Espaces vectoriels euclidiens. () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40

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1 Espaces vectoriels euclidiens () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40

2 1 Produit scalaire, norme, espace euclidien 2 Orthogonalité Dans tout ce cours, E désigne un R espace vectoriel. () Espaces vectoriels euclidiens 2 / 40

3 Plan 1 Produit scalaire, norme, espace euclidien 2 Orthogonalité () Espaces vectoriels euclidiens 3 / 40

4 Définition et exemples Définition Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E, c est-à-dire une application E E R telle que : (x, y) (x y) 1 pour tous réels λ, µ et tous vecteurs x 1, x 2, y 1, y 2, x et y de E, on ait { (λx1 + µx 2 y) = λ(x 1 y) + µ(x 2 y) (x λy 1 + µy 2 ) = λ(x y 1 ) + µ(x y 2 ). (bilinéarité), 2 pour tout x, y E, (x y) = (y x) (symétrie), 3 pour tout x E, (x x) 0 et l on a : (x x) = 0 x = 0 (définie positive). () Espaces vectoriels euclidiens 4 / 40

5 Exemple: Le produit scalaire canonique sur R n est défini de la façon suivante : pour tous vecteurs x = (x 1, x 2,..., x n ) et y = (y 1, y 2,..., y n ) de R n, on pose (x y) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = n x k y k. Il est facile de vérifier que ceci est bien une forme bilinéaire, qui est symétrique, positive. Le caractère défini découle du fait qu une somme de nombres positifs est nulle si et seulement si chacun de ses termes est nul. On peut définir d autres produits scalaires sur R n : par exemple, on peut poser (x y) = n k=1 k x k y k. k=1 () Espaces vectoriels euclidiens 5 / 40

6 Exemple: Pour toutes fonctions f, g C([0; 1], R), on pose (f g) = 1 0 f (t)g(t) dt. D après la linéarité de l intégrale, cette application est une forme bilinéaire sur C([0; 1], R) qui est clairement symétrique. De plus, pour toute fonction f C([0; 1], R), on a (f f ) = 1 0 f 2 (t) dt 0 (positivité de l intégrale, f 2 étant positive) (f f ) = f 2 (t) dt = 0 f 2 = 0 f = 0 (1) (1) : f 2 est positive et continue. On a donc défini un produit scalaire sur l espace vectoriel C([0; 1], R). () Espaces vectoriels euclidiens 6 / 40

7 Proposition (Inégalité de Cauchy-Schwartz) Soit E un R espace vectoriel muni d un produit scalaire ( ). Pour tout x, y E, on a (x y) 2 (x x)(y y) avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires, autrement dit, (x y) 2 = (x x)(y y) µ R, x = µy ou y = µx. () Espaces vectoriels euclidiens 7 / 40

8 Démonstration. Soit x, y E. Si x = 0, alors (x y) = 0 et (x x) = 0 donc l égalité est vérifiée. Supposons maintenant x 0. Puisque le produit scalaire est défini positif, on a (x x) > 0. Soit λ R, on a (λx +y λx +y) = λ 2 (x x)+2λ(x y)+(y y) et (λx +y λx +y) 0 donc λ 2 (x x) + 2λ(x y) + (y y) 0 et ce pour tout λ R. Ce trinôme du second degré (car (x x) > 0) en λ est de signe constant, il a au plus une racine réelle et donc son discriminant est négatif, c est-à-dire autrement dit (x y) 2 (x x)(y y). = 4(x y) 2 4(x x)(y y) 0, () Espaces vectoriels euclidiens 8 / 40

9 De plus, si (x y) 2 = (x x)(y y) alors = 0 et le trinôme admet une racine double µ qui vérifie donc (µx + y µx + y) = 0 ce qui implique, puisque le produit scalaire est défini positif, que µx + y = 0, c est-à-dire que x et y sont colinéaires. Réciproquement, si x et y sont colinéaires, l égalité est clairement vérifiée. () Espaces vectoriels euclidiens 9 / 40

10 Norme associée à un produit scalaire Définition On appelle norme sur un R espace vectoriel E toute application N de E dans R telle que : 1 x E, N(x) 0, (positivité) 2 x E, N(x) = 0 x = 0, (séparation) 3 x E, λ E, N(λx) = λ N(x), (homogénéité) 4 x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) (inégalité triangulaire). () Espaces vectoriels euclidiens 10 / 40

11 Remarque: La norme N sur un R espace vectoriel E adapte aux espaces vectoriels la notion de longueur au sens commun du terme. En tant que tel, il est par exemple nécessaire que cet objet prenne des valeurs positives et que l inégalité triangulaire soit vérifiée. Définition Un R espace vectoriel est dit normé lorsqu il est muni d une norme. Un vecteur x d un R espace vectoriel E normé est dit unitaire lorsque N(x) = 1. () Espaces vectoriels euclidiens 11 / 40

12 Proposition (Norme associée à un produit scalaire) Dans un R espace vectoriel E muni d un produit scalaire ( ), l application. de E dans R définie par x E, x = (x x) est une norme sur E, appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire ( ). () Espaces vectoriels euclidiens 12 / 40

13 Démonstration. Il faut vérifier que les quatre propriétés de la norme sont vérifiées. Les points 1) et 2) découlent directement de la définition du produit scalaire. 3) Soit x E et λ R. On a λx = (λx λx) = λ 2 (x x) = λ (x x) = λ x. 4) Soit x, y E. On a x +y 2 = (x +y x +y) = (x x)+2(x y)+(y y) = x 2 + y 2 +2(x y) et ( x + y ) 2 = x 2 + y x y, or d après l inégalité de Cauchy-Schwartz, (x y) 2 (x x) (y y), c est-à-dire (x y) x y, ainsi 2(x y) 2 x y et x + y 2 ( x + y ) 2. On en déduit x + y x + y. () Espaces vectoriels euclidiens 13 / 40

14 Exemple: 1 Dans l espace R n muni du produit scalaire canonique, la norme du vecteur x = (x 1, x 2,..., x n ) est donnée par : x = x x x 2 n = n x 2 k. 2 Lorsque le produit scalaire sur R n est défini par (x y) = n kx k y k, la k=1 norme associée est donnée par x = x x nx 2 n. 3 Dans C([0, 1], R) muni du produit scalaire défini plus haut, la norme de la fonction f est donnée par 1 k=1 f = 0 f 2 (t) dt. () Espaces vectoriels euclidiens 14 / 40

15 Proposition (Cauchy-Schwartz reformulé) Soit E un R espace vectoriel muni d un produit scalaire ( ) auquel on associe la norme.. x, y E, (x y) x y (inégalité de Cauchy-Schwartz) avec égalité ssi la famille (x, y) est liée. () Espaces vectoriels euclidiens 15 / 40

16 Proposition Soit E un R espace vectoriel muni d un produit scalaire ( ) auquel on associe la norme.. Pour tout x, y E, on a : x + y 2 = x 2 + 2(x y) + y 2, x y 2 = x 2 2(x y) + y 2, (x y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) (identités de polarisation). () Espaces vectoriels euclidiens 16 / 40

17 Espaces euclidiens Définition Un espace vectoriel euclidien est un R espace vectoriel de dimension finie muni d un produit scalaire. () Espaces vectoriels euclidiens 17 / 40

18 Plan 1 Produit scalaire, norme, espace euclidien 2 Orthogonalité () Espaces vectoriels euclidiens 18 / 40

19 Désormais, E désigne un R espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire ( ). Par définition, E est de dimension finie. Définition Deux vecteurs x et y de E sont dit orthogonaux si et seulement si (x y) = 0. Remarque: Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur. () Espaces vectoriels euclidiens 19 / 40

20 Familles et bases orthogonales, orthonormales Définition Une famille (x 1,..., x n ) de vecteurs de E est dite orthogonale si et seulement si ses éléments sont orthogonaux deux à deux, autrement dit, si et seulement si, i, j [[1, n]], i j = (x i x j ) = 0. () Espaces vectoriels euclidiens 20 / 40

21 Proposition Une famille orthogonale de cardinal fini dont aucun vecteur n est nul est libre. Démonstration. Soit (x 1, x 2,..., x n ) une famille orthogonale dont aucun vecteur n est nul. Soit λ 1, λ 2,..., λ n K. Supposons que λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n = 0. Pour tout i [[1, n]], on a alors (λ 1 x 1 + λ 2 x λ n x n x i ) = λ i (x i x i ) = 0 et donc λ i = 0 (on a (x i x i ) > 0 car x i 0 E ). Donc λ 1 = = λ n = 0 et la famille est libre. () Espaces vectoriels euclidiens 21 / 40

22 Théorème (Théorème et propriété de Pythagore) 1 Soit x, y E. On a les équivalences : x y x + y 2 = x 2 + y 2 x y 2 = x 2 + y 2. (Théorème de Pythagore) 2 Soit (x 1, x 2,..., x n ) une famille orthogonale de vecteurs de E. On a n 2 x i = i=1 n x i 2. i=1 () Espaces vectoriels euclidiens 22 / 40

23 Définition Une famille (x i ) i I de vecteurs de E est dite orthonormale (ou orthonormée) si et seulement si ses éléments sont orthogonaux deux à deux et si chaque vecteur est unitaire, autrement dit, si et seulement si, i, j I, i j = (x i x j ) = 0 et i I, (x i x i ) = 1. () Espaces vectoriels euclidiens 23 / 40

24 Proposition Soit (e 1, e 2,..., e n ) une famille orthonormale de E. 1 La famille (e 1, e 2,..., e n ) est libre. 2 Si x = n λ i e i alors pour tout i [[1, n]], on a λ i = (e i x). i=1 Démonstration. 1. découle de la proposition précédente. 2. Par bilinéarité du produit scalaire, on a pour tout i [[1, n]], ( ) n n (e i x) = e i λ i e i = λ j (e i e j ) = λ i. i=1 j=1 () Espaces vectoriels euclidiens 24 / 40

25 On a vu en géométrie plane et en géométrie dans l espace que bien des résultats s énoncent facilement dès que l on travaille dans une base orthonormale, en particulier tous ceux faisant appel au produit scalaire. Nous allons voir ici que ceci se généralise dans tout espace vectoriel de dimension finie n. Définition Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Toute famille orthonormale à n éléments est une base de E appelée base orthonormale. Remarque: C est bien une base puisque c est une famille libre (car orthonormale) à n éléments dans un espace de dimension n. () Espaces vectoriels euclidiens 25 / 40

26 Théorème Tout espace vectoriel euclidien possède au moins une base orthonormale. L intérêt de ce type de base provient de l expression particulièrement simple du produit scalaire en fonction des coordonnées. Proposition Soit (e 1, e 2,..., e n ) une base orthonormale d un espace vectoriel euclidien de dimension n. Si x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n et y = y 1 e 1 + y 2 e y n e n, alors (x y) = x 1 y 1 +x 2 y 2 + +x n y n et x = x x x n 2. () Espaces vectoriels euclidiens 26 / 40

27 Remarque: 1 L expression du produit scalaire dans une base orthonormée est donc la même que obtenue avec le produit scalaire canonique de R n. 2 Matriciellement, si on représente les coordonnées de x et y dans une base orthonormale par les matrices unicolonnes X et Y : Proposition (x y) = t XY et x = t XX. Soit (e 1,..., e n ) une base orthonormale d un espace vectoriel euclidien de dimension n. n 1 Pour tout x E, on a x = (x e i ) e i. i=1 2 Pour tous x, y E, on a n (x y) = (x e i )(y e i ) et x = n (x e i ) 2. i=1 i=1 () Espaces vectoriels euclidiens 27 / 40

28 Sous-espaces vectoriels orthogonaux, supplémentaire orthogonal Définition Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits orthogonaux si et seulement si x F, y G, (x y) = 0, c est-à-dire si, et seulement si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G. On note alors F G. () Espaces vectoriels euclidiens 28 / 40

29 Proposition Si deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont orthogonaux, alors F G = {0}. Démonstration. Nous démontrons la contraposée, c est-à-dire : Si F G {0}, alors F et G ne sont pas orthogonaux. Supposons qu il existe x F G non nul. Alors x F, x G et (x x) > 0 donc il existe un vecteur de F qui n est pas orthogonal à tout vecteur de G. Les sous-espaces vectoriels F et G ne sont donc pas orthogonaux. () Espaces vectoriels euclidiens 29 / 40

30 Définition Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de F l ensemble, noté F, des vecteurs de E orthogonaux à tous les éléments de F : F = {x E, y F, (x y) = 0}. () Espaces vectoriels euclidiens 30 / 40

31 Lemme Soit F un sous-espace vectoriel de E. On munit F d une base (e 1,..., e p ). Un élément x de E appartient à F si et seulement si x est orthogonal à chaque vecteur e i (i {1,..., p}). Démonstration. Si x appartient à F, il est évident que x est orthogonal à chaque vecteur e i (i {1,..., n}). Supposons maintenant que x est orthogonal à chaque vecteur e i (i {1,..., n}). Soit y F. Il existe p (a 1,..., a p ) K p, tel que y = a i e i. On a i=1 (x y) = (x p a i e i ) = i=1 p i=1 a i (x e i ) = 0 }{{} =0 donc x et y sont orthogonaux. Comme ceci est valable pour tout vecteur y de F, x appartient à F. () Espaces vectoriels euclidiens 31 / 40

32 Proposition L orthogonal F d un sous-espace vectoriel F de E est un sous-espace vectoriel de E. Les sous-espaces vectoriels F et F sont orthogonaux et F est un supplémentaire de F dans E. Le sous-espace vectoriel F est appelé le supplémentaire orthogonal de F. Démonstration. Montrons tout d abord que F est un s.e.v. de E. D abord, 0 F car 0 est orthogonal à tout vecteur de E, donc en particulier à tout vecteur de F. () Espaces vectoriels euclidiens 32 / 40

33 Montrons maintenant que la partie F est stable par combinaison linéaire : soit x, y F et λ, µ R. Pour tout vecteur w de F, on a (λx + µy w) = λ(x w) + µ(y w) = λ 0 + µ 0 = 0 donc λx + µy F. Finalement, F est un sous-espace vectoriel de E. Par définition, tout vecteur de F est orthogonal à tous les vecteurs de F donc F et F sont orthogonaux. On a donc directement F F = {0}. Pour montrer que F est un supplémentaire de F, il suffit de montrer que tout vecteur de E est la somme d un vecteur de F et d un vecteur de F. () Espaces vectoriels euclidiens 33 / 40

34 Analyse : Soit x E. Supposons qu on ait trouvé une décomposition de x sous la forme : x = x F + x F où x F F et x F F. Soit (e 1, e 2,..., e p ) une base orthonormale de F. Puisque x F F, on peut p écrire : x F = (x F e i ) e i. Or pour tout i {1,..., p}, on a i=1 (x F e i ) = 0 puisque x F est orthogonal à tous les vecteurs de F donc On a donc x F = (x e i ) = (x F + x F e i ) = (x F e i ) + (x F e i ) = (x F e i ) p (x e i ) e i. i=1 () Espaces vectoriels euclidiens 34 / 40

35 Synthèse : Posons x F = y = x p (x e i ) e i. Le vecteur x F appartient à F. Posons i=1 p (x e i ) e i de sorte que l on ait x = x F + y. Vérifions que i=1 y F : pour tout k [[1, p]], ( ) p (y e k ) = x (x e i ) e i ek = (x e k ) i=1 = (x e k ) (x e k ) = 0 p (x e i )(e i e k ) donc x est orthogonal à chaque vecteur e k. Il appartient donc à F. On en déduit que E = F + F. Finalement, on a F F = E. i=1 () Espaces vectoriels euclidiens 35 / 40

36 Projections et symétries orthogonales Définition Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On appelle projection orthogonale sur F la projection p sur F parallèlement à F, c est-à-dire l application linéaire p : E = F F E x = x 1 + x 2 x 1, avec x 1 F et x 2 F. Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien, F un sous-espace vectoriel de E et p la projection orthogonale sur F. Si (e 1, e 2,..., e p ) est une base orthonormale de F, alors pour tout x E, on a p(x) = p (x e i )e i. i=1 () Espaces vectoriels euclidiens 36 / 40

37 Définition Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie s par rapport à F parallèlement à F, c est-à-dire l application linéaire s : E = F F E x = x 1 + x 2 x 1 x 2, avec x 1 F et x 2 F. () Espaces vectoriels euclidiens 37 / 40

38 Proposition Soit E un espace vectoriel euclidien, F un sous-espace vectoriel de E et s la symétrie orthogonale par rapport à F. Si (e 1, e 2,..., e p ) est une base orthonormale de F, alors pour tout x E, on a s(x) = 2 p (x e i )e i x. Démonstration. C est une conséquence immédiate de la relation s = 2p Id E où p désigne la projection orthogonale sur F. i=1 () Espaces vectoriels euclidiens 38 / 40

39 Distance d un vecteur par rapport à un sous-espace vectoriel Définition Soit E un espace vectoriel euclidien, F un sous-espace vectoriel de E et x un vecteur de E. On appelle distance de x à F et l on note d(x, F ) le réel défini par d(x, F ) = x p F (x) où p F (x) est le projeté orthogonal de x sur F. C est la plus petite distance possible entre le vecteur x et un vecteur de F. () Espaces vectoriels euclidiens 39 / 40