D.S. nº8 : Nombres complexes & Logarithme. Vendredi 19 avril 2013, 2h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie.
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- Jacques Leboeuf
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1 D.S. nº8 : Nombres complexes & Logarithme TS Vendredi 9 avril 203, 2h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie. Nom : Prénom : Communication: ± + Technique : ± + Raisonnement : ± + Note : 20 /8,5 /2 Exercice. Partie I : R.O.C. ) On considérera connus les (uniquement) résultats suivants : Toutes les propriétés de la fonction exponentielle sont supposés connues., e =x et x R ln(e x )= x. Démontrer que a,b>0, ln(ab)=ln a+ln b puis que a>0, ln (a 2 )=2ln a. 2) Application : Sans calculatrice, calculer A=ln((3+2 2) 2 )+ln((3 2 2) 2 ). /2,5 /0,5 Partie II : Le but de cette partie est de démontrer la propriété (P): «Pour tout entier n on a 2 n n 2» Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+ [ par f (x)=. x ) Déterminer le tableau de variations complet de f sur l'intervalle ]0;+ [. 2) En déduire que pour tout entier n, on a ln n n ln. 3) Comparer ln et ln 2 ) En déduire que la propriété (P) est vraie. 5) Bonus : Trouver une autre démonstration du fait que la propriété (P) est vraie. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
2 ,5,25 /2,5 /0,75 Exercice 2. Partie I. Soient les nombres complexes z = 2+i 6, =2+2i et Z= z ) Écrire Z sous forme algébrique. 2) Donner les modules et arguments de z, et Z. 3) En déduire cos ( ) et sin ( ). ) Le plan est muni d un repère orthonormal; on prendra 2 cm comme unité graphique. On désigne par B, B 2 et A les points d affixes respectives z, et Z. Placer le point B 2, puis placer les points B et A en utilisant la règle non graduée et le compas (On laissera les traits de construction apparents). Partie II. Étude d'une suite de points Les questions de cette partie sont indépendantes. Pour tout entier n, A n désigne le point d'affixe Z n. (Le même Z qu'à la première partie évidemment) Entrées : Saisir l'entier n 2 et le nombre complexe x 0 +i y 0. 5) Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles A n appartient à l'axe des ordonnées? Si oui, lesquelles? 6) a) On considère l'algorithme ci-contre. Compléter : «Le nombre complexe z obtenu en sortie de cet algorithme s'exprime en fonction de l'entier n et du nombre complexe z 0 = x 0 +i y 0 saisis en entrée par la formule z = » Initialisation : x x 0 et y y 0 Traitement : Sorties Pour k allant de 2 à n x ' x x x x 0 y y 0 y x ' y 0 +x 0 y Fin Pour Afficher x +i y /0,5 b) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 203, affixe du point A 203. c) A supposer que l'on ait programmé l'algorithme précédent sur un ordinateur ou une calculatrice, comment pourrait-on l'utiliser pour vérifier le résultat de la question b)? 7) On note Γ n la ligne polygonale de sommets successifs A 0, A, A 2,.A n. Soit t n le nombre de tours que fait Γ n autour de l'origine. Exprimer t n en fonction de n (La réponse peut contenir des fractions de tours comme dans 3 tours + un quart de tours). Vous pouvez utiliser les graduations de la règle pour graduer les axes du repère mais c'est tout.
3 Corrigé Exercice. Partie I : R.O.C. ) On considérera connus les (uniquement) résultats suivants : Toutes les propriétés de la fonction exponentielle sont supposés connues., e =x et x R ln (e x )= x. Démontrer que a,b>0, ln (a b)=ln a+ln b puis que a>0, ln(a 2 )=2lna C'est la démonstration du cours : Soient a et b deux réels strictement positifs. (iii) ln a+ln b, qui est le résultat cherché. ln(a b) = (i) ln (e ln a e ln b ) = (ii) ln(e ln a +ln b ) = (i) car a=e ln(a) et b=e ln (b) vu que a,b>0 ; (ii) car x, y R, e x e y =e x+ y ; (iii) car x R ln(e x )=x. Pour la seconde propriété, prendre a=b dans la première. 2) Application : Sans calculatrice, calculer A=ln (( 3+2 2) 2 )+ln (( 3 2 2) 2 ) >0 et 3 2 2>0 donc A=ln((3+2 2) 2 )+ln ((3 2 2) 2 )=2ln (3+2 2)+2ln (3 2 2) =2ln ((3+2 2)(3 2 2))=2ln (3 2 (2 2) 2 )=2ln (9 8)=2ln =0 Remarque : Il faut absolument préciser que 3 2 2>0 car la formule ln(a 2 )=2ln a n'est vraie que si a>0. Par exemple ln =ln(( 2) 2 ) et pourtant ln 2ln ( 2) car le membre de droite n'existe pas. Partie II : Le but de cette partie est de démontrer la propriété (P): «Pour tout entier n on a 2 n n 2» Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+ [ par f (x)=. x ) Déterminer le tableau de variations complet de f sur l'intervalle ]0;+ [. Dérivée : x x f ' (x)= = est du signe de car x 2 >0. x 2 x 2 Or 0 x e =e en composant par la fonction exponentielle qui est croissante. x =0. Limites : En + : D'après le cours, lim x + En 0 + : lim x =lim x 0 donc par produit, lim x. Or lim x 0 x >0 x = x =+ et lim = x 0 e + f '(x) + 0 2) En déduire que pour tout entier n, on a ln n n ln. f est décroissante sur [ ;+ [ donc pour tout entier n, on a f (n) f () càd ln n n ln 3) Comparer ln et ln 2 On a ln ) =ln(22 = 2ln 2 = ln 2 d'après le ROC. Finalement, ln 2 =ln 2 ) En déduire que la propriété (P) est vraie. On a prouvé aux questions 2) et 3) que pour tout entier n, on a ln n n ln =ln 2 Or ln n n ln 2 (i) 2ln n n ln 2 (ii) ln(n 2 ) ln(2 n ) (iii) n 2 2 n. 2 (i) en multipliant les deux membres par 2 n >0 (ii) par les propriétés de la fonction ln (iii) en composant par la fonction exponentielle qui est croissante. 5) Bonus : Trouver une autre démonstration du fait que la propriété (P) est vraie : Par récurrence, en remarquant que 2 n+ =2 2 n =2[ 2 n n 2 +n 2 ], ce qui, couplé au fait que le trinôme x x 2 2 x est positif si n permet de prouver l'hérédité. [Détails laissés au lecteur] f(x) /e 0 3
4 Exercice 2. La partie I est un exercice sur 5 points du Bac Réunion et Métropole Sept Un exercice similaire a été fait en classe. La partie II ressemble au dernier DM. ) On a Z= z 2+i 6 2+i 6 2+i 6)() = = =( = i 2(+i) 2(+i)() +i( 6 2 ) 2) z =2 2 d'où z =2 2( 3 +i 2 2 ) =2 2ei 3 2 +i 2 ) =2 2ei De même, =2 2 d'où =2 2( 2 2 On en déduit que Z = z = 2 2e i 3 2 2e i =e i ( 3 ) i =e donc arg (z )= 3 (2) donc arg ( )= (2 ) donc Z = et arg( Z )= (2 ) Complexe z Z Module Argument 3 (2 ) (2 ) (2) 3) On déduit des deux questions précédentes que Z=cos ( ) +i sin ( ) = i( 6 2 ). Par identification des parties réelles et imaginaires de Z dans les deux expressions de Z, on obtient cos ( ) = 6+ 2 et sin ( ) = 6 2 ) Placer le point B 2, puis placer les points B et A en utilisant la règle non graduée et le compas (On laissera les traits de construction apparents). On place le point B 2 grâce à ses coordonnées. Par Pythagore, OB 2 =2 C'est le rayon des grands cercles de la figure. Le point d affixe z est obtenu comme le troisième sommet d'un triangle équilatéral dont les sommets O et C sont déjà connus. C'est donc l'intersection des deux cercles de rayons 2 2 sur la figure. On peut aussi l'obtenir en traçant la médiatrice de [OC]. Le point D est obtenu en reportant l'arc B B 2 à partir de C. Il correspond donc à un angle de. [OD] coupe le cercle de centre O et de rayon en A. On peut aussi construire A en coupant l'angle 6 (à construire) en deux par une bissectrice. Partie II. Étude d'une suite de points. Pour tout entier n, A n désigne le point d'affixe Z n. 5) A n appartient à l'axe des ordonnées ssi son affixe Z n est un imaginaire pur. Or un nombre complexe non nul est un imaginaire pur ssi son argument vaut 2 +k. Or arg (Z n )=n arg(z )=n. n = 2 +k n=6+k (en multipliant les deux membres par ) Finalement, A n appartient à l'axe des ordonnées ssi n=6+k, avec k Z. 6) a) «Le nombre complexe z obtenu en sortie de cet algorithme s'exprime en fonction de l'entier n et du nombre complexe z 0 saisis en entrée par la formule z= z 0 n»
5 b) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 203, affixe du point A 203. Z=e i donc Z 203 =(e i ) 203 =e i ( 203 ) = (*) e i =e = (*) car enlever un nombre entier de fois 2 à l'argument ne change pas le complexe. Z 203 = c) On rentre dans l'algorithme z 0 =Z et n=203 et on vérifie qu'on obtient bien en sortie ) Chaque fois que l'on passe d'un point de la ligne polygonale Γ n au suivant, on tourne de donc lorsqu'on en est au point A n, on a tourné en tout d'un angle de n. Sachant qu'un tour correspond à un angle de 2, on a n =2t n càd t n =n n 2 = t n = n 2 Remarque : Le nombre entier de tours faits autour de O est la partie entière de t n. 5
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