Distributions. et applications. Belhassen Dehman. Attention!

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1 Ministère de l Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Distributions Convolution des distributions et applications Attention! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'uvt. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis.

2 CHAPITRE V Convolution des Distributions et Applications Ce chapitre est dédié à la convolution des distributions et à ses applications. Nous nous sommes restreints, par souci de simplicité, à la convolution dans l espace D +(R), mais la plupart des résultats restent valables ( dans les bons cas ) pour des distributions sur R n. Quelques applications sont présentées, utilisant notamment la notion de solution élémentaire. 1 Convolution dans l espace D +(R) On rappelle que le produit de convolution de deux fonctions f et g est défini par f g(x) = f(x t)g(t) dt R chaque fois que l intégrale est convergente. On rappelle, sans démonstration, le résultat suivant : Théorème 1.1 Si f et g sont deux (classes de) fonctions de L 1 (R), alors, leur produit de convolution f g appartient à L 1 (R) et on a 1) f g 1 f 1 g 1 2) F(f g) = Ff. Fg Si f appartient à S(R) et g appartient à L 1 (R), alors f g est de classe C (R) et pour tout entier naturel k, on a : (f g) (k) = f (k) g. 1

3 Soient f et g dans L 1 (R). La fonction f g, étant dans L 1 (R), elle définit une distribution régulière T f g. Pour toute fonction φ de D(R), on a ( ) T f g, φ = f(x t)g(t) dt φ(x) dx R ( = R R R ) f(x t)φ(x) dx g(t) dt Il apparaît naturellement la quantité f(x t)φ(x) dx = f(x)φ(x + t) dy = T f, τ t φ R R qu il convient d étudier si f est une distribution. De plus, ce qui précède montre que, pour toute fonction test φ, on a T f g, φ = T g, T f, τ t φ Souvent, par abus de notation, on écrit T f g, φ = g(t), f(x), φ(x + t) Il faut prendre garde que, même si φ est dans D(R), la fonction qui à (x, t) associe φ(x + t) n est pas à support compact. C est cela qui fait que la convolution de deux distributions n est pas toujours définie. Cependant, nous allons voir que si les deux distributions sont dans D +(R), leur convolution est définie. Soit T une distribution de D +(R) à support contenu dans [a, + [ et soit φ une fonction de classe C à support contenu dans ], b]. On pose T, φ = T, θφ où θ est une fonction de D(R), qui vaut 1 sur un intervalle contenant les points a et b. On vérifie que T, φ, ainsi définie, ne dépend pas du choix de la fonction θ. En effet, si θ 1 est une autre fonction de D(R) qui vaut 1 sur un intervalle contenant a et b, la fonction (θ θ 1 )φ serait nulle sur l intervalle [a, + [ et par suite T, (θ θ 1 )φ =. Proposition 1.2 Soit T une distribution de D +(R) à support inclus dans [a, + [ et soit φ une fonction de classe C à support inclus dans ], b]. La fonction ψ définie par ψ(t) = T, τ t φ est de classe C (R) et son support est inclus dans ], b a]. On écrit : ψ(t) = T x, φ(x + t) 2

4 Démonstration. Pour tout réel t, la fonction τ t φ est C et son support est inclus dans ], b t]. On en déduit que la fonction ψ est bien définie; elle s annule si supp(τ t φ) supp(t ) =, c est-à-dire si b t < a. Cela montre que le support de ψ est inclus dans l intervalle ], b a]. La démonstration du caractère C de ψ est laissée au lecteur. Théorème 1.3 ( Admis) Soient T et S deux distributions de D +(R). (1) Il existe une distribution, notée S T, définie par S T, φ = S t, T x, φ(x + t), φ D(R) (2) La distribution S T appartient à D +(R) (3) Le produit de convolution sur D +(R) est commutatif et associatif (4) Pour tout entier naturel k, on a (S T ) (k) = S (k) T = S T (k). Démonstration de (1)et (2). Supposons que le support de T soit inclus dans [a, + [ et celui de S soit inclus dans [b, + [. Soit φ une fonction de D(R) et supposons que son support soit inclus dans [ A, A]. L application x φ(x + t) est de classe C à support inclus dans [ A t, A t], comme le support de T est inclus dans [a, + [, il en résulte que T x, φ(x + t) = si A t < a, c est-à-dire si t > A a. Cela prouve que le support de l application qui à t associe T x, φ(x + t) est inclus dans ], A a]. Puisque S est dans D +(R), la quantité S t, T x, φ(x + t) est bien définie et est nulle si A a < b, c est-à-dire si A < b + a. Cela montre que le support de S T est inclus dans [b + a, [. Les autres assertions seront admises. Théorème 1.4 (Admis) Le produit de convolution de deux distributions est défini si l une des deux est à support compact. Si les deux sont à support compact, leur produit de convolution l est aussi. Corollaire 1.5 L ensemble D +(R) est une algèbre de convolution et δ est son élément neutre, c est-à-dire, δ T = T δ = T, T D +(R) De plus, pour tout entier naturel k, et pour tout a réel, on a δ (k) T = T δ (k) = T (k) T δ a = δ a T = τ a T 3

5 Démonstration. En effet, pour toute fonction φ de D(R), on a δ a T, φ = δ a, T x, φ(x + t) = T x, φ(x + a) = T, τ a φ = τ a T, φ Cela montre que δ a T = τ a T, en particulier δ T = T δ = T. Cette relation, jointe à l assertion (4) du théorème précédent, montre que, pour tout entier naturel k, δ (k) T = δ T (k) = T (k). Corollaire 1.6 Soit T une distribution de D +(R) et soit H la distribution de Heaviside. Alors, la distribution H T est une primitive de T. Démonstration. On remarque d abord que la distribution de Heaviside H appartient à D +(R) puisque son support est [, + [, donc H T est bien définie. En utilisant l assertion (4) du théorème et ce qui précède, il vient (H T ) = H T = δ T = T Donc, H T est bien une primitive de T. Exercice 1.7 Montrer que pour tout a réel, on a δ a δ b = δ a+b Pour tout entier naturel n 1, on désigne par H (n) le produit de convolution de H par elle-même n-fois : H (n) = H H H, n fois Proposition 1.8 Pour tout entier naturel n 1, on a H (n) = xn 1 (n 1)! H 4

6 Démonstration. La relation est évidente pour n = 1. On suppose par récurrence que H (n 1) = xn 2 (n 2)! H Pour toute fonction test φ, on a Or, par hypothèse de récurrence, Hx (n 1), φ(x + t) = Il en résulte que H (n), φ = H t, Hx (n 1), φ(x + t) H (n), φ = x n 2 φ(x + t) dx = (n 2)! t ( t (s t) n 2 ) φ(s) ds dt (n 2)! En intervertissant l ordre des intégrations, il vient H (n), φ = = La preuve est ainsi terminée. Remarque 1.9 ( s (s t) n 2 (n 2)! ) dt φ(s) ds s n 1 (n 1)! φ(s) ds = s n 1 H, φ (n 1)! (s t) n 2 φ(s) ds (n 2)! On remarque que H (n) est une distribution régulière associée à la fonction x (x n 1 Y (x)/(n 1)!. Ce résultat peut s obtenir en calculant le produit de convolution de la fonction de Heaviside Y par elle-même n-fois. Exercice 1.1 Montrer que la dérivée d ordre n de H (n) est égale à δ; autrement dit (H (n) ) (n) = δ. Exercice 1.11 Montrer que, si S et T appartiennent à D (R) alors e ax (S T ) = (e ax S) (e ax T ), a C 5

7 Solution : Par définition, pour toute fonction test φ, on a (e ax S) (e ax T ), φ = e ax S x, e ay T y, φ(x + y) = S x, e ax e ay T y, φ(x + y) = S x, T y, e a(x+y) φ(x + y) = S T, e ax φ = e ax (S T ), φ Cela montre bien la relation annoncée. Proposition 1.12 Soit λ un nombre complexe et soit H λ = e λx H, où H désigne la distribution de Heaviside. Pour tout entier naturel n 1, on a H (n) λ = xn 1 (n 1)! H λ La démonstration est analogue à celle de la proposition précédente. Définition 1.13 Pour α > et λ C, on désigne par H (α) λ la distribution régulière donnée par H (α) λ = xα 1 Γ(α) H λ La distribution H (α) λ est appelée, parfois, dérivée fractionnaire d ordre α, ou opérateur de Riemann-Liouville. Proposition 1.14 Pour tous nombres réels α > et β >, on a H (α) λ H (β) λ = H (α+β) λ Démonstration. Il suffit d appliquer la définition du produit de convolution et de se rappeler la formule B(α, β) = 1 (1 s) α 1 s β 1 ds = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) Définition 1.15 Soit α R et soit p un entier tel que α + p >. On pose ( ) d p H (α) = (H (α+p) ) dx 6

8 On vérifie que cette définition est indépendante de l entier p choisi tel que α + p >. Exemple 1.16 H () = Exercice 1.17 En particulier, on a ( ) ( ) d H = δ, H (1/2) = x 1/2 d dx Γ(1/2) H, H ( 1/2) = H (1/2) dx Calculer les produits de convolution δ 1 et δ H. Calculer ensuite (1 δ ) H et 1 (δ H). Conclure. Exercice 1.18 Calculer F(H H). Vérifier que la relation F(S T ) = (FS)(FT ) n est pas vraie pour le produit de convolution H H, car le produit (FH)(FH) n a pas de sens. 2 Exemples d applications des distributions Les applications de la théorie des distributions à la résolution de problèmes mathématiques sont nombreuses et variées. Nous en donnerons dans cette section quelques exemples. 1. Equations de convolution dans D +(R). Soient A et T deux distributions dans D +(R). On cherche une distribution S de D +(R) telle que A S = T Il faut noter que l existence d une solution de cette équation n est pas toujours assurée. Par exemple, si A est une distribution régulière définie par une fonction C et si T = δ, l équation A S = δ n admet pas de solution, car le premier membre est une fonction C alors que le second membre ne l est pas. Quelles conditions doit-on imposer à une distribution A de D +(R) pour que l équation A S = T admette toujours une solution quel que soit le choix du second membre T dans D +(R)? 7

9 Théorème 2.1 Soient A et T deux distributions de D +(R). Pour que l équation A S = T admette une solution dans D +(R), il faut et il suffit que l équation A E = δ admette une solution E dans D +(R). La solution E, quand elle existe, est unique et est appelée l inverse de A dans D +(R). Démonstration. La condition est nécessaire car il suffit de prendre T = δ. La condition est suffisante car, s il existe E dans D +(R) telle que A E = δ, pour toute distribution T de D +(R), S = T E vérifie A S = T. Soient E et E 1 deux distributions de D +(R), telles que A E = δ et A E 1 = δ. Puisque le produit de convolution dans D +(R) est commutatif et associatif, on a E 1 = (A E) E 1 = (E 1 A) E = (A E 1 ) E = E Cela montre l unicité de l inverse de A dans D +(R) (s il existe). Remarque 2.2 L inverse d un élément A de D +(R) n existe pas toujours. Par exemple, la seule solution de l équation δ a E = δ, a > est la distribution δ a, mais celle-ci n appartient pas à D +(R). Exemple 2.3 On prend A = δ λδ, où λ est un nombre complexe. On cherche à trouver un inverse dans D +(R) de δ λδ, c est-à-dire à résoudre l équation (δ λδ) E = δ Cette équation de convolution s écrit aussi E λe = δ C est donc une équation différentielle d ordre 1. On lui associe le problème suivant f λf =, f() = 1 8

10 dont la solution est donnée par e λ (x) = e λx et on considère la distribution H λ = e λ H, où H est la distribution de Heaviside. On vérifie que H λ est la solution cherchée. En effet, H λ = (e λh) = e λ H + f()δ = λe λh + δ = λh λ + δ Ainsi, H λ = e λx H est l inverse de (δ λδ) dans D +(R). Solution élémentaire. Soit D un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants. Par exemple D = dp dx p + a p 1 dx p a d 1 dx + a d p 1 Si l on désigne par P le polynôme défini par P (z) = z p + a p 1 z p a 1 z + a, l opérateur D s écrit symboliquement sous la forme D = P (d/dx) Définition 2.4 On appelle solution élémentaire, ou fonction de Green, de l opérateur D toute distribution G sur R, solution de l équation DG = δ où δ est la distribution de Dirac à l origine. Exemple 2.5 La distribution H λ = e λx H est une solution élémentaire de l opérateur différentiel du premier degré D = d/dx λ. En effet, on a vu dans l exemple précédent que H λ λh λ = δ. La solution élémentaire, dans ce cas, est donc l inverse dans D +(R) de la distribution A = Dδ. Exemple 2.6 La distribution T ψ /π, où ψ est donnée sur C\{} par ψ(z) = 1/z est une solution élémentaire de l opérateur de Cauchy / z. En effet, on a vu à l exemple 1.7 (chapitre II) que T ψ z = πδ 9

11 Théorème 2.7 Tout opérateur différentiel linéaire à coefficients constants D = dp dx p + a p 1 dx p a d 1 dx + a d p 1 admet une unique solution élémentaire dans D +(R). Démonstration. Il s agit de démontrer que la distribution A = Dδ est inversible dans D +(R). Soit P le polynôme défini par P (z) = z p + a p 1 z p a 1 z + a Il admet n racines α 1, α 2,..., α n (distinctes ou non). On a donc P (z) = (z α 1 )(z α 2 ) (z α n ) On en déduit que la distribution A = Dδ s écrit A = (δ α 1 δ) (δ α 2 δ) (δ α n δ) L exemple précédent montre que chaque facteur (δ α j δ), du second membre, est inversible dans D +(R) et que son inverse est H αj = e αjx H, c est-àdire que, pour 1 j n, on a Posons (δ α j δ) H αj = δ G = H α1 H α2 H αn C est une distribution de D +(R). Grâce à la commutativité et l associativité du produit de convolution dans D +(R), on vérifie que Dδ G = δ. La distribution G est donc une solution élémentaire de l opérateur D. Enfin, pour l unicité, on peut soit utiliser le théorème 2.1, soit remarquer que la différence de deux solutions élémentaires de D est une solution de l équation homogène Du = et ne peut donc être à support dans [, + [. Nous admettrons la version plus générale suivante de ce résultat. Théorème 2.8 (Ehrenpreis-Malgrange 1955): Tout opérateur différentiel non nul sur R n, à coefficients constants, possède une solution élémentaire. Exercice 2.9 1

12 Soit f la solution de l équation différentielle homogène qui vérifie les conditions initiales f (n) + a n 1 f (n 1) + + a 1 f + a f = f() = f () = = f (n 2) () = et f (n 1) () = 1 Vérifier que la distribution f H est l inverse de Dδ, c est-à-dire que la solution élémentaire de l opérateur D est G = fh. Exercice 2.1 Montrer que l inverse de la distribution (δ λδ) (m) est la distribution donnée par x m 1 (m 1)! H λ où H λ = e λx H. Exercice 2.11 Calculer la solution élémentaire G D +(R) de l opérateur D = d2 dx 2 + ω2, ω R Solution : En utilisant l exercice précédent, la solution cherchée est de la forme G = fh où H est la distribution de Heaviside et f est la solution du problème suivant f + ω 2 f =, f() =, f () = 1 sin ωx C est-à-dire G = H. On peut aussi associer à l opérateur D le ω polynôme défini par : P (z) = z 2 + ω 2 = (z iω)(z + iω). La solution élémentaire G D +(R) est l inverse de P (d/dx)δ, c est-à-dire l inverse de (δ iωδ)(δ + iωδ). L inverse de (δ iωδ) est la distribution H iω = e iωx H et celui de (δ + iωδ) est la distribution H iω = e iωx H. Il en résulte que la solution G cherchée est donnée par G = H iω H iω. Un calcul simple redonne sin ωx G = H iω H iω = ω H Exercice

13 Calculer les inverses dans D +(R) des distributions suivantes δ 5δ + 6δ, H + δ, e x H + δ 2. Solution particulière d équation différentielle On reprend l opérateur différentiel D défini ci-dessus. Soit G D +(R) la solution élémentaire de D, c est-à-dire telle que DG = δ. Théorème 2.13 Pour toute fonction h continue à support limité à gauche, le produit G h est une solution de l équation différentielle Df = h. Démonstration. Le produit de convolution G h est bien défini. Le théorème 9.3 dit que pour dériver un produit de convolution, on peut dériver l un ou l autre des facteurs, donc (G h) = G h et par suite, puisque D est linéaire à coefficients constants, D(G h) = DG h = δ h = h. Exemple 2.14 Etant donnée une fonction h continue et à support limité à gauche, on cherche une fonction f, à support limité à gauche telle que f + ω 2 f = h, ω R On a déjà calculé la solution élémentaire de l opérateur D = d 2 /dx 2 + ω 2, c est la distribution sin ωx G = ω H Il en résulte que la solution f est donnée par f(x) = G h(x) = x sin ω(x t) h(t) dt ω On a ainsi une solution particulière de l équation différentielle avec second membre Df = h. 3. Equations intégrales On reprend à nouveau l opérateur différentiel D = dp dx p + a p 1 dx p a d 1 dx + a d p 1 12

14 Et on considère une équation différentielle de la forme Df = Af telle que, par exemple, Af(x) = a(x)f(x) où a est une fonction donnée, ou encore Af(x) = f 2 (x). Dans le premier cas, il s agit d une équation différentielle linéaire qui n est pas à coefficients constants; dans le deuxième cas,c est une équation non linéaire. Soit G D +(R) la solution élémentaire de l opérateur D, c est-à-dire telle que DG = δ. L équation Df = Af est alors équivalente à l équation intégrale f = G Af. Dans certains cas, il peut être avantageux de substituer à l équation différentielle, l équation intégrale. On peut consulter la fin du chapitre précédent pour des exemples de cette situation. Exemple 2.15 Soit à résoudre l équation intégrale g(x) = x cos(x t)f(t) dt = g(x), x où g est donnée à support limité à gauche et où f est l inconnue. Cette équation s écrit sous la forme (cos x)h f = g On vérifie que l inverse de la distribution (cos x)h est δ H. On en déduit que la solution de l équation intégrale est donnée par Exercice 2.16 f = g (δ H) = g + x g(t) dt, x Résoudre l équation intégrale x (x t) cos(x t)f(t) dt = g(x), x Calcul d une solution élémentaire par transformation de Fourier Soit D = d 2 /dx 2 ω 2, ω >. On se propose de trouver une distribution tempérée G, solution élémentaire de D. La distribution G étant supposée 13

15 dans S (R), elle admet une transformée de Fourier F(G ). En utilisant la proposition 8.7, on a F(G ) = (2iπξ) 2 F(G ) L équation G λ2 G = δ se transforme, par transformation de Fourier, en l équation (4π 2 ξ 2 + ω 2 )FG = 1 ce qui s écrit encore 1 F(G )(ξ) = (4π 2 ξ 2 + ω 2 ) Ainsi, la transformée de Fourier de la distribution G est une distribution régulière associée à une fonction de L 1 (R). On peut donc prendre sa transformée de Fourier inverse, il vient G (x) = e 2πωx 2ω Y (x) e 2πωx Y ( x) = e 2πω x 2ω 2ω On peut vérifier que c est la seule solution tempérée de DG = δ. Exercice 2.17 Montrer que l opérateur ω 2, ω >, admet une solution élémentaire G dans S (R 3 ), que l on calculera. Indication : On montre que s il existe G S (R 3 ) telle que G ω 2 G = δ, alors F(G )(ξ) = 1/(4π 2 ξ 2 + ω 2 ). On vérifie que F(G ) appartient à L 2 (R 3 ) et par suite G est aussi dans L 2 (R 3 ). En utilisant le passage en coordonnées sphériques, on montre que G (x) = A e 2πω x ω x où A est une constante à déterminer. 14