TS Bac blanc n 4 (corrigé) Avril 2016

Transcription

1 TS Bac blanc n (corrigé) Avril 06 Exercice (Pour les non spécialistes) Les parties sont indépendantes. Partie A ) Avec la calculatrice, PX 85 0, La probabilité qu un bocal soit mal rempli est 0,. ) Avec la calculatrice, P9 X 58 0, 7. La probabilité qu un bocal pèse entre 9g et 9g est 0, 7. 3) P500 h X 500 h 0, 9 P h X 500 h 0, 9 P h T h 0, 9 où T suit la loi normale centrée réduite P T h 0, 9 P T h 0, 95 Avec la calculatrice, h, 6 donc h 9, 68. Partie B ) On répète n 00 fois la même expérience : "prélever un bocal". Il y a deux issues : - le succès "le bocal est mal rempli" de probabilité p 0, 0; - l échec : "le bocal est bien rempli" de probabilité p 0, 98. Les expériences sont indépendantes (on a un schéma de Bernoulli) La variable aléatoire Y qui compte le nombre de succès (nombre de bocaux mal remplis) suit la loi binomiale de paramètres n 00 et p 0, k 0 ; ;.... ; 00, PY k 0, 0 k 0, 98 00k k ) L espérance de Y est EY np 00 0, 0 L écart type de Y est Y np p 00 0, 0 0, ) PY 00 0, 0 0, , 5 ou avec la calculatrice. Partie C ) ) A et A forment une partition de l univers donc, 0, 8 A 0, 0 M 0, 99 M 0, A M M d après la formule de probabilités totales, PM PA M P A M PM PA P A M P A P A M 0, 0 0, 8 0, 0 0, P A M P A M P A M 0, 06 0, 0 0, 008 0, La probabilité qu un bocal fourni par B soit mal rempli est 0, 06. Exercice (Pour tous)

2 Partie A (sans repère) ) IK IB BC CK d après la relation de Chasles IK AB AD 3 CG car I est le milieu de AB et ABCD est un carré IK AB AD 3 AE AL AE EL AL AE 3 AC 3 BC AL AE 3 AB AD 3 AD AL 3 AB 3 ADAE ) 3 AL 3 3 AB 3 ADAE AB AD 3 AE IK Donc les vecteurs AL et IK sont colinéaires donc les droites IK et AL sont parallèles. Partie B (avec repère) ) A 0 ; 0 ; 0 I ; 0 ; 0 J 0 ; ; ) K ; 3 ; JK passe par J 0 ; ; et a pour vecteur directeur JK ; ; 0 donc une représentation paramétrique de JK est : x t y t z, t ou Mx; y; z JK les vecteurs JM et JK sont colinéaires il existe t tel que JM tjk 3) Je résous le système : x t y t z 0 t s t 0, t s t Les droites JK et de DC sont sécantes en Z ; 0 ; x t y t z, t ) Les droites et JK sont parallèles donc JK ; ; 0 est un vecteur directeur de. De plus x t I donc une représentation paramétrique de est y t, t. 5) Voir figure 6) D une part, IK D autre part, IJ JK Donc IK IJ JK donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en J. z 0

3 Exercice 3 (Pour tous) Partie A ) z A e i z B 3 i ei 5 6 z C 3 i ei 6 ) OA z A OB z B OC z C OA OB OC donc les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon. 3) z B z A 3 i i 3 3i 3 3i 6i 3 6 z C z A 3 i i 3 3i 3 3i i 3 e i 3. ) arg z B z A z C z A e i 3 AB AC AB AC z B z A z C z A arg e i 3 mes AC, AB 3 Donc le triangle ABC est équilatéral. 5) z z 3 i z M z O z M z B OM BM L ensemble E est la médiatrice du segment OB. Partie B ) Voir figure

4 ) n, d n z n i z n i z n d n donc la suite d n est une suite géométrique de raison. 3) a) L algorithme calcule et affiche d N où N est un entier naturel choisi par l utilisateur. b) ) n, d n d 0 n n d n 0 0 n 0 0 n 0 0 n ln ln n Or ln 00 ln ln 00 ln 00 car ln Exercice (Pour tous) Variables d, i, n, p Traitement Saisir p 0 n d Tant que d 0 p n n d d Fin boucle tant que Afficher n car ln est strictement croissante sur 0 35, 3 par excès donc le plus petiut entier n tel que d n 0 0 est n 36 Partie A ) u est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables. x, u x x. x, x 0 donc u x 0 Donc u est strictement croissante sur. ) x lim ln x et x limx 3 donc, par limite de somme, x lim fx. lim ln x et limx 3 3 donc, par limite de somme, lim fx. x0 x0 x0 Sur, u est continue (car dérivable) et strictement croissante à valeurs sur. Or 0 donc, d après le CTVI, l équation ux 0 admet une unique solution sur. u ln , u 0 et u3 ln On a u u u3 donc, par stricte croissance de u sur, 3. 3) u est strictement croissante sur et u 0 donc, on a le tableau de signes suivant : x 0 signe de ux 0 Partie B ) lim x0, x0 x donc, par limite de somme, lim x0, x0 x

5 lim ln x x0, x0 Donc, par limite de produit et somme, lim fx. x0, x0 ) a) f est dérivable sur comme produit et somme de fonctions dérivables. x, f x x ln x x x ln x x ux. x x b) x, x 0 donc f x est du signe de ux. x 0 signe de f x 0 variations de f f Donc f est strictement décroissante sur 0 ; et strictement croissante sur ;. Partie C ) x, fx lnx lnx ln x x x ln x ln x x. Le point M de coordonnées x ; y (avec x 0) appartient aux courbes C et C y fx y lnx fx lnx y lnx fx lnx 0 y lnx fx lnx 0 y lnx ln x x 0 y lnx ln x 0 (car x 0) y lnx ln x y lnx x e car exp et ln sont réciproques l une de l autre y Donc C et C ont un seul point commun de coordonnées e ;. ) x e I ln x x est continue sur ; e donc l intégrale I est bien définie. ln x x e dx e On a I fx ln xdx. Etudions, pour x ; e x ; e, x 0 x ln x x dx ln x ln e x, le signe de fx ln x ln x x.

6 x ; e, x e donc, par stricte croissance de la fonction ln, 0 ln x donc ln x 0 On en déduit que, x ; e, ln x x 0 donc fx ln x 0 donc fx ln x Les fonctions f et x ln x sont continues sur ; e avec e et pour tout x ; e, on a fx ln x donc : I est l aire, en unités d aire, du domaine délimité par les courbes C et C et les droites d équation x et x e