) 2 ( ) 2 cos 2 + sin 2 = + = = r, le triangle étant rectangle en, le théorème de Pythagore nous dit que = 2. n peut donc conclure : cos 2 + sin 2 = = 2 2 = Propriété n 3 : Soit la mesure, en degrés, d un angle aigu α quelconque. lors on a, pour toute valeur de : tan = sin cos Preuve : Supposons que soit la mesure en degrés d un angle α= dans un triangle rectangle en (voir figure page ). n a alors cos = cos α= et sin = sin α=. insi on peut écrire que sin cos = = = = = tan 3 ème Page 3/4 ours Trigonométrie

4 4 Mais qui a bien pu inventer tout ça, et pourquoi? Hipparque de Nicée -90/-20 elui que l on peut considérer comme le père historique de la trigonométrie (trigonos = triangle, et metron = mesure en grec) est sans doute HIPPRQUE DE NI- EE, brillant astronome grec de l antiquité (né dans l actuelle Turquie au IIème siècle avant notre ère), qui établit les premières tables trigonométriques (donnant des valeurs de ce que l on appelle aujourd hui des sinus d angles), et qui s en servit pour recenser les positions eactes de plus de 000 étoiles au moyen de l une de ses inventions, l astrolabe (qui permet de mesurer la hauteur des astres sur l horizon). es mesures d angles permirent l essor de la navigation, qui nécessite de connaître précisément la position des étoiles sur la voûte céleste. Il est à noter que c est lui qui a le premier utilisé la division du cercle en 360 degrés, empruntée au abyloniens, toujours d actualité aujourd hui. PTLEMEE, astronome et géographe grec du IIème siècle, augmenta et compléta l oeuvre d HIPPRQUE, notamment dans un ouvrage demeuré célèbre, intitulé l lmageste, traité complet d astronomie, compilant le savoir scientifique des Grecs de l antiquité, et contenant notamment des tables trigonométriques etrêmement précises. Ptolémée 90/68 l Khwarizmi 780/850 Les calculs seront encore affinés par les mathématiciens Indiens et surtout rabes entre le VIème et le Xème siècle ; citons notamment le mathématicien indien RYHT, mais surtout les mathématiciens arabes L KHWRIZMI et L WF ("inventeur" de la tangente) à agdad. L KHWRIZMI est un immense mathématicien, né dans l actuel uzbékistan au IXème siècle, et considéré comme le père de l algèbre (al-jabr en arabe, terme repris du titre de son oeuvre majeure, intitulée Kitab al-mukhtasar fi Hisab al-jabr w al-muqàbala, traitant de la résolution des équations) L astronome et mathématicien allemand REGIMNTNUS, au XVème siècle, est considéré comme le père de la trigonométrie moderne. près avoir pris connaissance des traductions des traités arabes, il développa la trigonométrie comme branche à part entière des mathématiques (aujourd hui on dirait même "pilier" des mathématiques!), indépendante de l astronomie, dans un traité fondateur intitulé De triangulis planis etspherici libri quinque, una cum tabuli sinuus, publié de façon posthume en 56. Regiomontanus 436/476 Les applications actuelles de la trigonométrie sont nombreuses et fondamentales : les fonctions sinus et cosinus sont certainement celles les plus rencontrées dans les sciences! En astronomie (depuis l ntiquité), en navigation, en topographie, en optique (lois de réfraction), en électricité (courant alternatif sinusoïdal délivré par EDF...), en acoustique et électromagnétisme (ondes sonores, radios, hertziennes?), en mécanique, etc... 3 ème Page 4/4 ours Trigonométrie

5 HPITRE 4 FIHE D EXERIES : TRIGNMÉTRIE QUTIDIENNE EXERIE Un panneau routier Le panneau routier représenté ci-contre avertit le conducteur d une descente dangereuse en annonçant une déclivité de 0 %.. D après vous, que signifie concrètement ce panneau? 2. n a la situation suivante : 00 m 0 m α a) ombien vaut l angle α? b) Sachant que la descente est longue de 3700 mètres, quelle sera la dénivellation totale? EXERIE 2 Le théodolite L instrument représenté ci-contre, utilisé en topographie, est un théodolite ; c est un appareil posé sur un trépied que le géomètre epert utilise pour mesurer des angles et des distances sur un terrain, une parcelle. L opérateur peut utiliser cet appareil pour mesurer l altitude d un point donné ; par eemple, on a schématisé la situation suivante, où est l emplacement de l oeil de l observateur (lunette du théodolite) : H β α n connaît l altitude du point : la distance H vaut,85 m. Le théodolite permet de mesurer les mesures des angles α et β : on a ainsi α=2 et β=37.. ompléter : tan α= et tan β= Démontrer que l on a H tan α = H tan β 3. En déduire la valeur de H. 4. ombien vaut la distance H? 3 ème Page /2 Fiche d eercices trigonométrie

6 EXERIE 3 Goooooooooooaaaaaaaal!!!! Sur un stade de football, le point de penalty est situé à m de la ligne de but. Les buts ont une largeur de 7,32 m.. Faire un dessin pour représenter la situation. n appellera P le point de penalty, et les deu poteau de but, et I le point situé au milieu des deu poteau. 2. Quel est l angle de tir d un footballeur lorsqu il tire un penalty? EXERIE 4 La pyramide de Kheops La pyramide de Kheops, en Egypte, est une pyramide dont la base est un carré DE de 230 mètres de côté, de centre H. Le sommet de la pyramide culmine à 37 mètres d altitude.. Faire un dessin en perspective cavalière. 2. alculer les longueurs H (demi-diagonale de la base) et (longueur d une arète). 3. alculer la mesure au degré près de l angle H 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices trigonométrie

7 HPITRE 5 URS : ERITURES LITTÉRLES ; IDENTITÉS REMRQULES Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Écritures littérales ; identités remarquables Factoriser des epressions telles que : (+ )(+ 2) 5(+ 2) ; (2+ ) 2 + (2+ )(+ 3) onnaître les égalités : (a+ b)(a b)=a 2 b 2 ; (a+ b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2 ; (a b) 2 = a 2 2ab+ b 2. et les utiliser sur des epressions numériques ou littérales simples telles que : 0 2 = (00+) 2 = ; ( + 5) 2 4 = ( + 5) = (+ 5+2)(+ 5 2) La reconnaissance de la forme d une epression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travau s articuleront sur deu aes : utilisation d epressions littérales pour des calculs numériques ; utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes. Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d epressions simples ; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l autonomie des élèves que dans des situations très simples. n consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 0. Développer un produit Définition : Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique Rappel : une somme algébrique est une suite d additions et de soustractions, impliquant des nombres et/ou des lettres Nous avons, pour réaliser cela, plusieurs moyens à disposition :. Distributivité simple Produit Somme algébrique k(a+ b) ka+ kb k(a b) ka kb 3 ème Page /3 ours calcul littéral

8 pplications et eemples : alcul mental : 3 99 = 3 (00 ) = = = = 25 (00+4) = = = 2600 Développement d une epression littérale : 3(5a+ 7) = 3 5a+ 3 7 = 5a+ 2 2(5 4) = 2 5 ( 2) 4 = Distributivité double Produit Somme algébrique (a+ b)(c+ d ) ac+ ad+ bc+ bd pplications et eemples : Développement d une epression littérale : (3 a)(4a+ 2) = 3 4a a 4a a 2 = 2a+ 6 4a 2 2a = 4a 2 + 0a+ 6 (3 2)( 4) = ( 4) 2 2 ( 4) = = : Pour ne pas se tromper dans les signes, il est utile de se souvenir que, par eemple, 3 2 est la somme de 3 et de 2, et que 4 est la somme de et de 4. insi, pour le calcul précédent, on a : (3 2)( 4) = (3+ ( 2))(+( 4))=(3) + (3) ( 4) + ( 2) + ( 2) ( 4) =....3 Identités remarquables pplications et eemples : Produit Somme algébrique arré d une somme (a+ b) 2 a 2 + 2ab+ b 2 arré d une différence (a b) 2 a 2 2ab+ b 2 Produit d une somme par une différence (a b)(a+ b) a 2 b 2 alcul mental : 0 2 = (00+) 2 = = = = (20 ) 2 = = = = (40 )(40+) = = 600 = 599 Développement d une epression littérale : (y+ 7) 2 = y y = y 2 + 4y+ 49 ( 3) 2 = (3) 2 = (20 8)(20+8) = 20 2 (8) 2 = Factoriser une somme algébrique Définition : Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en produit Développer En fait, pour résumer : Produit Somme algébrique Factoriser 3 ème Page 2/3 ours calcul littéral

9 2. vec un facteur commun n utilise la propriété de simple distributivité, mais "à l envers" : Somme algébrique Produit ka+ kb k(a+ b) ka kb k(a b) Dans les sommes algébriques de gauche, il y a deu termes, chacun étant un produit de deu facteurs. omme k se retrouve dans les deu termes, on dit que c est un facteur commun au deu termes. n dit également que l on a "mis k en facteur". pplications et eemples : alcul mental : = 3 (62+38) = 3 00 = = (8. 8.) 34.8 = = 348 Factorisation d une epression littérale grâce à un facteur commun : 4a 2 + 3a = 4 a a+ 3 a = a(4a+ 3) (+ 7)(5 4) 2(5 4) = (5 4) (+ 7 2) = (5 4)(+ 5) (+ 3) 2 5(+ 3) = (+ 3) (+ 3 5) = (+ 3)( 2) 2.2 vec les identités remarquables Là aussi, on utilise les identités remarquables vues au paragraphe.3, mais "dans l autre sens" : Somme algébrique Produit a 2 + 2ab+ b 2 (a+ b) 2 a 2 2ab+ b 2 (a b) 2 a 2 b 2 (a b)(a+ b) pplications à la factorisation d epressions littérales : y 2 + 4y+ 4 = y y = (y+ 2) = (3) = (3 ) 2 (+ 5) 2 9 = (+ 5) = [(+ 5) 3] [(+ 5)+3] = (+ 2) (+ 8) 3 ème Page 3/3 ours calcul littéral

10 HPITRE 5 FIHE D EXERIES : FTRISTIN EXERIE Factoriser les epressions suivantes en mettant en facteur : =3 8 =5 2 2 =( 2) 3 D=4 2 ( 3) E =6 3 EXERIE 2 Factoriser les epressions suivantes en mettant 3 en facteur : =3( 3)+8( 3) =5( 3) 2 ( 3) =(+ 2)( 3)+3( 3) D=( 3) 2 2( 3) E =(4 6) 2( 3) F =( 3) 2 ( 3) EXERIE 3 Factoriser les epressions suivantes en utilisant un facteur commun : =3( 2)+(+ 3)( 2) =5( 3) (2+ ) =(+ 5) 2 + ( 5)(+ 5) D=(7+ ) 2(7+ ) 2 E =(+ 9)( 5)+2(6 30) EXERIE 4 ompléter les identités remarquables suivantes : ( 7) 2 = (2...) 2 = (...+8) 2 = (+...)(...) =... 8 ( ) 2 = (......) 2 = (......)( ) = EXERIE 5 Factoriser en utilisant une identité remarquable : = = = D=(+ 7) 2 E = F =49 (2+ 3) 2 3 ème Page / Fiche d eercices: factorisation

11 HPITRE 5 FIHE D EXERIES : FTRISTIN (NIVEU 2) EXERIE Factoriser les epressions suivantes : =(3 ) 2 9 =4 2 ( 5) 2 = D = E =(2+ 3) 2 (5 ) 2 F = ( G =00 (3+ 0) 2 H= + 2) 3 2 ( I =9(+ ) 2 36 J = 4 9 (2+ 2 )2 K = 2 9+( 3)(2+ 5) L =5(4 )+6 2 ) 2 M= N = (2+ )( 5) EXERIE 2 omme au brevet... ntilles 2004 n donne l epression D = (3+ 5)(6 )+(3+ 5) 2.. Développer D, puis réduire. 2. Factoriser D. 3. alculer D pour = 3. mérique du sud novembre 2002 n considère l epression : D = (3 5)(5 2) (3 5) 2.. Développer puis réduire D. 2. Factoriser D. 3. alculer D pour =. Martinique septembre 2002 n donne D = (5 3) Développer et réduire D. 2. Factoriser D. 3. alculer D pour = 2 3 miens 97. Développer et réduire D = (a+ 5) 2 (a 5) n pose D = Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la question, trouver la valeur de D (indiquer les étapes du calcul). Nouvelle-alédonie décembre 2002 Soit l epression = (3+ 7)(2+ 3).. Développer l epression. 2. Factoriser , puis l epression. uest Développer et réduire P = (+ 2)(+ 2). 2. Factoriser l epression : Q = (+ 7) est un triangle rectangle en ; désigne un nombre positif ; = + 7 ; = 5. Faire un schéma et montrer que 2 = ème Page / Fiche d eercices factorisation 2

12 HPITRE 5 FIHE D EXERIES : FTRISTIN (NIVEU 3) Premier eemple n se donne l epression = Quelques factorisations plus subtiles.... Montrer que l on a, pour tout nombre, = ( 3) En déduire une factorisation de Deuième eemple n se donne l epression = Montrer que l on a, pour tout nombre, = (2+ 3) En déduire une factorisation de Troisième eemple n se donne l epression = ompléter : =( ) 2 2. En déduire que l on peut écrire sous la forme = ( ) En déduire une factorisation de. lasse Page / Fiche d eercices

13 HPITRE 6 URS : GÉMÉTRIE DNS L ESPE Etrait du programme de la classe de 3 ème : Sphère NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES - Savoir que la section d une sphère par un plan est un cercle. - Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. - Représenter une sphère et certains de ses grands cercles. n mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralement opposés. n eaminera le cas particulier où le plan est tangent à la sphère. n fera le rapprochement avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives au méridiens et au parallèles. Problèmes de sections planes de solides - onnaître la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. - onnaître la nature des sections de cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son ae. - Représenter et déterminer les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base. Des manipulations préalables (sections de solides en polystyrène par eemple) permettent de conjecturer ou d illustrer la nature des sections planes étudiées. e sera une occasion de faire des calculs de longueur et d utiliser les propriétés rencontrées dans d autre rubriques ou au cours des années antérieures. À propos de pyramides, les activités se limiteront à celles dont la hauteur est une arête latérale et au pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs. 3 ème Page /5 ours Géométrie Espace

14 Sphère et boule ; section d une sphère par un plan Définitions : Si est un point de l espace et R est un nombre positif donné : La sphère de centre et de rayon R est l ensemble des points de l espace situés à une distance de eactement égale à R. La boule de centre et de rayon R est l ensemble des points de l espace situés à une distance de inférieure ou égale à R. Un grand cercle d une sphère de centre et de rayon R est un cercle de centre et de rayon R. N R R R,, sont des points de la sphère, et est le centre de cette sphère, qui a pour rayon R = = =. Le segments [N S] est un diamètre de la sphère. Deu grands cercles de la sphère sont tracés ici, dont l un d eu a pour diamètre [NS] S Si on imagine que cette sphère représente le globe terrestre, alors les points N et S seraient les pôles Nord et Sud ; le grand cercle qui passe par les deu pôles serait un méridien, et l autre grand cercle (situé dans un plan perpendiculaire à l ae des pôles) serait l équateur. Tout point de la surface du globe terrestre est repéré par deu nombres, appelés longitude (calculée par rapport à un méridien bien particulier, celui de Greenwich) et latitude (calculée par rapport à l équateur) : voir par ailleurs. Propriétés : ire d une sphère, volume d une boule Si R est un nombre positif donné : L aire d une sphère de rayon R est égale à 4πR 2. Eemples : Le volume d une boule de rayon R est égal à 4 3 πr 3. L aire d une sphère de rayon 7 cm est égale à : 4 π 7 2 = 96π 66 cm 2 le volume de la boule de même rayon 7 cm est égal à : 4 3 π 73 = π 437 cm 3 Propriété : La section d une sphère par un plan est un cercle. Plus précisément, considérons une sphère de centre et de rayon R. n se donne un plan P, et on appelle [NS] le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan P. Enfin, soit H le point d intersection de (NS) et de P. n dit que H est la distance du centre au plan P. Plusieurs cas se présentent, selon la valeur de la distance H : 3 ème Page 2/5 ours Géométrie Espace

15 lorsque 0< H < R, la section de la sphère de centre et de rayon R par le plan P est un cercle de centre H. Pour tout point M de ce cercle, le triangle HM est rectangle en H. alculons le rayon r de ce cercle en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle HM rectangle en H : M 2 = H 2 + H M 2 soit R 2 = H 2 + r 2 donc r = R 2 H 2 Eemple : Soit S la sphère de centre et de rayon R = 5 cm coupée par un plan P tel que H = 3 cm. La section obtenue est le cercle de centre H et de rayon r = 4 cm, car r = R 2 H 2 = = 6=4. Fig. : cas où 0< H < R lorsque H = 0, lorsque H = R, lorsque H > R, le cercle de section a même centre et même rayon que la sphère : c est alors un grand cercle de la sphère, il partage la sphère en deu hémisphères (voir Fig. 2) le cercle de section a pour rayon 0 : il est réduit à un point. n dit que le plan P est tangent à la sphère en S (voir Fig. 3). le plan P ne coupe pas la sphère. Fig. 2 : cas où H = 0 Fig. 3 : cas où H = R 3 ème Page 3/5 ours Géométrie Espace

16 2 Section d un cube, d un pavé, d un cylindre par un plan La section d un cube par un plan parallèle à une face est un carré : La section d un cube par un plan parallèle à une arète est un rectangle : La section d un pavé par un plan parallèle à une face est un rectangle : La section d un pavé par un plan parallèle à une arète est un rectangle : 3 ème Page 4/5 ours Géométrie Espace

17 La section d un cylindre par un plan parallèle à la base est un cercle de même rayon que le cercle de base : La section d un cylindre par un plan parallèle à l ae est un rectangle : 3 Section d une pyramide, d un cône par un plan La section d un cône par un plan parallèle à la base est un cercle : Voici la section d une pyramide par un plan parallèle à la base : e cercle de section est une réduction du cercle de base ; le coefficient de réduction k est égal à k =. Le rayon de ce cercle de section est alors égal à k R Le polygone de section D est une réduction du polygone de base D ; le coefficient de réduction k est égal à k = E E = E E =... Les longueurs des côtés de ce polygone de section sont alors égales à celles des côtés du polygone de base, multipliées par k : = k, etc. 3 ème Page 5/5 ours Géométrie Espace

18 HPITRE 5 DÉUVERTE : LE GLE TERRESTRE Figure : W N S E La Terre est assimilable à une boule d environ 6400 km de rayon. ppelons le centre de la Terre. Le point N représente le pôle Nord, le point S le pôle Sud. Sur la sphère représentant la surface terrestre, un grand cercle de centre passant par N et S est appelé méridien. Le grand cercle de centre et tracé dans un plan perpendiculaire au diamètre [N S] est, lui, appelé l équateur. Ici est tracé le méridien qui sert de référence, appelé méridien de Greenwich (car il passe par Greenwich, petite ville située non lion de Londres) haque point à la surface de la Terre peut être repéré grâce à deu nombres : la longitude et la latitude. La longitude est calculée par rapport au méridien de Greenwich, la latitude par rapport à l équateur ; par eemple, le point sur cette figure, qui représente la position de la ville de hicago, a pour longitude = 87, et pour latitude = 4 Figure 2 : W N S I E Le cercle de centre et passant par, parallèle au plan de l équateur, est appelé parallèle, justement. e n est pas ce que l on appelle un grand cercle (car il n a pas pour centre). La situation d Istanbul, ville située sur le même parallèle que hicago (et qui a donc la même latitude, mais pas la même longitude), est représentée par le point I. Les question à traiter sont les suivantes :. onnaissant les coordonnées (longitude et latitude) des deu villes, quel est le chemin le plus court pour les joindre en avion? en suivant le parallèle passant par I et? (voir figure 2), ou en suivant le grand cercle passant par I et? (voir figure 3) 2. Quelle est l aire totale, en km 2, de la surface terrestre? Quel est le volume total, en km 3, de la Terre? (donner les réponses sous forme scientifique) Figure 3 : N Voici ce dont vous avez besoin pour répondre à ces questions : oordonnées géographiques de hicago : Latitude 4 Nord, longitude 87 uest. I oordonnées géographiques d Istanbul : Latitude 4 Nord, longitude 28 Est. W E = 4200 km, I = 79 Formule pour calculer la longueur d un arc de cercle défini par un angle de mesure α : L= 2 π R α 360 ire d une sphère de rayon R : = 4 π R 2. Volume d une boule de rayon R : V = 4 3 π R 3 S 3 ème Page / ctivité de découverte: le globe terrestre

19 HPITRE 6 FIHE D EXERIES : SETINS PLNES EXERIE L unité de longueur est le centimètre. n considère le pavé droit DE FG H ci-contre, dans lequel = 6, D = 3 et E = 4 ; de plus, M est un point de l arête [] tel que M =.. Quelques calculs : a) alculer le volume, en cm 3, de ce pavé droit. b) alculer les longueurs, E et M. E H F G c) alcule une mesure, au degré près, des angles MG et E. 2. Quelques sections : a) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à la face FG et passant par M. b) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à l arête [F ] et passant par et. D M c) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à l arête [F ] et passant par M et. EXERIE 2 L unité est le centimètre. n considère le cylindre cicontre, dont la base a pour rayon R = 5 et dont la hauteur est h = 8. Les points M et N sont sur la circonférence du disque formant la base supérieure, et MN est un angle droit. N M. alculer la longueur M N, puis la mesure de l angle M au degré près. 2. Tracer en vraie grandeur : P a) la section de ce cylindre par le plan passant par P et parallèle à la base. b) la section de ce cylindre par le plan passant par M et N, et parallèle à l ae du cylindre. 3 ème Page /2 Fiche d eercices: sections planes

20 EXERIE 3 n considère une pyramide de hauteur S = 0 cm et dont la base est un triangle tel que = 4,5 cm, = 7,5 cm et = 6 cm. S. Montrer que est un triangle rectangle ; calculer son aire. 2. alculer la valeur eacte du volume de cette pyramide. 3. Soit le point de l arête [S] tel que S = 8 cm. n coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et passant par ce point. n obtient les points sur [S ] et sur [S ]. a) Dessiner en vraie grandeur le triangle, en donnant ses dimensions précises. De quelle nature est ce triangle? Quelle est son aire? b) La pyramide S est une réduction de la pyramide S ; quel est le rapport de cette réduction? c) alculer le volume de la pyramide S. n donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie au mm 3. EXERIE 4 n considère un cône de révolution de hauteur S=8cm et dont la base est un disque de 3 cm de rayon. et sont deu points diamétralement opposés sur la circonférence du disque de base. S. De quelle nature est le triangle S? alculer la mesure au degré près de l angle S. 2. alculer la valeur eacte du volume de ce cône. 3. Soit le milieu de [S]. n considère la section du cône par le plan parallèle à la base et passant par ce point. a) Dessiner en vraie grandeur cette section. b) Le petit cône est une réduction du grand cône ; donner le rapport de cette réduction, et en déduire la valeur eacte du volume du petit cône. 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices: sections planes

21 HPITRE 6 FIHE D EXERIES : LES SLIDES. Voici plusieurs solides, représentés en perspective cavalière : H G E F 2 3 E D D H E F G F 4 D D 5 6 E D F H G 7 E D E 8 F D 9 a) Donner le nom de chacun d entre eu. b) En ce qui concerne les polyèdres (solides de l espace délimité par des faces polygonales), compléter le tableau suivant : Solide Nombre de sommets S Nombre d arêtes Nombre de faces F Voyez-vous une relation entre le nombre d arêtes, le nombre des sommets et le nombre de faces? est ce que l on appelle la relation d Euler, valable pour tous les polyèdres "sans trous". 3 ème Page /2 Fiche d eercices: les solides

22 2. alculez le volume de chacun des solides ci-dessous, en vous souvenant de cette "règle" simple : Pour tous les solides "droits" (prismes, cubes, pavés, cylindres), le volume est égal à l aire de la base multipliée par la hauteur du solide : V = h Pour tous les solides "pointus" (cônes, pyramides, tétraèdres), le volume est égal au tiers de l aire de la base multipliée par la hauteur du solide : V = 3 h H G E F h D R = 4, E = 3, D = 2,5 V = R = 3cm, h= 5cm V = E D h D D est un carré de côté 8 cm, h= cm V = est rectangle en, = 5 cm, = 4 cm, D = 7 cm V = F E h D R est rectangle et isocèle en, = = F = 5 cm V = R = 6 cm, h= 8 cm. V = ème Page 2/2 Fiche d eercices: les solides

23 HPITRE 6 FIHE D EXERIES : IRE ET VLUME DE L SPHÈRE ire d une sphère et volume d une boule L aire d une sphère de rayon R est égale à 4πR 2. Le volume d une boule de rayon R est égal à 4 3 πr3. Volume d un cylindre et d un cône Rappel de cours : Le volume d un cône de rayon R et de hauteur h est égal à πr2 h 3 Le volume d un cylindre de rayon R et de hauteur h est égal àπr 2 h. EXERIE alculer l aire et le volume de chacun des solides suivants : as n : = 25 cm as n 2 : = 3476 km as n 3 : M =,2 m M EXERIE 2 alculer le volume de chacun des solides suivants : as n : = 2 cm as n 2 : = = 5 cm as n 3 : P = 5 mm, N = 2 mm N P EXERIE 3. Quel est le rayon d une sphère dont l aire est égale à 200 cm 2? Quel est le volume que peut contenir cette sphère? 2. Puis-je verser le contenu (liquide) d une sphère de 5 cm de rayon dans un cylindre creu de 5 cm de rayon et de 7 cm de hauteur? 3. Un verre parallélépipédique (longueur 3cm, largeur 3 cm, hauteur 8 cm) contient 63 ml d eau. Quelle est la hauteur d eau dans ce récipient? n y plonge deu glaçons sphériques de 2 cm de diamètre. L eau va-t-elle déborder du verre? 3 ème Page / Fiche d eercices: aire et volume de la sphère

24 HPITRE 6 EXERIE : SETINS PLNES DE L SPHÈRE Ici on voit que le plan vient sectionner la sphère de centre de rayon R selon un cercle ;. alculer le rayon de ce cercle de section : a) dans le cas où H = 2 cm et R = 5 cm, b) dans le cas où N H = 2 cm et R= 0 cm, c) dans le cas où R = 5 cm et HM = 26, 2. Quelle est la distance du plan de section au centre de la sphère : a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm, b) dans le cas où R = 2 cm et HM = 35 HPITRE 6 EXERIE : SETINS PLNES DE L SPHÈRE Ici on voit que le plan vient sectionner la sphère de centre de rayon R selon un cercle ;. alculer le rayon de ce cercle de section : a) dans le cas où H = 2 cm et R = 5 cm, b) dans le cas où N H = 2 cm et R= 0 cm, c) dans le cas où R = 5 cm et HM = 26, 2. Quelle est la distance du plan de section au centre de la sphère : a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm, b) dans le cas où R = 2 cm et HM = 35

25 nnee : réduction et agrandissement d une figure, d un solide Définition : ppliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c est multiplier les dimensions de cette figure (ou de ce solide) par un nombre k supérieur à. ppliquer une réduction à une figure ou à un solide, c est multiplier les dimensions de cette figure (ou de ce solide) par un nombre k compris entre 0 et. Par eemple : D D est une réduction de rapport k = 0,5 d un rectangle D de dimensions 6 cm et 8 cm ; toutes les dimensions du rectangle D sont multipliées par 0,5 : D n remarque que, si les dimensions du rectangle sont divisées par 2 (c est-à-dire multipliées par 0,5), l aire du rectangle est, elle, divisée par 4 (c est-à-dire multipliée par 0,25). Le cube D E F G H est un agrandissement de rapport k = 2 d un cube DE FG H de côté 2 cm : toutes les dimensions de ce cube sont multipliées par 2. n remarque que, si les dimensions du cube sont multipliées par 2, le volume du cube est, lui, multiplié par 8. H D D H E E G F G F Propriété : Lorsque l on réduit ou agrandit une figure d un rapport k, alors l aire de cette figure est multipliée par k 2. Lorsque l on réduit ou agrandit un solide d un rapport k, alors le volume de ce solide est multiplié par k 3. Par eemple : Si on agrandit une figure d un rapport 3, alors l aire de cette figure est multipliée par 3 2 = 9. Si on réduit un solide d un rapport 0,2, alors le volume de ce solide est multiplié par 0,2 3 = 0,008 3 ème Page / nnee ours Géométrie Espace

26 HPITRE 7 URS : EQUTINS ET INÉQUTINS Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES Équations et inéquations du er degré rdre et multiplication Inéquation du premier degré à une inconnue Résolution de problèmes du premier degré ou s y ramenant Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l ordre inverse si a est strictement négatif. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une droite graduée. Résoudre une équation mise sous la forme. = 0, où et désignent deu epressions du premier degré de la même variable. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation [ou un système de deu équations] du premier degré. n pourra s appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres. L étude du signe d un produit ou d un quotient de deu epressions du premier ordre de la même variable est, elle, hors programme. Les problèmes sont issus des différentes parties du programme. comme en classe de 4e, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l équation et interprétation du résultat. Equations du premier degré Définitions : Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l équation. Une solution de cette équation est une valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vraie. Résoudre une équation, c est en trouver toutes les solutions. Par eemple 3 7=5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5. 4 est une solution de l équation 3 7=5 car, lorsque je remplace l inconnue par 4 dans l équation, l égalité est vérifiée : 3 4 7= 2 7=5 2 n est pas une solution de l équation 3 7 = 5 car, lorsque je remplace par 2, l égalité n est pas vérifiée : 3 2 7=6 7= 5!! 3 ème Page /3 ours Equations Inéquations

27 Règles de manipulation des égalités : Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède eactement les mêmes solutions que l équation initiale. Pour ce faire, nous avons deu règles à notre disposition : Règle n : n ne change pas l ensemble des solutions d une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre au deu membres de l équation. Règle n 2 : n ne change pas l ensemble des solutions d une équation en multipliant (ou divisant) les deu membres de l équation par un même nombre non nul. Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue (ou s y ramenant). e sont des équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s écrire sous la forme a = b, avec a 0. ette équation a alors une unique solution, qui est b a. Par eemple, l équation 3 5=7 est une équation du premier degré : résolvons-la En utilisant la règle, on voit que l on peut ajouter 5 au deu membres de l équation : 3 5+5=7+5, c est-à-dire 3 = 2. En utilisant la règle 2, on voit que l on peut diviser par 3 chaque membre de l équation : 3 3 = 2, c est à dire = 4. 3 on conclut par une phrase : l équation 3 7=5 admet une unique solution, qui est 4. 2 Equations-produits Définition : Une équation-produit est une équation qui s écrit sous la forme (a+ b)(c+ d)=0 (il peut y avoir plus de deu facteurs) Remarque : cette équation (a+b)(c+d)= 0 est une équation du second degré ; en effet, si on développait le membre de gauche, l inconnue apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par eemple l équation (+ )(3 6)=0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l équation =0. Mais nous ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d équation... omment faire? Propriété : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l un des facteurs est nul. utrement dit, dire que " = 0" équivaut à dire que "= 0 ou = 0". Méthode : insi, le produit (a+ b)(c+ d) sera nul si, et seulement si, l un des facteurs ((a+ b) ou (c+ d)) est nul : (a+ b)(c + d )=0 si et seulement si a+ b= 0 ou c + d = 0. n se ramène ainsi à la résolution de deu équations du premier degré!! Propriété : Les solutions de l équation (a+b)(c+d)= 0 sont les solutions de chacune des équations a+b= 0 et c+ d = 0 Par eemple : résolvons l équation (3 7)(2 + 5) = 0 Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l un des facteurs est nul. 3 7=0 ou 2+ 5=0 3 = 7 ou 2= 5 = 7 3 ou = 5 2 insi, l équation (3 7)(2+ 5)=0 admet deu solutions, qui sont 7 3 et ème Page 2/3 ours Equations Inéquations

28 3 Inéquations du premier degré Définitions : Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l inéquation. Une solution de cette inéquation est une valeur de l inconnue pour laquelle l inégalité est vraie. Résoudre une inéquation, c est en trouver toutes les solutions. Par eemple 3 7>5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est 3 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5. 6 est une solution de l inéquation 3 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue par 6 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : 3 6 7=8 7=>5 0 est une autre solution de l inéquation 3 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue par 0 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : 3 0 7=30 7=23>5 2 n est pas une solution de l inéquation 3 7 > 5 car, lorsque je remplace par 2, l inégalité n est pas vérifiée : 3 2 7=6 7= 5!! Règles de manipulation des inégalités : Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède eactement les mêmes solutions que l inéquation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition : Règle n : n ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre au deu membres de l inéquation. Règle n 2 : n ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deu membres de l inéquation par un même nombre strictement positif. Règle n 3 : n ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deu membres de l inéquation par un même nombre strictement négatif, à condition de changer le sens de l inégalité. Par eemple, l inéquation 3 5 > 7 est une équation du premier degré : résolvons-la En utilisant la règle, on voit que l on peut ajouter 5 au deu membres de l inéquation : 3 5+5>7+5 3 > 2. En utilisant la règle 2, on voit que l on peut diviser par 3 chaque membre de l inéquation : 3 3 > 2 3 > 4. n conclut par une phrase : l inéquation 3 7>5 admet pour solutions les nombres strictement supérieurs à 4. n peut représenter l ensemble des solutions sur un ae, en hachurant la partie de la droite graduée constituée des nombres qui ne sont pas solutions : I 4 solutions ttention au sens du crochet! Le crochet n est pas tourné vers les solutions, car 4 n est pas solution de l inéquation 3 7>5. 3 ème Page 3/3 ours Equations Inéquations

29 HPITRE 7 FIHE D EXERIES : RÉSLUTINS D INÉQUTINS EXERIE Inégalités larges Notation : : Les symboles et signifient respectivement "supérieur ou égal à" et "inférieur ou égal à". Les inégalités suivantes sont-elles vraies ou fausses?. 3<5 V F 3<3 V F 3 5 V F 8 7 V F 3 3 V F 8< 7 V F 8 8 V F 8< 8 V F 8 0 V F EXERIE 2 Pour chacune des inéquations suivantes, cochez la ou les solutions éventuelles parmi les nombres proposés : + 7<3 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 3 < 5 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 2+ = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 6> 4 = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = = 7 = 4 = 2 = 0 = 2 = 5 EXERIE 3 Repasser en rouge l ensemble des solutions des inéquations suivantes, et hachurer l ensemble des nombres qui ne sont pas solutions, comme dans l eemple ci-dessous : < 2 solutions I 2 > I 2 I 3 I < 0 I 3 I 3 ème Page /2 Fiche d eercices: inéquations

30 EXERIE 4 Résolutions d inéquations Pour résoudre une inéquation : Premier eemple 2 7< < 3+7 n élimine le "-7" du premier membre en ajoutant 2< 4 7 à chaque membre 2 2 < 4 2 < 2 n isole en divisant chaque membre par 2. omme 2>0, on ne change pas le sens de l inégalité solutions I 2 n représente graphiquement l ensemble des solutions Deuième eemple n élimine le "+" du premier membre en retranchant à chaque membre n isole en divisant chaque membre par 5. omme 5<0, on change le sens de l inégalité. solutions I n représente graphiquement l ensemble des solutions Sur le même modèle, résolvez les inéquations suivantes (on présentera les ensembles de solutions à l aide d une phrase, puis à l aide d une représentation graphique) : a. 2+ 7> 5 b c. + 7<6 d e. 3( )< 9 f g. 2 3 > 8 5 h i. 3( 2) (2 7)<2+ j. 3( ) 3( 3+ 5) 0 k. 2 >2 (7+ ) l (3+2) m. 3( )<5 (4+2) n. 3( ) 5 (4+2) EXERIE 5 Mise en inéquation La société L propose un abonnement téléphonique de 5 par mois et 0,20 par minute de communication. La société L propose un abonnement téléphonique de 4 par mois et 0,25 par minute de communication. n désigne par le nombre de minutes de communication par mois.. Eprimer en fonction de le montant d une facture de L, puis le montant d une facture de L. 2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir L? 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices: inéquations

31 HPITRE 8 URS : RINES RRÉES Etrait du programme de la classe de Troisième : NTENU MPÉTENES EXIGILES MMENTIRES alculs élémentaires sur les radicau (racines carrées) Racine carrée d un nombre positif. Produit et quotient de deu radicau Savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a. Sur des eemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités : ( a ) 2 = a, a 2 = a. Déterminer, sur des eemples numériques, les nombres tels que 2 = a, où a désigne un nombre positif. Sur des eemples numériques, où a et b sont deu nombres positifs, utiliser les égalités : ab= a b, a b = a b La touche de la calculatrice, qui a déjà été utilisée en classe de quatrième, fournit une valeur approchée d une racine carrée. Le travail mentionné sur les identités remarquables permet d écrire ( )( des ) égalités comme : 2+ 2 =, ( ) 2= es résultats, que l on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d un nombre positif, permettent d écrire des égalités telles que : 45=3 5, 4 3 = 2 3, 5 = 5 5. n habituera ainsi les élèves à écrire un nombre sous la forme la mieu adaptée au problème posé. Définition Définition : Soit a un nombre positif. Il eiste un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est appelé racine carrée de a, et est noté a. Vocabulaire : Le symbole est appelé radical ; dans l epression a, a est appelé radicande. Par eemple : Il eiste un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c est 3. n a donc 9=3 Il eiste un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l on note 2. e nombre n est ni un nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur eacte que sous la forme 2, mais on peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touche 2 : 2, Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des premiers carrés parfaits : a a ème Page /3 ours racines carrées

32 Premières propriétés : Pour tout nombre a positif, on a ( a ) 2 { = a a Pour tout nombre a, on a 2 = a si a 0. a 2 = a si a 0. La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir : a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par ( a ) 2 = a a 2 est le nombre positif dont le carré est égal à a 2. Par eemple, pour a= 3, cela donne 3 2 = 9=3 ( a 2 = a si a 0.). Pour a= 5, cela donne ( 5) 2 = 25=5= ( 5) ( a 2 = a si a 0.) 2 Produit, quotient de racines carrées Propriété : Pour tous nombres positifs a et b, on a a b= a b Preuve ( : a ) 2= ( a ) ( a ) b b b = ( a a ) ( b ) b = ( a ) ( 2 b ) 2= a b r, par définition, a b est l unique nombre positif dont le carré est égal à a b. n a donc a b= a b Propriété : Pour tous nombres positifs a et b (b 0), on a Preuve : ( ) 2 ( ) 2 a a a a a a = = = ( b ) 2 = a b b b b b b a r, par définition, a a b = b b est l unique nombre positif dont le carré est égal à a. n a donc b a a b = b Eemples d utilisation : 2 8= 2 8= 36=6 45= 9 5= 9 5=3 5= = = = = = 3 27 = 9 = = 9 3 Un eercice important : Ecrire sous la forme la plus simple possible = = = = = (3+2 0) 5 = 5 5 ttention : En règle générale, a+ b a+ b Voyez l eemple suivant : ; en effet : 6+ 9=4+3=7 mais 6+9= 25=5 3 ème Page 2/3 ours racines carrées

33 3 Equation 2 = a Un résultat important : Si a > 0, l équation 2 = a a deu solutions, qui sont a et a Si a = 0, l équation 2 = a a une seule solution, qui est 0. Si a < 0, l équation n a aucune solution Preuve : Si a> 0 alors 2 = a 2 a= 0 2 ( a ) 2 = 0 ( a )( + a ) = 0 Un produit est nul si et seulement si au moins l un des facteurs est nul a= 0 ou + a= 0 = a ou = a Par eemple : l équation 2 + 4=0, qui équivaut à 2 = 4, n a pas de solution ; en effet, un carré est toujours positif. l équation = 3+ 2, qui équivaut à 2 = 0, a une unique solution, qui est = 0. l équation 3 2 6=9, qui équivaut à 2 = 5, a deu solutions, qui sont 5 et 5. 4 omment éliminer le radical du dénominateur d une fraction? Premier eemple : n considère le nombre = n va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 2. n obtient alors : = (2 3+) = = Deuième eemple : 2 n considère le nombre = 2+ n va multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par ( 2 ), qui est appelée epression conjuguée de ( 2 ). n obtient alors : ( ) 2 2 = ( ) ( ) = 2 2 ( ) = En géométrie Diagonale d un carré Soit D un carré de côté d 2 = 2 = = = +=2 d où d = = 2 D Hauteur d un triangle équilatéral Soit un triangle équilatéral de côté h 2 = H 2 = 2 H 2 = 2 ( ) 2= 2 4 = 3 4 d où 3 h= H = 4 = 3 = d = h= 60 H 3 2 n en déduit les valeurs eactes des cosinus, sinus et tangentes des angles de 30, 45 et 60 degrés : Mesure de l angle (en degrés) Sinus de l angle osinus de l angle Tangente de l angle ème Page 3/3 ours racines carrées

34 HPITRE 8 FIHE D EXERIES : RINES RRÉES EXERIE alculer mentalement : = = = = ,09= = ,003 6= = = = = = = = ,44= ( ) 2 = ( ) 2= ,7 2 = = = = = = ( 3+4 ) 2= EXERIE 2 alculer à l aide de la calculatrice : 36+64= = = = = = = = Toujours à la calculatrice, donner un arrondi au centième près des nombres suivants : EXERIE 3 Ecrire plus simplement, après avoir développé et réduit les epressions numériques suivantes : Eemple : ( 3 2 ) 2 = = =7 4 3 ( 3)( +3)= (5+ 3) 2 = ( 2)(+ 2)= ( 5 2) 2 = ( 5 3)( 5+ 3)= ( 7+ 2) 2 = EXERIE 4 Ecrire plus simplement les epressions numériques suivantes : Eemples : 20= 4 5= 4 5= = = = = = = = = = = ème Page /2 Fiche d eercices

35 = = = EXERIE 5 Ecrire les nombres suivants avec un dénominateur entier : 0 = = EXERIE 6 n pose = + 3 et y = 2 3. n mettra les résultats sous la forme a+ b 3, où a et b sont des entiers.. alculer +y et y. 2. alculer 2 et y alculer 2 y 2 de deu manières différentes. EXERIE 8 Résoudre les équations suivantes : 3 5 = = = = EXERIE 7 n donne = n mettra les résultats sous la forme a+ b 2, où a et b sont des entiers.. alculer pour = 2 2. alculer pour = alculer pour = = = = = = = =2( 2 + ) = = = = = = EXERIE 9 Quelques problèmes à résoudre... Problème n Déterminer trois nombres entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à Problème n 2 Une pyramide à base carrée a une hauteur de 0 cm, et un volume de 480 cm 3. Quel est le côté du carré de base? Problème n 3 Une sphère a pour aire 628 cm 2. Quel est son rayon? (n prendraπ=3,4). Problème n 4 Un carré D de centre est tel que =3 cm. alculer le côté du carré D, puis calculer l aire eacte de ce carré. EXERIE 0 Est-il vrai que les nombres = 2+ 3 et = sont égau? Justifier votre réponse. 3 ème Page 2/2 Fiche d eercices