CONCOURS D ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière PSI

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1 A 2009 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l épreuve : 3 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

2 Aspects déterministes de l étude des matrices aléatoires Rappels On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de n! quand n tend vers l infini n! 2π n n+1/2 e n. On rappelle aussi que le déterminant d une matrice M de coefficient (m i, j ; 1 i, j n) peut s exprimer comme det M = σ S n ε(σ) m 1,σ(1) m 2,σ(2)... m n,σ(n), où S n est l ensemble des permutations de {1,, n} et ε(σ) est la signature de la permutation σ. I Polynômes d Hermite Pour tout entier naturel k, on définit la fonction h k par h k : R R x ( 1)k 2 k e x2 D k (e x2 ), où D k (e x2 ) désigne la dérivée k-ième de la fonction g(t) = e t2 prise au point t = x. (Par convention D 0 (e x2 ) = e x2.) 1) Calculer h 0 et h 1 et établir pour tout entier n, pour tout réel x, l identité suivante : 2h n+1 (x) 2xh n (x) + h n(x) = 0. (1) 2) En déduire que h n est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1. On admet que pour tous les entiers m et n, π n! 2 n si m = n h m (x)h n (x)e x2 dx = 0 si m n. (2) 2

3 On notera dorénavant d n = π n! 2 n. 3) Montrer que pour tout réel x, l identité suivante est satisfaite : d n = 2 n e x2 h n (x). t=0 dt n e (x t)2 4) Montrer que pour tout réel x, la fonction f x de la variable réelle t définie par f x (t) = e (x t)2, admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence, + t k f x (t) = k! 2k h k (x) e x2. k=0 On considère la fonction w définie par w : R R R (x, t) e 2xt t2. Il est évident (et admis dans la suite) que w satisfait la propriété suivante : pour tout réel x et tout réel t, w (x, t) (2x 2t)w(x, t) = 0. (3) t 5) Établir pour tout réel x et tout entier positif n, l équation de récurrence suivante : avec la convention h 1 (x) = 0. 2h n+1 (x) 2xh n (x) + nh n 1 (x) = 0, (4) 6) Montrer que pour tout entier n, l identité h n = nh n 1 est satisfaite. On pose maintenant pour tout entier k et pour tout réel x, φ k (x) = 1 dk e x2 2 hk (x). 3

4 Les égalités (2) impliquent que φ m (x) 2 dx = 1 et que φ m (x)φ n (x) dx = 0, si m n. (5) 7) Calculer φ n (0) et φ n(0) pour tout entier n. 8) Pour tout entier k, tout réel x et tout réel y, exprimer (x y)h k (x)h k (y) uniquement en fonction de h k+1 (x), h k+1 (y), h k (x), h k (y), h k 1 (x) et h k 1 (y). 9) Établir, pour des réels x et y distincts, les identités suivantes : n 1 1 (x y) h k (x)h k (y) = 1 (h n (x)h n 1 (y) h n (y)h n 1 (x)), k=0 d k d n 1 n 1 k=0 n φ k (x)φ k (y) = 2 φ n (x)φ n 1 (y) φ n 1 (x)φ n (y) x y (6) II Étude de φ 2m Dans toute cette partie, m est un entier naturel fixé. Soient β et γ deux réels non nuls et r une fonction continue sur R, on considère l équation différentielle suivante : ρ (x) + γ 2 ρ(x) = r(x), pour tout réel x, ρ(0) = β, ρ (0) = 0. (S(r, β, γ)) 10) Montrer que l équation différentielle (S(r, β, γ)) a une solution unique dont on donnera l expression. 4

5 Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l admet dorénavant) que pour tout m, φ 2m est solution de l équation différentielle suivante : ρ (x) + (4m + 1)ρ(x) = x 2 ρ(x), pour tout réel x, ρ(0) = φ 2m (0), ρ (0) = φ 2m(0). (S) 11) Montrer que pour tout réel x, φ 2m (x) = α 2m cos( 4m + 1 x) + avec pour tout entier m : x 0 sin( 4m + 1(x y)) 4m + 1 y 2 φ 2m (y) dy, α 2m = ( 1)m π 1 4 (2m)! 2 m m! 12) Trouver un équivalent de α 2m quand m tend vers l infini. 13) Montrer que pour tout réel x, l inégalité suivante est vérifiée : x sin( 4m + 1(x y)) y 2 φ 2m (y) dy 0 4m x 5 2 4m On pourra utiliser l inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5). 14) Établir pour tout réel x > 0, la limite suivante : lim ( 1)m π m 1 x 4 φ2m ( m + 2 m ) = cos(x). III Intégrales de déterminants Pour tout entier N, on note K (N) la fonction de R 2 dans R donnée par pour tout (x, y) R 2. K (N) (x, y) = N 1 k=0 φ k (x)φ k (y), 5

6 15) Montrer, pour tout x et y dans R, les identités suivantes : K (N) (x, z)k (N) (z, y) dz = K (N) (x, y), K (N) (x, x) dx = N. Soit k un entier tel que k 2, et σ une permutation de l ensemble {1,... k}. Pour deux entiers i et j de {1,... k}, on note (i, j) la transposition qui échange i et j. On fait la convention : (i, j) est égale à l identité de S k si i = j. On pose σ = (k, σ(k)) σ. 16) Montrer que σ définit une permutation de {1,..., k} telle que σ(k) = k. Calculer sa signature en fonction de celle de σ. (On distinguera le cas où σ(k) = k du cas où σ(k) k.) On note σ la restriction de σ à {1,, k 1}. On considère l application θ définie par : θ : S k S k 1 σ σ. Soit σ S k, on rappelle que ) θ ({θ(σ)} 1 = {τ S k / θ(τ) = θ(σ)}. 17) Soit σ S k, établir les propriétés suivantes : ( ) cardinal θ 1 1 si σ(k) = k, ({θ(σ)}) = k 1 sinon. 18) Montrer pour tout (x 1,, x k ) R k, pour tout entier N, les identités suivantes : k 1 N K (N) (x i, x σ(i) ) si σ(k) = k, k K (N) i=1 (x i, x σ(i) ) dx k = i=1 k 1 K (N) (x i, x σ(i) ) sinon. i=1 6

7 Si L est une fonction de R 2 à valeur dans R, on note pour tout (x 1,, x k ) dans R k, L(x 1, x 1 ) L(x 1, x 2 )... L(x 1, x k ) L(x 2, x 1 ) L(x 2, x 2 ) Det L(x 1,, x k ) = det L(x k, x 1 ) L(x k, x k ) On notera que si L est continue sur R 2 alors Det L est continue sur R k. 19) En utilisant l expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entier k 1, Det K (N) (x 1,, x k ) dx k = (N k + 1) Det K (N) (x 1,, x k 1 ), avec par convention Det K (N) (x 1,, x k ) = 1 si k = 0. IV Déterminants et intégrales Pour tout entier N 1, on note la fonction de R N dans R définie par Pour 1 k N, on note k et pour k < N (x 1,..., x N ) = e N i=1 x2 i 1 i<j N (x i x j ) 2. la fonction de R k dans R définie par récurrence par N =, k (x 1,..., x k ) = 1 k+1 N k (x 1,..., x k, y) dy. 20) Soient N réels, x 1,, x N, montrer les deux égalités suivantes : h 0 (x 1 ) h 1 (x 1 ) h N 1 (x 1 ) det.... = det... h 0 (x N ) h 1 (x N ) h N 1 (x N ) = 1 i<j N 1 x 1 x N x N x N 1 N (x i x j ). 7

8 21) Soient N réels (x 1,, x N ), établir pour tout entier 1 k N, l identité suivante : 1 d 0 d N 1 k (x 1,..., x k ) = Det K (N) (x 1,, x k ). On commencera par le cas k = N. Fin du problème On déduit de tout ce qui précède, que pour tout entier k > 0 et tout (x 1,..., x k ) R k, où lim N + (2N) k 2 1 d 0 d N 1 k ( x 1 2N,..., S : R 2 R sin(x y) (x, y) π(x y) si x y (x, x) 1 π. x k 2N ) = det S(x 1,, x k ), Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l on choisit une matrice hermitienne de taille N,«au hasard», la probabilité que k de ses valeurs propres soit dans un voisinage de (x 1,..., x k ) est proportionnelle à det S(x 1,, x k ) pour N grand. Ces considérations sont particulièrement d actualité pour l étude des systèmes radio à plusieurs antennes utilisés dans les «box». 8

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