LA GEOMETRIE DU COLLEGE

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1 L GEETRIE DU LLEGE I. Le triangle : 1 ) Triangles particuliers Un triangle isocèle a deux côtés égaux Un triangle équilatéral a tous ses côtés égaux Un triangle rectangle a un angle droit ) Droites remarquables d un triangle - La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Soit (d) la médiatrice d un segment [], (d) = Les trois médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle. H - La hauteur issue d un sommet du triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au coté opposé. n parle aussi de hauteur relative à un coté. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. - La bissectrice d un angle est la droite qui partage l angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices des angles d un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit dans le triangle. I La médiane issue d un sommet du triangle est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du coté opposé. n parle aussi de médiane relative à un coté. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité au triangle. Remarque : Le centre de gravité se trouve toujours aux deux tiers de la médiane en partant du sommet. G

2 ) Théorèmes de la droite des milieux : THEREE 1 : Dans un triangle, Si I est le milieu de [] et J est le milieu de [], lors (IJ) est parallèle à () et IJ = 1 J THEREE : Dans un triangle, Si une droite passe par I est le milieu de [], Et si cette droite est parallèle à (), lors cette droite coupe [] en son milieu J I II. Propriétés particulières du triangle rectangle 1 ) Théorème de Pythagore et réciproque Théorème : Si un triangle est rectangle en, lors ² + ² = ². Exemple : est un triangle rectangle en avec = cm et = 4cm. Puisque est rectangle en, alors d après le théorème de Pythagore on a : ² = ² + ² ² = ² + 4² ² = ² = 5 = 5 = 5 Réciproque : Si un triangle est tel que ² + ² = ², lors il est rectangle en. Exemple : est un triangle tel que =5cm, = 1 cm et = 1cm. Vérifions si ² + ² = ² D une part: ² + ² = 5² + 1² = = 169 D autre part : ² = 1² = 169 Puisque ² + ² = ², lors d après la réciproque de Pythagore est rectangle en. ) Triangle rectangle et cercle Si est rectangle en, alors le point appartient au cercle de diamètre [] Réciproque : Si le triangle est inscrit dans un cercle de diamètre [], alors est rectangle en.

3 ) Trigonométrie Dans un triangle rectangle, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés. ôté opposé Hypoténuse x cos d x = côté adjacent (à d x ) hypoténuse sin d x = ôté adjacent côté opposé (à d x ) hypoténuse tan d x = côté opposé (à d x ) côté adjacent (à d x ) Remarque : Pour toute valeur de x, on a les égalités suivantes : tan x = sin x cos x (cos x)² + (sin x)² = 1 Quelques valeurs remarquables : d x cos d x sin d x tan d x III. ngles 1 ) Les angles d un triangle : Les trois angles d un triangle sont supplémentaires (leur somme vaut 180 ). En particulier : Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90 ). Dans un triangle isocèle, les deux angles adjacents à la base sont égaux. ) onfigurations angulaires z x x y y Les angles a xz et a x z sont «opposés par le sommet». Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux. z Les angles a x z et a yz sont «alternes-internes». Si les deux droites sont parallèles, alors deux angles alternesinternes sont égaux. Les angles a xz et a yz sont «correspondants». Si les deux droites sont parallèles, alors deux angles correspondants sont égaux.

4 ) ngle inscrit, angle au centre () est un cercle de centre. L angle a est appelé angle inscrit dans (). L angle a aussi. L angle a est l angle au centre associé à cet angle inscrit. n dit que ces angles interceptent le même arc c. La mesure d un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l ange au centre associé. IV. Théorème de Thalès et réciproque 1 ) onfiguration de Thalès : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en Soient et deux points de (d), distincts de «configuration de Thalès» Soient et deux points de (d'), distincts de Voici les configurations de Thalès «classiques» : Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont les longueurs sont proportionnelles. n peut résumer la position des points,,, et par une seule phrase : «Les droites () et () sont sécantes en et () // ()». ) Théorème de Thalès : Si les droites () et () sont sécantes en et les droites () et () sont parallèles, alors = =. ) Réciproque du théorème : Si = et si les points,, et les points,, sont dans le même ordre, alors les droites () et () sont parallèles.

5 V. ire des figures planes usuelles base hauteur côté 1 côté (Petite ase + Grande ase) Hauteur Longueur Largeur Diagonale 1 Diagonale π Rayon² VI. Transformations usuelles a. Symétrie axiale (par rapport à une droite donnée) Définition : a pour image par la symétrie d axe ( ) ( ) est la médiatrice de [ ]. ( ) Point(s) invariant(s)* : tous les points de la droite ( ). Propriété(s) particulière(s) : Si (d) et (d ) sont symétriques par rapport à ( ), alors leur point d intersection appartient à ( ). b. Symétrie centrale (par rapport à un point donné) Définition : a pour image par la symétrie de centre est le milieu de [ ]. Point(s) invariant(s)* : le centre. Propriété(s) particulière(s) : Si (d) et (d ) sont symétriques par rapport à, alors elles sont parallèles.

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