NOM : GEOMETRIE DANS L ESPACE 1ère S

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1 Exercice 1 On donne A(2 ; 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( 2 ; 1 ; 2) et D( 1 ; 2 ; 5). 1) ABCD est-il un parallélogramme? Un rectangle? 2) Calculer les coordonnées de l isobarycentre du quadrilatère ABCD. Figure Geospace D. LE FUR 1/ 55

2 Exercice 2 On donne A( 3 ; 1 ; 4), B( 2 ; 1 ; 7), C( 4 ; 1 ; 2) et D( 5 ; 5 ; 4). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? Figure Geospace D. LE FUR 2/ 55

3 Exercice 3 On donne A(1 ; 1 ; 3), B ( ; 0 ; 2 ) et C ( ; 2 ; 2 ). Quelle est la nature du triangle ABC? Figure Geospace D. LE FUR 3/ 55

4 Exercice 4 On donne A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 4 ; 4) et C(4 ; 20 ; 9). Les points A, B et C sont-ils alignés? Figure Geospace D. LE FUR 4/ 55

5 Exercice 5 ABCD est un tétraèdre régulier d arête a. On note G son centre de gravité. 1) Démontrer que : AB AC = a 2 AC AD = AD AB = 2 et qu il en est de même pour les autres sommets. 2) Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. 3) Soit A le centre de gravité du triangle BCD. Exprimer AG en fonction de AA. Figure Geospace D. LE FUR 5/ 55

6 Exercice 6 ABCDEF GH est un cube de côté égal à 1. On considère le repère (A ; AB, AD, AE). 1) Calculer la longueur CE. 2) Calculer les coordonnées du centre de gravité I de AHF et du centre de gravité J de BDG. 3) Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (AHF ) ainsi qu au plan (BDG). Rappel : pour montrer qu une droite (d) est orthogonale à un plan P, on montre qu elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 4) Démontrer que IJ = 1 EC. 3 Figure Geospace D. LE FUR 6/ 55

7 Exercice 7 ABCD est un tétraèdre. On note I et J les milieux respectifs de [AC] et [BD]. On définit les points P, Q, R et S par : AP = 1 AB ; AQ = 1 AD ; 3 3 CR = 1 CB ; CS = 1 CD. 3 3 Le but de ce problème est de démontrer que les droites (P S), (QR) et (IJ) sont concourantes. 1) Faire une figure. 2) Démontrer que : a) P est le barycentre de (A ; 2) et (B ; 1) ; b) Q est le barycentre de (A ; 2) et (D ; 1) ; c) R est le barycentre de (C ; 2) et (B ; 1) ; d) S est le barycentre de (C ; 2) et (D ; 1). 3) On considère le point G barycentre de (A ; 2), (B ; 1), (C ; 2) et (D ; 1). En utilisant la règle d associativité, démontrer que G est sur (P S), mais aussi sur (QR) et sur (IJ). 4) Conclure. Question subsidiaire : que pensez-vous du quadrilatère P QRS? Justifier votre réponse. Figure Geospace D. LE FUR 7/ 55

8 Exercice 8 ABCDEF GH est un cube de côté égal à 1. On considère le repère (A ; AB, AD, AE). I est le centre du carré EF GH et J le centre du carré BCGF. 1) Faire une figure. 2) Préciser les coordonnées de I et J. 3) Calculer les distances AI, AJ et IJ. 4) Calculer le produit scalaire AI AJ et en déduire une mesure de l angle ( AI, AJ). Figure Geospace D. LE FUR 8/ 55

9 Exercice 9 L espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; i, j, k ). On considère les points : A(1 ; 0 ; 1) B( 1 ; 0 ; 0) C(1 ; 6 ; 4) D(4 ; 9 ; 5) E(3 ; 6 ; 3) 1) Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires. 2) Montrer que le point D appartient à la droite (AE). 3) Montrer que ABCE est un parallélogramme. Est-ce un rectangle? Est-ce un carré? Figure Geospace D. LE FUR 9/ 55

10 Exercice 10 ABCDEF GH est un cube et I et J sont les milieux des segments [HE] et [F B]. On se propose de démontrer par deux méthodes que la droite (HJ) coupe le plan (BGI) en M milieu de [HJ]. Méthode analytique 1) Déterminer les coordonnées des points B, G, I, H, J et M milieu de [HJ] dans le repère (A ; AB, AD, AE). 2) Démontrer que la droite (HJ) coupe le plan (BGI) en M. Méthode géométrique 1) Démontrer que le plan (BGI) coupe le cube suivant un polygone BGIK où K est le milieu de [AE]. 2) Quelle est la nature du quadrilatère KJGH? 3) Conclure. Figure Geospace D. LE FUR 10/ 55

11 Exercice 11 S SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre O. G est le centre de gravité du triangle SBD et E est le milieu du segment [SC]. Démontrer que les points A, G et E sont alignés. E A D G O B C Figure Geospace D. LE FUR 11/ 55

12 Exercice 12 E D H F J O G C ABCDEF GH est un pavé droit. On note I le milieu de l arête [AB] et J le point tel que HJ = 3 AB. 4 O est le centre de la face BCGF. Démontrer que les droites (IH) et (JO) sont parallèles. A I B Figure Geospace D. LE FUR 12/ 55

13 Exercice 13 S La pyramide SABCD est à base rectangulaire. On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB]. Déterminer l intersection des plans (DIJ) et (SAC). I J B C A D Figure Geospace D. LE FUR 13/ 55

14 Exercice 14 I Soit un pavé ABCDEF GH. On prend un point I distinct de H sur la droite (HD) et un point J sur la face EF GH n appartenant pas à [GH]. H G Déterminer la section du pavé par le plan (IHJ). E J F D C A B Corrigé I H G E J F D C A B Figure Geospace D. LE FUR 14/ 55

15 Exercice 15 A Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (MNP ), sachant que : M P N M est un point du plan (ABC), N est un point du plan (ACD), P est un point du plan (ABD). B D C Corrigé A M P N B D C Figure Geospace D. LE FUR 15/ 55

16 Exercice 16 M A Déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (MNP ), sachant que : M est un point du segment [AB], P est un point du segment [AC], N est un point du plan (ACD). B P N D C Corrigé A M B P N D C D. LE FUR 16/ 55

17 Figure Geospace D. LE FUR 17/ 55

18 Exercice 17 ABCDEF GH est un cube. La droite (d) fait partie du plan (ADE). M est un point de la droite (DC). Dessiner la section du cube par le plan passant par la droite (d) et le point M. M C F B G D E A H (d) D. LE FUR 18/ 55

19 Corrigé M C F B G D E A H (d) Figure Geospace D. LE FUR 19/ 55

20 Exercice 18 ABCDEF GH est un cube. M est un point du segment [CF ]. N est un point du segment [EF ]. P est un point du segment [AH]. Dessiner la section du cube par le plan (MNP ). C M F B G N D E A P H Corrigé C M F B G N D E A P H D. LE FUR 20/ 55

21 Figure Geospace D. LE FUR 21/ 55

22 Exercice 19 A D K L C On considère un tétraèdre ABCD. K est un point du plan (ABD). L est un point du plan (DBC). On suppose (IJ) et (KL) non parallèles. Quel est le point d intersection du plan (ABC) avec la droite (KL)? B Corrigé D K A L C M B Figure Geospace D. LE FUR 22/ 55

23 Exercice 20 ABCDEF GH est un cube. 1) Les droites (EC) et (BD) sont-elles orthogonales? 2) Les droites (EC) et (BG) sont-elles orthogonales? H G E F D C A B Corrigé H G H G E F E F D C D C A B A B D. LE FUR 23/ 55

24 Exercice 21 ABCDEF GH est un cube. M est un point du segment [CD]. N est un point du segment [EF ]. P est un point du segment [AH]. Dessiner la section du cube par le plan (MNP ). C F B M G N D E A P H Corrigé C F B M G N D E A P H D. LE FUR 24/ 55

25 Figure Geospace D. LE FUR 25/ 55

26 Exercice 22 ABCDEF GH est un cube. M est un point du segment [HE]. N est un point du segment [GF ]. P est un point du segment [CD]. Dessiner la section du cube par le plan (MNP ). C N F B P G D E A H M Corrigé C N F B P G D E A H M D. LE FUR 26/ 55

27 Figure Geospace D. LE FUR 27/ 55

28 Exercice 23 Les points A(3 ; 1 ; 2), B(2 ; 3 ; 2), C(4 ; 2 ; 0) et D(3 ; 0 4) sont-ils coplanaires? D. LE FUR 28/ 55

29 Exercice 24 1) Démontrer que l ensemble des points M de l espace dont les coordonnées vérifient l équation x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 4 = 0 est une sphère dont on donnera les éléments caractéristiques. 2) Le point H ( ; 0 ; 3 ) est-il sur cette sphère? D. LE FUR 29/ 55

30 Exercice 25 On donne E(5 ; 2 ; 3) et F (1 ; 2 ; 1). Déterminer les coordonnées du point G intersection de la droite (EF ) avec le plan (yoz). D. LE FUR 30/ 55

31 Exercice 26 ABCDEF GH est un cube. M est un point du segment [AB]. N est un point du segment [CD]. P est un point du segment [EF ]. Dessiner la section du cube par le plan (MNP ). C F B G P M N D E A H D. LE FUR 31/ 55

32 Exercice 27 Les points A(5 ; 2 ; 2), B(6 ; 7 ; 4), C(2 ; 5 ; 3) et D(0 ; 5 ; 1) sont-ils coplanaires? D. LE FUR 32/ 55

33 Exercice 28 1) Démontrer que l ensemble des points M de l espace dont les coordonnées vérifient l équation x 2 + y 2 + z 2 + 6y 2z = 0 est une sphère dont on donnera les éléments caractéristiques. 2) Le point H ( 2 2 ; 3 ; ) est-il sur cette sphère? D. LE FUR 33/ 55

34 Exercice 29 On donne E(3 ; 1 ; 4) et F (5 ; 6 ; 2). Déterminer les coordonnées du point G intersection de la droite (EF ) avec le plan (xoz). D. LE FUR 34/ 55

35 Exercice 30 D. LE FUR 35/ 55

36 Exercice 31 D. LE FUR 36/ 55

37 Exercice 32 D. LE FUR 37/ 55

38 Exercice 33 D. LE FUR 38/ 55

39 Exercice 34 D. LE FUR 39/ 55

40 Exercice 35 D. LE FUR 40/ 55

41 Exercice 36 D. LE FUR 41/ 55

42 Exercice 37 D. LE FUR 42/ 55

43 Exercice 38 D. LE FUR 43/ 55

44 Exercice 39 D. LE FUR 44/ 55

45 Exercice 40 D. LE FUR 45/ 55

46 Exercice 41 D. LE FUR 46/ 55

47 Exercice 42 D. LE FUR 47/ 55

48 Exercice 43 D. LE FUR 48/ 55

49 Exercice 44 D. LE FUR 49/ 55

50 Exercice 45 D. LE FUR 50/ 55

51 Exercice 46 D. LE FUR 51/ 55

52 Exercice 47 D. LE FUR 52/ 55

53 Exercice 48 D. LE FUR 53/ 55

54 Exercice 49 D. LE FUR 54/ 55

55 Exercice 50 D. LE FUR 55/ 55

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