1 Fonctions périodiques

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1 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 1 Les séries de Fourier constituent un outil fondamental d approximation des fonctions périodiques, qu il faut commencer par bien comprendre. 1 Fonctions périodiques Definition 1 On appelle période d une fonction f : R C tout nombre réel T tel que t R, f(t + T ) = f(t). On dit que f est périodique si elle admet une période non nulle, et plus précisément qu elle est T - périodique si T est une période strictement positive. Exercice 1 Vérifier que l ensemble des périodes d une fonction f : R C est un sous-groupe de R. Si de plus est f est continue et non constante, montrer que l ensemble de ses périodes est de la forme T Z avec T R +. Une fonction T -périodique est entièrement déterminée par sa restriction à un intervalle semi-ouvert de longueur T, ce que l on peut exprimer un termes algébriques comme suit. Proposition 1 L ensemble F T := {f : R C ; t R, f(t + T ) = f(t)} des fonctions T -périodiques est un espace vectoriel, de même que, quel que soit a R, l ensemble F ([a, a + T [) des fonctions g : [a, a + T [ C, et l application est un isomorphisme d espaces vectoriels. F T F ([a, a + T [) f f [a,a+t [ En pratique, nous allons considérer des fonctions périodiques de classe C k par morceaux. Definition Une fonction f : R C périodique de période T est dite de classe C k par morceaux, pour un entier naturel k, si sa restriction f [,T ] est de classe C k par morceaux, c est-à-dire s il existe une subdivision (a,..., a n ) de [, T ] telle que la restriction de f à chacun des intervalles ouverts ]a j, a j+1 [ (pour j {,..., n 1}) admette un prolongement de classe C k. On rappelle qu une fonction est dite de classe C (par morceaux) si elle est continue (par morceaux). Dans la suite, on notera C k T l espace vectoriel des fonctions T -périodiques de classe C k, C k mcx,t l espace vectoriel des fonctions T -périodiques de classe C k par morceaux. Proposition Si g est de classe C k par morceaux sur un segment [a, a + T ], il existe une unique fonction f qui soit T -périodique, de classe C k par morceaux et coïncidant avec g sur [a, a + T [.

2 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier Démonstration. Pour x = a + nt avec n Z, on a nécessairement f(x) = f(a) = g(a). Pour x R\(a + T Z), il existe un unique entier n Z tel que a + nt < x < a + (n + 1)T, et on a nécessairement f(x) = f(x nt ) = g(x nt ). La fonction ainsi obtenue est par construction T -périodique, et de classe C k par morceaux comme g (pour qu une fonction T -périodique soit de classe C k par morceaux il suffit que sa restriction à un segment de longueur T soit de classe C k par morceaux). Attention, si g est de classe C k, f reste seulement de classe C k par morceaux en général. Proposition 3 Toute fonction périodique continue par morceaux est bornée. Démonstration. Pour montrer qu une fonction T -périodique est bornée, il suffit de montrer qu elle bornée sur [, T ]. Si f est continue par morceaux sur [, T ], si (a,..., a n ) est une subdivision adaptée à f, la restriction de f à chaque intervalle ]a j, a j+1 [, j {, n 1}, admet un prolongement continu f j au segment [a j, a j+1 ]. Donc ( f(x) max max f(a j), j {,...,n} max j {1,...,n} ) max f j (t) ) t [a j,a j+1 ] Proposition 4 Toute fonction périodique continue est uniformément continue. x [, T ]. Démonstration. Soit f une fonction T -périodique. Alors sa restriction au segment [ T/, 3T/] est continue donc uniformément continue. Soit ε >. Il existe η > tel que, pour t, s [ T/, 3T/], t s η f(t) f(s) ε. Soient x, y R tels que x y T/. Il existe un unique entier n Z tel que x nt [, T [. Alors y nt [ T/, 3T/]. Si de plus x y η alors f(x) f(y) = f(x nt ) f(y nt ) ε puisque (x nt ) (y nt ) = x y η et x nt, y nt [ T/, 3T/]. Ceci démontre que f est uniformément continue sur R. Proposition 5 Soit f : R C, T -périodique et continue par morceaux. Alors pour tout réel a on a a+t a f(t)dt = Démonstration. Par la relation de Chasles, T f(t)dt. a+t a f(t)dt = a f(t)dt + T f(t)dt + a+t T f(t)dt.

3 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 3 La dernière intégrale vaut a+t T f(t)dt = a f(s T )ds = a f(s)ds par changement de variables (translation) et périodicité de f, c est-à-dire l opposé de la première. Étant données deux fonctions f et g : R C T -périodiques et continue par morceaux, on note f g := 1 T T f(t)g(t)dt. Proposition 6 L application Cmcx,T k C mcx,t k C (f, g) f g est sesquilinéaire 1 hermitienne positive sur C k mcx,t. Pour tout f C k mcx,t, on note f := f f. Proposition 7 Si f Cmcx,T est telle que f = alors f est nulle sauf peut-être sur un ensemble de points dont l intersection avec [, T ] est finie. Si f CT est telle que f = alors f est nulle. L espace CT est préhilbertien. Proposition 8 Quelles que soient f et g C k mcx,t, on a Inégalité triangulaire : f + g f + g, Inégalité de Cauchy Schwarz : f g f g. Désormais on choisit T = π, par commodité. Quel que soit n Z on note et pour n N on note E n : t e int, C n : t cos(nt), S n : t sin(nt). De façon cohérente, C désignera la fonction constante égale à 1. Proposition 9 La famille de fonctions {E n ; n Z} est orthonormée dans l espace préhilbertien Cπ. La famille {C n ; n N} {S n ; n N } est orthogonale dans Cπ et C = 1, C n = n N, S n = n N. Definition 3 On appelle polynôme trigonométrique toute combinaison linéaire (finie) de la famille {E n ; n Z}. 1. c est-à-dire linéaire à droite, semi-linéaire à gauche. On devrait dire fonction polynôme trigonométrique.

4 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 4 Proposition 1 Soit P un polynôme trigonométrique. Alors il existe p N tel que ce qui équivaut à P = p n= p c n E n, c n := E n P, P = a p + (a n C n + b n S n ), a n := c n + c n = C n P, b n := i(c n c n ) = S n P. On a de plus P = p n= p Séries trigonométriques c n = a p ( a n + b n ). Definition 4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions Σu n où u n est combinaison linéaire de E n et E n quel que soit n N. Proposition 11 Les sommes partielles d une série trigonométrique sont des polynômes trigonométriques. On notera souvent les séries trigonométriques comme des séries bilatères c n E n, où il est entendu que l indice n parcourt Z : de même qu une série ordinaire, une série bilatère z n s identifie à la suite de ses sommes partielles (σ n ) n N, définies par σ n = n l= n et on dit qu une série bilatère converge si la suite de ses sommes partielles converge, auquel cas on note ( n ) z n = z l. n= lim n + Proposition 1 Une série trigonométrique c n E n est normalement convergente si et seulement si la série numérique ( c n + c n ) converge, ou de façon équivalente, la série numérique n 1 ( a n + b n ) définie par a n := c n + c n, b n := i(c n c n ) converge. Démonstration. Par convergence normale de c n E n on entend que la série bilatère numérique cn E n = c n converge. Si c est le cas, alors la suite des sommes partielles de la série ( c n + c n ) est majorée par + n= c n donc ( c n + c n ), série à termes positifs, converge. Réciproquement, la convergence de la série ( c n + c n ) implique que la suite ( n l= n c l ) n N est majorée et comme elle est croissante, cette suite converge. Pour montrer l équivalence entre la convergence de ( cn + c n ) et celle de n 1 ( a n + b n ), on utilise les relations z l, l= n a n = c n + c n, b n = i(c n c n ), c n = a n ib n, c n = a n + ib n,

5 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 5 pour obtenir à l aide de l inégalité triangulaire : 3 Coefficients de Fourier c n + c n a n + b n ( c n + c n ). Definition 5 Étant donnée une fonction f : R C, π-périodique et continue par morceaux, on définit ses coefficients de Fourier exponentiels par c n (f) := E n f = 1 π et ses coefficients de Fourier trigonométriques par a n (f) := C n f = 1 π b n (f) := S n f = 1 π π π π f(t)e int dt, n Z, f(t) cos(nt) dt, n N, f(t) sin(nt) dt, n N. Noter que b (f) = : il est défini par commodité afin d avoir les relations a n (f) = c n (f)+c n (f), b n (f) = i(c n (f) c n (f)), quel que soit n N. c n (f) = a n(f) ib n (f), c n (f) = a n(f) + ib n (f), Remarque 1 Si f est à valeurs réelles, ses coefficients trigonométriques a n (f) et b n (f) sont tous réels. Si f est paire, ses coefficients trigonométriques b n (f) sont tous nuls. Si f est impaire, ses coefficients trigonométriques a n (f) sont tous nuls. On peut décliner quelques propriétés algébriques des coefficients de Fourier. Proposition 13 Soit f : R C, π-périodique et continue par morceaux. On note f la fonction conjuguée, ˇf : t f( t) la fonction symétrique et pour a R, f a : t f(t + a) la fonction translatée Alors c n (f) = c n (f), c n ( ˇf) = c n (f), c n (f a ) = e ina c n (f). Proposition 14 Soit f : R C, π-périodique et continue par morceaux. Ses coefficients de Fourier vérifient c n (f) f 1 f f.

6 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 6 Definition 6 Étant donnée une fonction f : R C, π-périodique et continue par morceaux, on définit sa série de Fourier comme la série trigonométrique c n (f)e n, qu on écrit souvent 3 cn (f)e int, ou encore a (f) + n 1(a n (f) cos(nt) + b n (f) sin(nt)). Pour toute fonction f : R C, π-périodique et continue par morceaux, on notera S p (f) les sommes partielles de sa série de Fourier pour p N (ne pas confondre S n dans S n (f) avec la notation S n pour sin(nt), que l on n utilisera plus désormais) : S p (f) : t p n= p c n (f)e int = a (f) + p (a n (f) cos(nt) + b n (f) sin(nt)) Proposition 15 Soit f : R C, π-périodique et continue par morceaux et S p (f) les sommes partielles de sa série de Fourier. Alors pour tout p N, f S p (f) est orthogonal au sous-espace vectoriel engendré par (E n ) n p. Autrement dit, S p est la projection orthogonale sur Vect ( (E n ) n p ). Démonstration. Par définition de S p (f) et par linéarité de par rapport à sa deuxième variable, E m, f S p (f) = E m, f E n, f E m, E n = n p puisque la famille (E n ) n Z est orthonormée. Corollaire 1 (Inégalité de Bessel) Soit f : R C, π-périodique et continue par morceaux et S p (f) les sommes partielles de sa série de Fourier. Alors pour tout p N, S p (f) f. En outre, la série bilatère c n (f) et la série ( a n (f) + b n (f) ) convergent et l on a n= Démonstration. Puisque c n (f) = a (f) ( a n (f) + b n (f) ) f. on a f = f S p (f) + S p (f), f S p (f) S p (f), f = f S p (f) + S p (f). (En vertu du théorème de Pythagore dans l espace Cmcx,T k muni de!) La deuxième assertion provient du fait qu une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Noter que l inégalité c n (f) f de la Proposition 14 est une conséquence de l inégalité de Bessel, cette dernière étant plus précise. 3. avec le même abus que pour les séries entières, sans flèche bien que ce soit une série de fonctions et non une série numérique

7 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 7 Corollaire Les coefficients de Fourier d une fonction f : R C, π-périodique et continue par morceaux tendent vers zéro à l infini, c est-à-dire que lim c n(f) =, n + lim a n(f) =, n + lim b n(f) =. n + Démonstration. Ceci vient du corollaire précédent et du fait que le terme général d une série convergente tend vers zéro. Corollaire 3 (Lemme de Riemann-Lebesgue) Si f est une fonction continue par morceaux sur le segment [a, b] alors on a lim n + b a f(t) e int dt =. Noter que ce passage à la limite sous le signe ne se déduit pas des théorèmes classiques car la suite de fonctions (E n ) n N ne converge même pas simplement. Pour le démontrer, on remarque que grâce à la relation de Chasles, il suffit de le montrer pour a < b < a + π, et si c est le cas on applique le corollaire à la fonction π-périodique coïncidant avec f sur [a, b] et nulle sur ]b, a + π[. Plus f est régulière, plus ses coefficients de Fourier tendent rapidement vers zéro, c est l objet du résultat suivant. Proposition 16 Si f : R C est π-périodique et de classe C k (pour k N) alors ses coefficients de Fourier vérifient c n (f) = o(1/ n k ), n +. Démonstration. Par intégration par parties successives, on montre que c n (f (k) ) = (in) k c n (f) et comme c n (f (k) ) tend vers zéro lorsque n +, on en déduit que c n (f) = o(1/ n k ). Théorème 1 Si une série trigonométrique γ n E n converge uniformément sur R alors sa somme f est continue, π-périodique, et ses coefficients de Fourier sont précisément c n (f) = γ n. Démonstration. La somme f = + n= γ ne n est continue comme limite uniforme d une suite (celle des sommes partielles) de fonctions continues. Elle est π-périodique comme limite d une suite de fonction π-périodiques. De plus ses coefficients de Fourier sont définis par c n (f) = 1 π π m= γ m e imt e int dt et comme la série γ n E n converge uniformément, on peut intervertir et, ce qui donne c n (f) = m= 1 π γ m e i(m n)t dt = γ n. π π

8 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 8 4 Convergences des séries de Fourier 4.1 Convergence simple Théorème (Dirichlet) Soit f : R C une fonction π-périodique, continue par morceaux. On suppose en outre que t f(t) f(t ) et t f(t) f(t+ ) t t t t ont une limite respectivement quand t t et quand t t, où f(t ) désigne la limite à gauche de f en t et f(t + ) sa limite à droite. Alors la série de Fourier de f converge en t et n= Attention, si les valeurs des limites c n (f)e int = f(t ) + f(t+ ) f(t) f(t lim ) f(t) f(t + et lim ) t t t t t t t t n apparaissent pas dans la conclusion, l existence de ces limites est cruciale dans la démonstration. Ces limites existent par exemple pour toutes les fonctions de classe C 1 par morceaux, auquel ce théorème s applique donc. (Il est faux pour les fonctions seulement continues par morceaux en général.) La démonstration repose sur les propriétés du noyau de Dirichlet données ci-dessous et sur le lemme de Riemann Lebesgue. Proposition 17 Soit p N et D p := p n= p E n. Le polynôme trigonométrique D p est à valeurs réelles, pair, et vérifie : 1 π D p = 1, π t R\{πZ}, π D p (t) = sin ( (p + 1 )t) sin ( ) t, t πz, D p (t) = p + 1. Démonstration. [Théorème de Dirichlet] On commence par observer que, par définition de D p, puis grâce à sa parité et au fait qu il soit de moyenne 1, S p (f)(t ) f(t ) + f(t+ ) = 1 π (f(t +θ) f(t + )) D p(θ) dθ + 1 π. (f(t θ) f(t )) D p(θ) dθ. Il s agit de montrer que les deux intégrales ci-dessus tendent vers zéro lorsque p +. Nous allons traiter la première, la démonstration étant analogue pour la seconde. La difficulté provient du fait que la suite de fonctions (D p ) p N ne converge pas uniformément ni même simplement sur [, π]. D après l expression explicite de D p, on a (f(t + θ) f(t + )) D p(θ) dθ = g(θ) sin ( (p + 1 )θ) dθ,

9 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 9 où g est la fonction continue par morceaux définie par g(θ) = f(t + θ) f(t + ) sin ( ), si θ [ π, π]\{}, θ f(t + θ) f(t + g() = lim ). θ θ Comme sin ( (p + 1 )θ) = sin(pθ) cos ( ( θ ) + cos(pθ) sin θ ), on obtient donc grâce au lemme de Riemann Lebesgue que lim p + g(θ) sin ( (p + 1 )θ) dθ =. 4. Convergence normale Théorème 3 Soit f : R C une fonction π-périodique, de classe C 1 par morceaux. On suppose en outre qu elle est continue. Alors la série de Fourier de f converge normalement et sa somme est f. Démonstration. Le fait que f soit classe C 1 par morceaux et continue implique que (la série bilatère numérique) c n (f) converge absolument. En effet, si (a,..., a p ) est une subdivision de [, π] adaptée à f, on a c n (f) = 1 π p 1 aj+1 j= a j fj (t)e int dt, avec f j de classe C 1 sur [a j, a j+1 ], sachant que f et f j coïncident sur ]a j, a j+1 [. Comme f est continue, on a de plus f j (a j+1 ) = f j+1 (a j+1 ) = f(a j+1 ). Ainsi, en intégrant par parties chaque intégrale, on obtient c n (f) = 1 iπn p 1 aj+1 j= a j f j (t)e int dt + 1 iπn où g est la fonction π-périodique continue par morceaux définie par La somme des termes de bord est nulle car p 1 j= [ f j (t)e int ] a j+1 a j = p 1 j= g(x) = f j(x) si x [a j, a j+1 [. p p 1 [ f j (t)e int ] a j+1 a j ( f j (a j+1 )e ina j+1 f j (a j )e ina j ) = j= = c n(g) in f p 1 (a p )e inap f (a )e ina + ( f j (a j+1 ) f j+1 (a j+1 )) e ina j+1 = f(π)e iπn f() =. Par suite, j=1 c n (f) c n(g) n c n (g) n,

10 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 1 donc la série c n (f) converge comme somme de deux séries convergentes. Enfin, d après le théorème de Dirichlet et puisque f est continue, on a pour tout t R, n= c n (f)e int = f(t). Attention, la continuité de f est cruciale dans ce théorème. 4.3 Convergence en moyenne quadratique Théorème 4 (Parseval) Soit f : R C une fonction π-périodique, continue par morceaux. Alors la suite des sommes partielles (S p (f)) p N de la série de Fourier de f est telle que lim S p(f) f =, p + et lim S p(f) p + = n= c n (f) = a (f) ( a n (f) + b n (f) ) = f. La démonstration repose sur le résultat d approximation suivant. Théorème 5 Soit f : R C une fonction π-périodique, continue par morceaux. Quel que soit ε >, il existe un polynôme trigonométrique P tel que f P ε. Démonstration. On procède en trois étapes. 1) Étant donné ε >, il existe une fonction g : R C, continue π-périodique et affine par morceaux telle que f g ε. (Attention, ce serait faux avec la norme!) Pour la construire, on commence par approcher f par une fonction ϕ en escalier et π-périodique : grâce à la continuité uniforme de toute fonction continue sur un segment, on peut en effet trouver une fonction en escalier π-périodique telle que f ϕ ε. (Ici, f signifie max{ f(t) ; t a k, k =,..., n} si (a k ) k n est une subdivision adaptée à f.) Puis on régularise ϕ en posant, si (a,..., a n ) est une subdivision adaptée à ϕ et si α > est strictement inférieur à la moitié du pas de cette subdivision, g(t) = ϕ(t) (t a j )/α, si t [a j, a j + α], ϕ(t), si t [a j + α, a j+1 α], ϕ(t) (a j+1 t)/α, si t [a j+1 α, a j+1 ]. Le calcul montre que ϕ(t) g(t) dt α n ϕ.

11 L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 11 Quitte à diminuer α, on peut donc supposer que Finalement, on a par l inégalité triangulaire ϕ g ε. f g f ϕ + ϕ g f ϕ + ϕ g ε + ε = ε. (Rappelons que u u avec notre définition de u, la moyenne quadratique de u.) ) La fonction g étant continue π-périodique et affine par morceaux, elle est limite uniforme des sommes partielles de sa série de Fourier (d après le théorème 3). Donc il existe un polynôme trigonométrique P tel que g P ε. Finalement, par l inégalité triangulaire on a f P f g + g P f g + g P 3ε. Démonstration. [Théorème de Parseval] Soit ε >. Il existe un polynôme trigonométrique P tel que f P ε. Ainsi on a par l inégalité triangulaire, pour tout p N, S p (f) f S p (f) S p (P ) + S p (P ) P + P f S p (P ) P + P f d après l inégalité de Bessel. Or comme P est un polynôme trigonométrique, il existe p N tel que pour tout p p, S p (P ) = P, d où S p (f) f ε. Ceci prouve la première assertion, et implique la deuxième car lim S p(f) f = = lim S p(f) = f. p + p + Exercice Calculer les coefficients de Fourier de la fonction π-périodique telle que f(t) = t pour t [ π, π]. En déduire les égalités suivantes, respectivement à l aide du théorème de Dirichlet et à l aide du théorème de Parseval : 1 n = π + 6, 1 n 4 = π4 9.

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