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1 Corrction TS Contrôl 9. ( oints. Pour réalisr un lotri, un organisatur disos d un sac contnant actmnt un jton blanc t 9 jtons noirs indiscrnabls au touchr t d autr art d un dé cubiqu équilibré dont ls acs sont numérotés d à. l décid ds règls suivants our l déroulmnt d un arti : l jouur doit tirr un jton uis jtr l dé : si l jton st blanc, l jouur rd lorsqu l jt du dé donn ; si l jton st noir, l jouur gagn lorsqu l jt du dé donn. à la in d la arti, l jton st rmis dans l sac. On not l événmnt «l jton tiré st blanc» t l événmnt «l jouur gagn l ju». L événmnt contrair d un événmnt E st noté E. La robabilité d un événmnt st noté ( E. Parti A. Montrr qu (. On ourra s aidr d un arbr ondéré. 9 ( ( ( ( ( ( (. Qull st la robabilité qu l jouur ait tiré l jton blanc sachant qu il a rdu? ( ( ( Parti L organisatur décid d air d sa lotri un ju d argnt : chaqu jouur ay uro ar arti ; si l jouur gagn la arti il rçoit uros ; si l jouur rd la arti il n rçoit rin.. On not X la variabl aléatoir égal au gain algébriqu (ositi ou négati du jouur à l issu d un arti. a Donnr la loi d robabilité d X t son séranc mathématiqu. X rnd ls valurs ou ; ( X ( P ( X i X. ( X ( E ( X ( 9 b On dit qu l ju st avorabl à l organisatur si E ( X <. L ju st-il avorabl à l organisatur? Non, l organisatur n smbl as très mathu. L organisatur décid d modiir l nombr n d jtons noirs ( n ntir naturl non nul tout n gardant un sul jton blanc. Pour qulls valurs d l ntir n l ju st-il déavorabl à l organisatur? l aut rcalculr ( n n n n n ( ( ( ( ( ( ( E ( X ( n n ( n n n n 9 ( n ( n ( n ( n qui sra ositi lorsqu n 9, l ju st déavorabl à l organisatur si il y a moins d 9 jtons noirs.

2 . ( oints. Un urn contint bouls rougs t bouls noirs indiscrnabls au touchr.. On ctu au hasard un tirag d du bouls simultanémnt d l urn. On not A l événmnt «on n a obtnu aucun boul noir» ; A l événmnt «on a obtnu un sul boul noir» ; 8 A l événmnt «on a obtnu du bouls noirs». Montrr qu ( A t ( A. A ; n déduir ( On ctu au hasard un tirag d du bouls simultanémnt d l urn :! il y a tirags ossibls.!! «on n a obtnu aucun boul noir» rvint à dir qu l on a tiré du rougs armi,! il y a tirags avorabls!! ls bouls étant indiscrnabls au touchr tous ls évènmnts élémntairs sont équirobabls t ( A «on a obtnu un sul boul noir» rvint à dir qu on a tiré un noir armi t un roug armi, 8 il y a 8 manièrs d rocédr, c qui donn ( A ; 8 comm la sul ossibilité rstant st d tirr noirs, on a ( A ( A. Arès c rmir tirag, il rst bouls dans l urn. On ctu à nouvau un tirag sans rmis d du bouls d l urn. On not l événmnt «on n a obtnu aucun boul noir au tirag n» ; l événmnt «on a obtnu un sul boul noir au tirag n» ; l événmnt «on a obtnu du bouls noirs au tirag n». a Calculr (, (, (. En déduir ( A A A. Lors d c duièm tirag on a tirags ossibls. Si on a tiré noir au r tirag, on a tiré rougs ; il rst donc rougs t noirs dans l urn t la robabilité d tirr noir st cll d tirr rougs armi, soit A ( Si on a tiré noir au r tirag, on a tiré égalmnt roug ; il rst donc rougs t noir dans l urn t la robabilité d tirr noir st cll d tirr rougs armi, soit A ( Si on a tiré noirs au r tirag, on a tiré roug ; il rst donc rougs t noir dans l urn t la robabilité d tirr noir st cll d tirr rougs armi, soit A ( (n ait c était évidnt uisqu il n y a lus qu ds rougs. Avc ls robabilités totals on a ( ( A ( A ( A, 8 9 soit ( A ( ( A A ( (A A ( ( A b Calculr ( t (. D la mêm manièr on a : (, (, ( A A A ; A A A A A A 9 ( ( ( ( ( ( (

3 A (, A (, A ( ; 8 A A A 9 ( A ( ( A ( ( A ( ( c On a un sul boul noir lors du scond tirag. Qull st la robabilité d avoir obtnu un sul boul noir lors du rmir tirag? On a obtnu un sul boul noir lors d c scond tirag, on connaît donc 8 ( A A ( ( A ( A ( ( 8. ( oints. Calculr ls intégrals suivants : π sin.( cos d ( ( d ( π π cos sin cos J. d j utilis un intégration ar artis avc '( u ( v( J. d d ( u v '( d d K ( L d d V. ( oints. Soit la onction déini sur ] ; [ ar (. Détrminr ls limits d n t n. ( ln. En, il y a un orm indétrminé : ; our > j os X ln donc X ( ainsi d lus ( ln X lim X t X ( ln X lim lim X X lim X lim ar croissancs comarés X X ( ln ar quotint d limits avc ( lim ln t lim >

4 . Calculr '( n onction d ; montrr qu '( a l mêm sign qu : ln.( ln uis détrminr l sns d variation d sur ] ; [. u v u ' v uv ' v avc u ( ( ln t v( ' avc u '( ( ln t ( v ' ln '( ln t ln ( ln ln ( ln ln.( ln ; '( st du sign d : ln.( ln d où l tablau ds variations d sur ] ; [ ln ln '( (. On os, our, ( ln d. a A l aid d un intégration ar artis, calculr ln d. ln d j utilis un intégration ar artis avc u '( u ( ( ln v '( ln ln d d v b Prouvr, n ctuant un intégration ar artis, qu, our tout ntir. : ( ( ln d j utilis un intégration ar artis avc u ' ( u ( our v( ( ln v '( ( ( ln ( ( ln ln ( ln d ( d (. (.

5 c En utilisant ls résultats récédnts, calculr succssivmnt,,. our. our 8. 8 our 8. 8 d En déduir la valur d l intégral : π ( d. ( ln ( ln 8 π ( d π d π d π π

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