Travaux dirigés Feuille d exercices 1

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1 LM372 Année académique Anneaux, généralités Travaux dirigés Feuille d exercices 1 Exercice 1 Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G) l ensemble des endomorphismes de G, sur lequel on défini la loi + par G f+g G Montrer que (End(G), +, ) est un anneau. x f(x) + g(x) C est une simple vérification. Exercice 2 Soit (A, +, ) un anneau. On dit que x A est niltpotent s il existe un entier n > 0 tel que x n = 0. (1) Montrer que si x est nilpotent alors 1 x est inversible. (2) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent alors xy et x+y sont nilpotents. (3) Un corps admet-il des éléments nilpotents? (1) Supposons que x n = 0. En posant y = 1 + x + + x n 1, on obtient les relations (1 x)y = 1 x n = 1, ce qui montre que 1 x est inversible. (2) Pour la somme, il suffit de procéder comme dans la correction de l exercice 6 ci-dessous. Pour le produit, si x, y A sont tels que x n = y m = 0 alors, en posant r = min{n, m}, on obtient (xy) r = x r y r = 0. 1

2 2 Le produit xy est don un élément nilpotent. (3) Dans un corps K l élément neutre 0 (par rapport à la somme) est le seul nilpotent. En effet, pour tout x K, en notant y son inverse, si l on avait x n = 0, on en déduirait les relations ce qui est absirde. 0 = x n y n = (xy) n = 1 n = 1, Exercice 3 Soit (A, +, ) un anneau. On appelle centre de A l ensemble C = {x A xy = yx y A}. Montrer que C est un sous-anneau de A. C est une simple vérification. Exercice 4 Soient A et B deux anneaux. On définit sur A B les lois { (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) (x, y) (x, y ) = (xx, yy ) (1) Montrer que A B est un anneau. (2) Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A B. (1) C est une simple vérification. (2) Le produit A B n est jamais un corps. Il suffit par exemple de considérer les éléments x = (1, 0) et y = (0, 1) qui sont non nuls, vérifient la relation xy = 0 et ne peuvent donc pas être inversibles. En effet, si x était invesible, d inverse z, on obtiendrait les relations 0 = xy = z(xy) = (zx)y = y 0, ce qui est absurde. Le même raisonnement s applique en supposant que y est inversible. Exercice 5 Considérons les ensembles Z[i] = {a + ib, a, b Z} Q[i] = {a + ib a, b Q} C. (1) Montrer que Z[i] et Q[i] sont des anneaux commutatifs pour les lois usuelles de C. (2) Montrer que Q[i] est un corps. (3) Déterminer les éléments inversibles de Z[i]. (1) C est une simple vérification.

3 3 (2) Pour tout z = a + ib Q[i], pososn z = a ib et N(z) = z z = a 2 + b 2 Q. On a N(z) = 0 si et seulement si z = 0. Ceci découle des inégalités a 2 0 et b 2 0. Pour tout z Q[i] non nul, le rationnel N(z) est non nul, donc inversible (car Q est un corps). on vérifie alors immédiatement que l élément t = 1 z Q[i] N(z) est l inverse de z. On en déduit donc que Q[i] est un corps. (3) Montrons qu un élément z Z[i] est inversible si et seulement si N(z) Z est inversible. Tout d abord, si N(z) est inversible alors l expression ci-dessus montr que l inverse de z (considéré en tant qu élément de Q[i]) appartient à Z[i]. Pour la réciproque, on vérifie facilement zt = zt, valable pour tous z, t Q[i]. En particulier, on obtient N(zt) = N(z)N(t). Si z Z[t] est inversible, d inverse t Z[t], zt = 1 amène alors à la relation N(z)N(t) = 1, avec N(z) et N(t) entiers. On en déduit donc que N(z) est inversible (et positif). En résumé, un éléments de Z[i] est inversible si et seulement si il est de norme 1, ce qui donne explicitement Z[i] = {1, 1, i, i}. Exercice 6 Soit A un anneau commutatif. Montrer que l ensemble N (A) des éléments nilpotents de A (cf. exercice 2) est un idéal. Déterminer N (Z/72Z). Tout d abord, on a clairement 0 N (A). Soient x, y N (A), avec x n = y m = 0. On a alors n+m 1 ( ) n + m 1 (x y) n+m 1 = ( 1) n+m 1 i x i y n+m 1 i. i i=0 Pour i < n, on a les inégalités n + m 1 i > m 1 m et donc y n+m 1 i = 0. Pour i m on a x i = 0. On obtient donc la relation (x y) n+m 1 = 0, ce qui implique que l élément x y est nilpotent. On en déduit que N (A) est un sous-groupe de A. Finalement, pour tout a N (A) et tou b A, si a n = 0, on obtient alors (ab) n = a n b n = 0, d où ab N (A). On en conclut donc que N (A) est un idéal. Considérons maintenant le cas A = Z/72Z. Pour tout entier n, notons n son image canonique dans A. L élément n est nilpotent si et seulement s il existe un entier m tel que 72 divise n m. On a la factorisation 72 = En considérant la décomposition en facteurs premiers n = p pep, on en déduit que n est nilpotent si et seulement si les entiers e 2 et e 3 sont non nuls, ce qui revient à affirmer que n est divisible par 6. On obtient donc N (A) = 6A = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 }. Exercice 7 Montrer que tout anneau fini commutatif intègre est un corps. Soit R un anneau fini intègre et fixons un de ses élément x 0. On peut alors considérer l application R ϕ R y xy

4 4 qui est en fait un homomorphisme de groupe. L anneau étant intègre, le noyau de ϕ est trivial. On en déduit que ϕ est injective et donc surjective (car R est fini). En particulier, il existe un élément y R tel que ϕ(y) = xy = 1. En d autres termes, y est l inverse de x. Tout élément non nul de R admet donc un inverse, ce qui implique que R est un corps. Exercice 8 Soient a, b et c trois idéaux d un anneau commutatif A. Montrer que si a est contenu dans b c alors on a a b ou a c. Procédons par l absurde, en upposant que a n est contenu ni dans b, ni dans c. Soient donc b, c a tels que b / c et c / b. L inclusion a b c amène alors aux relations b b et c c. L élément d = b + c appartient alors à a mais ne peut appartenir ni à b ni à c. En effet si l on avait d b. on obtiendrait la relation c = d b b, ce qui est exclu. Le même raisonnement montre que d n appartient pas à c et l on obtient donc une contradiction. Exercice 9 Soit R un anneau fini commutatif réduit i.e. sans nilpotents non nuls (cf. exercice 2). (1) Soit p un idéal minimal non nul 1 de R. Montrer que p est principal (indication: montrer que si x p est non nul, alors p = xr.) (2) Montrer que si un idéal a de R ne contient pas p alors on a a p = 0. (3) Montrer qu il existe un élément e p tel que ex = x pour tout x p. (4) Montrer que p, muni des opérations de somme et de produit définies sur R est un corps ayant e comme élément neutre pour le produit. (5) Montrer qu il existe un homomorphisme canonique R p (indication: considérer la multiplication par e). (6) Soient p 1,..., p n les idéaux minimaux non nuls de R et indiquons par e 1,..., e n leurs éléments neutres respectifs. Montrer que e e n = 1. (7) En déduire qu il existe un isomorphisme canonique entre R et p 1 p n. En résumé, tout anneau fini sans nilpotents est un produit de corps. (1) Pour tout élément non nul x p, l idéal xr est non nul et contenu dans p. Par minimalité, on a donc p = xr. (2) Si a ne contient pas p alors a p est strictement contenu dans p. Par minimalité, on a donc p a = 0. (3) Par hypothèse, on a x 2 0, en particulier, toujours par minimalité, on a x 2 R = p. Il existe donc un élément a R tel que ax 2 = x. Montrons que l élément e = ax p vérifie ey = y pour tou y p. En effet, on a y = bx, et donc ey = abx 2 = bx = y. (4) Montrons que tout élément non nul y p admet un inverse: on a yp 0 car y = ey p. En particulier, par minimalité, on a yp = p. Il existe donc un élément z p tel que yz = e. 1 On dit que l idéal non nul p est minimal si pour tout idéal q p, l inégalité q 0 est équivalente à q = p. En d autre termes, il n existe pas d idéaux non nuls strictement contenus dans p.

5 5 (5) Il suffit de considérer l application f : R p définie par f(x) = ex. On a clairement f(x + y) = f(x) + f(y). De plus, e 2 = e amène aux relations f(xy) = exy = e 2 xy = exey = f(x)f(y) et l application f est bien un homomorphisme d anneaux. (6) Posons e = e e n et montrons que e = 1: soit x R et considérons l élément y = x ex. Si y 0, il existe alors un idéal minimal p i contenu dans a = yr. En particulier, on obtient p i = e i a (cf. le point 2). D autre part, on a les relations e i y = e i x e i ex = e i x e i x = 0, car pour j i, e i e j p i p j = 0 (cf. le point 2). On obtient alors p i = e i a = 0, ce qui est absurde. On a donc ex = x pour tout x R, ce qui donne e = 1. (7) L application naturelle ϕ p 1 p n R (x 1,..., x n ) x x n est un homomorphisme d anneaux. En effet, la relation ϕ(x 1 + y 1,..., x n + y n ) = ϕ(x 1,..., x n ) + ϕ(y 1,..., y n ) est immédiate. On a de plus les identités ϕ(x 1 y 1,..., x n y n ) = x 1 y x n y n = (x x n )(y y n ) = ϕ(x 1,..., x n )ϕ(y 1,..., y n ), car x i y j = 0 pour i j (toujours par le point 2). Finalement, e 1 + +e n = 1 implique que l homomorphisme ϕ est l inverse de l homomorphisme R ψ p 1 p n x (e 1 x,..., e n x) obtenu en considérant le produit des homomorphismes définis dans le point 5.