Effet Doppler Acoustique

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1 OPo Effet Doppler Aoustique Résumé Soit une soure d ondes périodiques de fréquene ν en mouvement par rapport à un observateur. Ce dernier perçoit une fréquene ν différente de ν et qui dépend de sa vitesse par rapport à la soure. Ce phénomène est appelé effet Doppler. Il est utilisé pour déterminer des vitesses. Par exemple, la vitesse radiale des étoiles est mesurée par l analyse de la lumière qu elles émettent (onde életromagnétique) ; la vitesse du sang est déterminée par la réflexion d ondes aoustiques.

2 TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Théorie L onde aoustique Les ondes périodiques Effet Doppler Phénomène des battements Superposition de deux signaux déphasés L onde sphérique Transduteur életroméanique Manipulations Appareils utilisés Montage expérimental Plan de travail Rappel Mesures Mesure de la fréquene ν Mesure de par différene de fréquenes Mesure de par la méthode des battements Mesure de par la superposition de signaux déphasés Conlusion

3 1 Théorie 2 1 Théorie 1.1 L onde aoustique Une onde est la variation d une grandeur physique qui se propage dans l espae à une ertaine vitesse. Une onde se déplaçant dans un milieu fluide est dite aoustique et est interprétée omme suit : un mouvement loal du fluide entraîne un hangement loal de densité ; un hangement de densité entraîne une variation de pression ; une différene de pression entraîne un mouvement loal du fluide. Le mouvement du fluide et la diretion de propagation ne doivent pas être onfondus. Pour des ondes aoustiques ils sont parallèles : l onde est longitudinale. L amplitude de l onde dépend des deux variables x et t. 1.2 Les ondes périodiques Une onde est périodique de période T s il existe T tel que la valeur de l amplitude à l instant t+t est la même qu à l instant t, pour tout t et tout x. Il est lair que l onde est également périodique de période nt ; la plus petite valeur de T satisfaisant la ondition définit don la période. Dans e as, on parle également de fréquene ν omme le nombre de périodes par unité de temps et de la pulsation ω : ν = 1 T [Hz] ω = 2πν [s 1 ] (1.1) Les ondes aoustiques dans la gamme de fréquenes omprise entre 20 Hz et 20 khz environ produisent des effets audibles ; on parle d ondes sonores. Les ultrasons sont des ondes aoustiques ave des fréquenes supérieures à 20 khz. L étude générale de l onde périodique se réduit à elle d une onde sinusoïdale de la forme : ( ) 2π o(x, t) = a os T (x t) = a os(ωt kx) (1.2) Le terme (x t) traduit la propriété que possède l onde de se propager à la vitesse. Le nombre d onde k vaut : k = ω [m 1 ] (1.3)

4 1.3 Effet Doppler 3 À tout instant t fixé, l onde est périodique en fontion de x. Il est possible de définir la longueur d onde λ telle que : o(x + λ, t) = a os(ωt kx kλ) = a os(ωt kx 2π). Ainsi : λ = 2π k [m] (1.4) 1.3 Effet Doppler Soit une soure immobile plaée en x s et émettant une onde sinusoïdale dont l amplitude est maximale au temps t s. Un réepteur plaé en x r détetera e maximum au temps t r. Le maximum suivant, émis au temps t s + T sera déteté au temps t r + T ; la fréquene détetée est don identique à la fréquene émise. Si maintenant le réepteur s éloigne de la soure à une ertaine vitesse (plus faible que la vitesse du son) et qu il détete le premier maximum au temps t r, il ne détetera pas le maximum suivant au temps t r + T mais un peu plus tard ar à t r + T le seond maximum se trouve à l endroit où se trouvait le réepteur qui s est déplaé pendant le temps T. Plus préisément, soient une soure immobile produisant une l onde selon 1.2 et un réepteur qui s éloigne de la soure à la vitesse u : x r (t) = x 0 r + ut ave x 0 r > o(x, 0) pour u > 0. À l instant t le réepteur détete l amplitude : r(t) = o(x r (t), t) = a os (ωt kx r (t)) = a os ( ωt k(x 0 r + ut) ) ( ( = a os ω 1 u ) ) t kx 0 r r(t) = a os(ω t kx 0 r) (1.5) ave : ou enore : ( ω = ω 1 u ) ( ν = ν 1 u ) (1.6) (1.7)

5 1.4 Phénomène des battements 4 Dans tous les as où le réepteur s éloigne de la soure la pulsation reçue n est pas la pulsation ω, émise par la soure mais une pulsation inférieure ω = ω ( 1 u ). Un alul identique au préédent indique que dans le as où le réepteur s approhe de la soure, la pulsation reçue augmente de ω à ω = ω ( 1 + u ). Ave le même raisonnement il est aisé de montrer que dans le as où la soure est en mouvement et que le réepteur est immobile, e dernier détete une pulsation plus élevée si la soure s en approhe ω = ω et une pulsation 1+u/ plus faible si la soure s en éloigne ω = ω. Dans notre as, la propriété 1 u/ u << permet le développement en série de puissanes : u = 1 u + ( u ) 2... = 1 u ave une très bonne approximation. Ainsi, haque fois que la soure et le réepteur se rapprohent, la fréquene perçue augmente de 1 + u et elle diminue de 1 u haque fois qu ils s éloignent l un de l autre. 1.4 Phénomène des battements Soient deux signaux de même amplitude maximale a et de pulsations prohes ω 1 = ω et ω 2 = ω + ω se superposant. Dans e as (relation trigonométrique) : a os ωt + a os(ω + ω)t = 2a os (( ω + ω 2 ) t ) os ( ) ω 2 t (1.8) Le signal résultant (voir la figure 1.1) onsiste en un signal sinusoïdal de fréquene ν, moyenne des fréquenes prohes ν 1 et ν 2 (fontion modulée), mais dont l amplitude maximale varie périodiquement et lentement selon la fréquene ν = ω, demi-différene entre les fréquenes ν 4π 1 et ν 2 (fontion modulante). On entend la fréquene ν mais également une forte variation de son intensité à la fréquene double de la fréquene ν. C est la sensation de battements. ν batt = ω 2π (1.9)

6 1.4 Phénomène des battements 5 1 ω= ω= somme x Fig. 1.1: Phénomène de battements. Les signaux sont représentés en fontion du temps. Le troisième graphique représente la somme des deux signaux reproduits sur le premier et deuxième graphiques. L axe des ordonnées représente l amplitude du signal. L amplitude maximale varie périodiquement ; elle est modulée. La période T batt du battement est l intervalle de temps séparant deux amplitudes maximales nulles. Cette méthode est intéressante ar elle permet de déterminer préisément la différene entre deux fréquenes prohes et ei d autant plus failement que la différene est plus petite. Elle est utilisée au ours de ette manipulation où à ause des faibles vitesses de déplaement, la variation de fréquene par effet Doppler est faible.

7 1.5 Superposition de deux signaux déphasés Superposition de deux signaux déphasés Soient une soure et un réepteur (immobiles) plaés respetivement en x = 0 et en x = δ. Additionnons (voir la figure 1.2) les signaux en x = 0 et en x = δ : o(0, t) + o(δ, t) = a os ωt + a os(ωt kδ) ( o(0, t) + o(δ, t) = 2a os ωt kδ ) ( ) kδ os 2 2 (1.10) 2 amplitude amplitude amplitude x Fig. 1.2: Déphasage. Deux signaux de même fréquene mais déphasés l un par rapport à l autre (un signal est reproduit par des traitillés, l autre par des pointillés) sont représentés en fontion du temps. Leur superposition est également représentée par un trait ontinu. Chaque graphique est aratérisé par un déphasage différent.

8 1.6 L onde sphérique 7 On obtient un signal sinusoïdal de pulsation ω et d amplitude maximale 2a os ( ) kδ 2.C est un as de figure semblable aux battements, l amplitude maximale n est pas fontion du temps mais de la distane δ.le déphasage entre les deux signaux est dû au temps δ que met l onde à se propager de la soure au réepteur. 1.6 L onde sphérique Les ondes aoustiques peuvent être produites par la mise en mouvement du fluide dans une petite région de l espae. Dans e as elles peuvent être approximées par des ondes sphériques (la projetion de l onde sur toute droite passant par le point d émission x 0 donne le même résultat). L amplitude maximale de l onde (qui est onstante dans le as à une dimension) varie en 1, r étant la distane par rapport à x r Transduteur életroméanique Ce terme désigne en partiulier le dispositif apable de produire des ondes aoustiques à partir de tensions életriques variables. Dans et appareil, un ristal piézo-életrique est mis en osillation, transformant les variations de tension életrique en variations de pression ; est le rôle de la soure. Le réepteur remplit la fontion inverse, à savoir transformer des variations de pression en variations de tension qui peuvent être visualisées. Les deux transduteurs utilisés (soure et réepteur) ont une bonne ourbe de réponse pour des fréquenes de 40kHz environ. 2 Manipulations 2.1 Appareils utilisés Chaque plae de manipulation est équipée de : un ban omprenant une partie mobile entraînée à la main ou à l aide d un moteur, 2 transduteurs életroméaniques, dont l un est alimenté par un signal életrique de fréquene et d amplitude fixes 1 osillosope permettant de visualiser différents signaux 1 baie permettant d effetuer les fontions et les liaisons désirées entre les appareils. La baie est partagée en trois parties qui onsistent en

9 2.2 Montage expérimental 8 un shéma de fontionnement ave des branhements, un ontrôle du moteur d entraînement et l alimentation des appareils. 2.2 Montage expérimental Le shéma de fontionnement est reproduit sur la figure 2.1. Fig. 2.1: shéma de fontionnement La soure et le réepteur sont branhés en B1 et B2. Les signaux peuvent être observés à es branhements. Le signal transmis à la soure et le signal amplifié provenant du réepteur sont transformés en signaux arrés d amplitude fixe, signaux observables en A1 et A2. Les ondes dérites dans la partie théorique sont supposées avoir une amplitude invariante alors que e n est pas le as pour les ondes sphériques utilisées (voir le paragraphe 1.6) ; et artifie életronique permet de simplifier l interprétation des résultats. Les fontions suivantes permettent de diviser la fréquene par 16 (diviseurs,

10 3 Plan de travail 9 mesurables en A3 et A4) puis de reformer un signal sinusoïdal (sinus, observables en A5 et A6). L onde ultrasonique est ainsi onvertie en un signal sonore, audible à l aide d un haut-parleur. Les deux signaux sont finalement additionnés analogiquement, ela pour permettre d observer une superposition (la somme est mesurable en A7). Un haut parleur peut être onneté en A6 et en A7. Un ompteur donne la différene (ave un signe) entre le nombre d impulsions provenant de A1 et de A2, mesuré pendant une seonde. Il indique don une différene de fréquenes entre la soure et le réepteur. 3 Plan de travail 3.1 Rappel ν = u ν ν (3.1) ave : la vitesse du son ν et ν : les fréquenes des ondes émise et reçue u : la vitesse relative entre soure et réepteur. 3.2 Mesures Mesure de la fréquene ν Visualiser le signal émis par la soure sur l éran de l osillosope, après la division par 16 (en A3). Utiliser : ν = 16 N T = 16 N ru (3.2) ave N : le nombre d osillations T : le temps éoulé pendant es osillations r : l éhelle du temps (en seondes par unité d éhelle) U : le nombre d unités d éhelle. Faites une mesure en prenant le signal de la soure et une en prenant elui du réepteur. Estimer ν à l aide de : ν ν = U U (3.3)

11 3.2 Mesures Mesure de par différene de fréquenes Utiliser 3.1 en prenant pour ν ν la valeur du ompteur automatique. Estimer l inertitude de ν ν. Faites trois mesures en variant u. Caluler pour deux des trois mesures l inertitude à partir des inertitudes sur ν, ν ν et u : = ν ν + (ν ν ) + u ν ν u Mesure de par la méthode des battements (3.4) Visualiser sur l éran la somme des signaux de la soure et du réepteur. Compter le nombre de battements N pendant que le réepteur bouge d un bout à l autre et hronométrer le temps éoulé T. Utiliser : ν ν = 16 N T (3.5) et estimer T. Déterminer (ν ν ) à l aide de : (ν ν ) ν ν = T T (3.6) et aluler 3.1. Faites trois mesures en variant u. Caluler pour deux des trois mesures l inertitude Mesure de par la superposition de signaux déphasés Visualiser le signal de la soure et elui du réepteur simultanément sur l éran et déplaer le réepteur jusqu à e que les deux signaux ne soient plus déphasés. Mesurer la longueur d onde λ en déterminant le déplaement du réepteur néessaire pour passer d un reouvrement exat à un reouvrement exat des signaux. Ne pas oublier de diviser par 16 si néessaire. Estimer λ, aluler à l aide de : = νλ (3.7) et déterminer : = ν ν + λ λ (3.8)

12 3.3 Conlusion Conlusion Comparer les trois méthodes pour la mesure de en vous basant sur l inertitude. Expliquer l assertion suivante : "Le phénomène des battements est interprété omme le hangement ontinu du déphasage."