BTS Blanc Épreuve de Mathématiques du Groupement A

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1 BTS Blanc Épreuve de Mathématiques du Groupement A La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage d un instrument de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. Exercice Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ). On note j le nombre complexe de module et dont un argument est. Soit T la fonction définie pour t réel strictement positif par : (8 points) T (t) = z (t) z (t) avec z (t) = + j t et z (t) = + j t ) Montrer que T (t) = 3 + où h(t) = t t ) Étudier les variations de h sur ] ; + [ et préciser les limites de h en + et en +. 3) Quel est l ensemble (E ) des points du plan d affixes z = lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [? 4) Quel est l ensemble (E ) des points du plan d affixes z = l intervalle ] ; + [? lorsque t parcourt 5) Déduire des questions précédentes l ensemble (E 3 ) des points du plan d affixes T (t) lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [ 6) Tracer sur la même figure les ensembles (E ), (E ) et (E 3 ). (On prendra une unité graphique de 6 cm sur les deux axes) 7) On note ϕ(t) un argument de T (t) dont la mesure est comprise entre et. Déterminer à l aide de la représentation graphique de (E 3 ) la valeur maximale atteinte par l argument ϕ(t) lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [ / BTSblanc-A-.tex

2 Exercice ) Soit la fonction numérique f définie sur R par f f de période paire t f(t) = t f(t) = t ( points) si t < si t < a) Représenter graphiquement la fonction f sur l intervalle [ ; 4]. b) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichelet. c) Déterminer t S(t) le développement de Fourier associé à f. On montrera que : a n = (cos ( n ) ( ) n) pour n n d) Calculer f e le carré de la valeur efficace de f. ) On considère la fonction numérique g définie sur R par : g : t g(t) = cos(t) cos(t) a) Calculer avec la formule de Parseval g e le carré de la valeur efficace de g. b) Calculer à 3 près, une valeur approchée du rapport g e. fe 3) On considère un système physique régi, sur l intervalle [ ; + [, par l équation : s(t) + t s(u) du = f(t) () Dans cette équation, on remplace f par g et on suppose que la fonction s est dérivable sur l intervalle [ ; + [ a) Montrer que sur l intervalle [ ; + [, l équation () peut s écrire : + s(t) = sin(t) + sin(t) () b) Déterminer une solution particulière de l équation : c) Déterminer une solution particulière de l équation : + s(t) = sin(t) + s(t) = sin(t) d) Résoudre l équation () et déterminer la solution particulière vérifiant : s() = / BTSblanc-A-.tex

3 BTS Blanc (Solution) Épreuve de Mathématiques du Groupement A Exercice Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ). On note j le nombre complexe de module et dont un argument est. Soit T la fonction définie pour t réel strictement positif par : (8 points) T (t) = z (t) z (t) avec z (t) = + j t et z (t) = + j t ) Montrer que T (t) = 3 + où h(t) = t t z (t) z (t) = jt + + jt jt = ( + jt) jt = jt + t j = + jt + j t = + j = T (t) = jt 4t jt ( t + ) = + j h(t) t ) Étudier les variations de h sur ] ; + [ et préciser les limites de h en + et en +. h(t) = t t donc h (t) = + t > t + h (t) + + h(t) 3) Quel est l ensemble (E ) des points du plan d affixes z = lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [? j jr 3 j E E est la droite verticale d équation x = 3 R 3 / 8 BTSblanc-A-.tex

4 4) Quel est l ensemble (E ) des points du plan d affixes z = l intervalle ] ; + [? lorsque t parcourt j jr E E 3 j R E est le cercle de rayon 6 et de centre d affixe ( 6 ) 5) Déduire des questions précédentes l ensemble (E 3 ) des points du plan d affixes T (t) lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [ E 3 est le cercle de rayon 6 et de centre d affixe ( 5 6 ) 6) Tracer sur la même figure les ensembles (E ), (E ) et (E 3 ) (On prendra une unité graphique de 6 cm sur les deux axes) jr E j E E 3 3 R 4 / 8 BTSblanc-A-.tex

5 7) On note ϕ(t) un argument de T (t) dont la mesure est comprise entre et. Déterminer à l aide de la représentation graphique de (E 3 ) la valeur maximale atteinte par l argument ϕ(t) lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [ jr j 6 A E E 3 Ω R Soit ϕ max la valeur maximale de l argument ϕ(t) lorsque t parcourt l intervalle ] ; + [ On trace à partir de O la tangente OA au cercle E 3. Le triangle OAΩ est rectangle en A et ϕ max = ΩOA AΩ = 6 et OΩ = 5 6 donc : sin(ϕ max ) = 5 et : ϕ max = arcsin ( ), rd / 8 BTSblanc-A-.tex

6 Exercice ) Soit la fonction numérique f définie sur R par f f de période paire t f(t) = t f(t) = t ( points) si t < si t < a) Représenter graphiquement la fonction f sur l intervalle [ ; 4]. f(t) O 3 4 t b) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichelet. Sur l intervalle [ ; ] la fonction f est continue partout et dérivable sauf pour t =, pour t = et pour t = 3, mais les limites suivantes sont finies : ( ( f ( ( = f ( ) = f 3 = ( ( f ( + ( = f ( + ) = f 3 + = Donc f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série de Fourier, et S(t) = f(t) pour tout t. c) Déterminer t S(t) le développement de Fourier associé à f. On montrera que : a n = (cos ( n ) ( ) n) pour n n La période est T = donc : ω = f est paire donc : b n = a = f(t) = = ( ( ) [ + t t ] f(t) = ) = 4 + ( + ( ( ) ( ( t) 8 ) a = / 8 BTSblanc-A-.tex

7 On fera une intégration par partie : u = t dv = cos(nt) du = v = sin(nt) n a n = f(t) cos(nt) = f(t) cos(nt) ( = ) cos(nt) + ( t) cos(nt) ( = [ sin(nt) ] [ + ( t) sin(nt) ] + ) sin(nt) n n n = ( ( sin(n ( ) ( ) ( sin(n + + [ cos(nt) ] ) n n n n = ( ( ) ( ( )n cos(n ) n n n a n = (cos ( n ) ( ) n) n d) Calculer fe le carré de la valeur efficace de f. fe = f (t) = ( f (t) = ) 4 + ( t) = ( ( ) 3 [ ] ) + t t + t3 = ( ( ) ( f e = 6 ) On considère la fonction numérique g définie sur R par : g : t g(t) = cos(t) cos(t) a) Calculer avec la formule de Parseval g e le carré de la valeur efficace de g. ( 3 ge = 8 ) ( ( ) ( + + g e = b) Calculer à 3 près, une valeur approchée du rapport g e f e ge fe, / 8 BTSblanc-A-.tex

8 3) On considère un système physique régi, sur l intervalle [ ; + [, par l équation : s(t) + t s(u) du = f(t) () Dans cette équation, on remplace f par g et on suppose que la fonction s est dérivable sur l intervalle [ ; + [ s(t) + t s(u) du = cos(t) cos(t) a) Montrer que sur l intervalle [ ; + [, l équation () peut s écrire : + s(t) = sin(t) + sin(t) () Il suffit de dériver l équation () b) Déterminer une solution particulière de l équation : + s(t) = sin(t) s(t) = a cos(t) + b sin(t) a + b = a = 5 s (t) = a sin(t) + b cos(t) b a = b = 4 5 s(t) = 5 cos(t) 4 5 sin(t) c) Déterminer une solution particulière de l équation : + s(t) = sin(t) s(t) = a cos(t) + b sin(t) a + b = a = s (t) = a sin(t) + b cos(t) b a = b = s(t) = cos(t) + sin(t) d) Résoudre l équation () et déterminer la solution particulière vérifiant : s() = s(t) = s(t) = ke t + 5 cos(t) 4 5 sin(t) cos(t) + sin(t) s() = k + 5 = donc : k = 5 ( ) e t cos(t) 4 5 sin(t) cos(t) + sin(t) 8 / 8 BTSblanc-A-.tex