Limite d une fonction en un point

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1 Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce cas, lim f (x) = l. x a Exemple I = [1, a[, lim x 1 f (x) = f (1) = l, lim x a f (x) = m. Proposition Si la limite de f en a existe, alors elle est unique. 1/51

2 Limites à droite et à gauche Définiton Si x se rapproche de a par valeurs décroissantes, c-à-d x > a (reps. croissantes, c-à-d x < a), on note x a + (reps. x a ). Limite d une fonction f à droite (resp. à gauche) de a : lim f (x) = lim f (x) (resp. lim f (x) = lim f (x)). x a + x a,x>a x a x a,x<a Exemple I = [ a,0[ ]0, a], lim x 0 f (x) = l, lim x 0 + f (x) = m. Propriété lim x a f (x) = l = lim f (x) = l = lim f (x). x a x a + 2/51

3 Limite infinie et en l infini Définiton On peut étendre la notion de limite pour l infini. On a : lim x a f (x) = + signifie "quand x se rapproche de a, f (x) devient aussi grand que l on veut ; lim x + f (x) = l signifie "quand x devient très grand, f (x) se rapproche de l ; lim x f (x) = l signifie "quand x devient très petit, f (x) se rapproche de l ; lim x ± f (x) = ± signifie "quand x devient très grand (petit), f (x) devient aussi grand (petit) que l on veut. Exemple lim x x = +, lim x 0 1 x =, lim x + 1 x = 0, lim x 1 x = 0. 3/51

4 Opérations sur les limites Proposition Soient f et g deux fonctions, et a R {,+ } et l,m R. Si lim x a f (x) = l et lim x a g (x) = m, alors : lim x a (f (x) + g (x)) = l + m ; lim x a (m f (x)) = ml ; lim x a (f (x)g (x)) = lm ; si m 0, lim x a f (x) g (x) = l m ; f (x) si m = 0 et g (x) > 0 pour x proche de a, et l 0, on a lim x a g (x) = + quand l > 0, et quand l < 0 ; f (x) si m = 0 et g (x) < 0 pour x proche de a, et l 0, on a lim x a g (x) = quand l > 0, et + quand l < 0. La proposition précédente ne fait pas mention de ce qu on appelle les Formes Indéterminées. Voici un tableau récapitulatif contenant les différents types de F.I. 4/51

5 Limites et Formes Indéterminées lim a f lim a g lim a (f + g ) lim a (f g ) lim a f g ± m 0 ± ±sgn(m) ±sgn(m) l 0 ± ± ±sgn(l) 0 + F.I. + F.I F.I F.I. 0 ± ± F.I. 0 (± ) 0 ± 0 ± F.I. (± ) 0 ±sgn(g ) F.I /51

6 Théorème d encadrement Théorème Soit f une fct définie sur un intervalle I, sauf p-ê en a (a fini ou infini), c-à-d x ]a α, a + α[, α > 0, pour a fini ; x > M > 0 pour a = + ; x < M < 0 pour a =, on a : (i) u(x) f (x) v(x), si u et v ont la même limite l finie en a, alors : lim f (x) = l. x a (ii) u(x) f (x), si lim x a u(x) = +, alors : lim f (x) = +. x a (iii) f (x) v(x), si lim x a v(x) =, alors : lim f (x) =. x a 6/51

7 Exemples Exemple (lim a f = l) pour x ]a α, a + α[, u(x) f (x) v(x) et lim a u = l = lim a v. Exemple (lim + f = l) pour x M, u(x) f (x) v(x) et lim + u = l = lim + v. 7/51

8 Exemples Exemple (lim a f = + ) pour x M, u(x) f (x) et lim x + u(x) = +. 8/51

9 Méthodes pour calculer des limites et enlever les F.I.s Limite à l infini d une fonction polynômiale et F.I. + La méthode est de mettre en facteur le terme de plus haut degré. Exemple lim x + (6x 5 x 3 + 1) est une F.I. +. On peut, pour x assez grand (loin de 0), diviser par x et ses puissances ; on peut donc écrire : Donc 6x 5 x = 6x 5 (1 1 6x x 5 ). lim x + (6x5 x 3 + 1) = lim x + 6x5 (1 1 6x x 5 ). Comme lim x + (1 1 6x x 5 ) = 1 et lim x + 6x 5 = +, on obtient : lim x + (6x5 x 3 + 1) = +. 9/51

10 Méthodes pour calculer des limites et enlever les F.I.s Limite à l infini d une fonction rationnelle et F.I. La méthode est de mettre le terme de plus haut de degré du numérateur et celui du dénominateur en facteur, et de simplifier les facteurs ainsi obtenus. Exemple lim x + 5x 3 +3x 2 +x+1 4x 5 +x+3 est une F.I.. On a pour x assez grand (loin de 0) : 5x 3 + 3x 2 + x + 1 = 5x 3 ( x + 1 5x x 3 ) et 4x 5 + x + 3 = 4x 5 ( x x 5 ). Donc lim x + 5x 3 +3x 2 +x+1 4x 5 +x+3 = lim x + 5x 3 (1+ 3 5x + 1 5x x 3 ) = lim x + 5 4x 5 (1+ 1 4x x 5 ) x + 1 4x 2 5x x x x 5 Comme lim x + ( x + 1 5x x 3 ) = lim x + ( x x 5 ) = 1 et lim x + 5 4x 2 = 0, on obtient : 5x 3 + 3x 2 + x + 1 lim x + 4x 5 = 0. + x /51

11 Méthodes pour calculer des limites et enlever les F.I.s Remarque On peut montrer ainsi qu une fonction rationnelle non nulle a le même comportement en + et que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et dénominateur. 11/51

12 Méthodes pour calculer des limites et enlever les F.I.s Limite en a de F.I. 0 0 d un quotient de fonctions Pour une fonction rationnelle, la F.I. provient du fait que a est une racine pour son numérateur et son dénominateur, c-à-d qu ils sont tous les deux divisbles par x a. La méthode consiste donc à diviser le numérateur et le dénominateur par x a tant que les quotients obtenus ont a pour racine. Cela permet d enlever la F.I. et ainsi on peut calculer la limite. Exemple x lim 2 1 x 1 x 2 3x+2 est une F.I On a bien 1 qui est une racine pour x2 1 et x 2 3x + 2. On obtient le quotient de la division de de chacun de ces polynômes par x 1 par identification ou division euclidienne. Ici, c est en fait assez simple. On a x 2 1 = (x 1)(x + 1) (identité remarquable) et x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2). Donc, pour x 1, x 2 1 (x 1)(x + 1) x 2 = 3x + 2 (x 1)(x 2) = x + 1 x 2. Donc x 2 1 lim x 1 x 2 3x + 2 = lim x + 1 x 1 x 2 = = 2. 12/51

13 Méthodes pour calculer des limites et enlever les F.I.s Limite en a de F.I. 0 0 ou + d un quotient de fonctions Pour un quotient dont le numérateur (ou le dénominateur) est une somme ou une différence dont l un des termes est une racine carrée, la méthode consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par l expression conjuguée, puis de simplifier le quotient obtenu. Exemple (1) lim x 5 x 1 2 x 5 est une F.I Le numérateur a une racine carrée dans son expression. Son expression conjuguée est x Si on multplie le numérateur et le dénominateur par cette expression, on obtient, pour x 5 : x 1 2 x 5 = ( x 1 2)( x 1+2) (x 5)( = ( x 1) x 1+2) (x 5)( x 1+2) x 1 4 = (x 5)( = x 5 x 1+2) (x 5)( = 1. x 1+2) x 1+2 Donc lim x 5 x 1 2 x 5 1 = lim = 1 x 5 x /51

14 Méthodes pour calculer des limites et enlever les F.I.s Exemple (2) lim x + x + 2 x est une F.I. +. Multiplions et divisons cette expression par son expression conjuquée qui est x x. On a, pour x assez grand x + 2 x = ( x+2 x)( 2 x+2+x) x+2 x 2 x+2+x x+2+x 1 x Comme lim + 2 x 2 1 x + 1 = 1, on obtient : x + 2 x2 +1 lim x + 2 x = lim x + = x+2 x2 = x2 ( 1 x + 2 x 2 1) x+2+x x( 1 x + 2 x 2 +1) 1 x = x + 2 x x + 2 x x x + 2 x + 1 x 2 1 x + 2 x =. 14/51

15 Dérivée d une fonction réelle en un point Dans toute la suite, I désignera un intervalle réel non vide et non réduit à un point. Considérons une fonction réelle f définie sur I f : I R x f (x). On note C f la courbe représentative de f, c-à-d la courbe d équation y = f (x) dans le repère (orthonormé) (O, i, j ). Soit M 0 (a, f (a)) C f,fixé, et M(x, f (x)) C f, mobile, avec M M 0. Sécante (D M ) = (M 0 M) la sécante à C F passant par les points M 0 et M. Son coefficient directeur est donné par : f (x) f (a) ϕ a (x) :=. x a 15/51

16 Dérivée d une fonction réelle en un point Définiton On appelle tangente à la courbe C f au point M 0 (a, f (a)), la droite (D) passant par M 0 et position limite de la sécante (D M ) quand M C F tend vers M 0. 16/51

17 Dérivée d une fonction réelle en un point Il y a trois possibilités : (1) lim x a ϕ a (x) existe et est finie : dans ce cas, la droite (D) a pour coefficient directeur λ := lim x a ϕ a (x) et (D) a pour équation : y = λ(x a) + f (a). (2) lim x a ϕ a (x) est infinie : la droite (D) est appelée tangente verticale à C f en M 0 (a, f (a)) et elle a pour équation : x = a. (3) ϕ a n a pas de limite finie ou infinie en a : dans ce cas, (D) n est pas une droite, mais parfois deux demi-droites, appelées demi-tangentes. 17/51

18 Dérivée d une fonction réelle en un point Exemple (1) Tangente en (1,1) de C f avec f : R R x x 2. On a f (x) f (1) x 2 1 lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x 1)(x + 1) = lim x + 1 = 2. x 1 x 1 x 1 Donc l équation de la tangente est y = 2(x 1) + f (1), c-à-d y = 2x 1. 18/51

19 Dérivée d une fonction réelle en un point Exemple (2) Tangente en (0,0) de C f avec f : [0,+ [ R x x. On a f (x) f (0) x lim = lim x 0 x 0 x 0 x = lim 1 = +. x 0 x Donc la courbe a une tangente verticale en (0,0) d équation x = 0. 19/51

20 Dérivée d une fonction réelle en un point Exemple (3) Tangente en (0,0) de C f avec f : R R x x. On a qui n existe pas. Par contre f (x) f (0) x lim = lim x 0 x 0 x 0 x lim x 0 x x = lim x 0 x x = 1, lim x 0 + x x = lim x 0 + x x = 1. Donc la courbe n a pas de tangente en (0,0) mais deux demi-tangentes (à gauche et à droite de (0, 0)) d équation respective y = x et y = x. 20/51

21 Dérivée d une fonction réelle en un point Définiton Soit f une fonction définie sur I et a I. (i) On appelle taux d accroissement ou de variation de f en a la fonction : ϕ a : I \ {a} R f (x) f (a) x x a. Pour x I \ {a}, ϕ a (x) est le coefficient directeur de la sécante à la courbe représentative C f de f passant par (a, f (a)) et (x, f (x)). (ii) On dit que f est dérivable en a si lim x a ϕ a (x) existe et est finie. Dans ce cas, on pose : f (a) := lim x a ϕ a (x). C est le nombre dérivé de f en a. C est le coefficient directeur de la tangente à C f au point (a, f (a)). Dans ce cas, l équation de la tangente à C f en (a, f (a)) a pour équation : y = f (a)(x a) + f (a). 21/51

22 Dérivée d une fonction réelle en un point Exemple Dérivabilité de (1) On a Donc, pour a R, f (x) f (a) x a f : R R x x 2. = x2 a 2 x a (x a)(x + a) = = x + a. x a f f (x) f (a) (a) = lim = lim(x + a) = 2a. x a x a x a 22/51

23 Dérivée d une fonction réelle en un point Exemple (2) On a Donc, pour a R \ {0}, f (x) f (a) x a f : R \ {0} R x 1 x. 1 x 1 a = x a a x xa = x a = 1 xa. f f (x) f (a) (a) = lim = lim 1 x a x a x a xa = 1 a 2. 23/51

24 Développement limité d ordre 1 Proposition Soit f une fonction définie sur I, a I. Alors f est dérivable en a si et seulement si il existe un unique λ R, une unique fonction ε définie sur I tels que : (i) lim x a ε(x) = 0 = ε(a) (ii) x I, f (x) = f (a) + λ(x a) + (x a)ε(x). Dans ce cas, λ = f (a). L expression ci-dessus est appelée développement limité ou de Taylor-Young de f en a à l ordre 1. Exemple La fonction x x 2 a pour développement limité d ordre 1 en a est : Ici λ = 2a et ε(x) = (x a) 2. x 2 = a 2 + 2a(x a) + (x a) 2. 24/51

25 Lien avec la continuité Proposition Soit f une fonction définie sur I, a I. Alors f est dérivable en a = f continue en a. Remarque La réciproque est FAUSSE. Quelques contres exemples : les fonctions suivantes sont continues en 0 mais pas dérivables x x x x. 25/51

26 Fonction dérivée Définiton Soit f une fonction définie sur I. On dit que f est dérivable sur I si On note alors la fonction dérivée ou la dérivée de f. x I f est dérivable en x. f : I R x f (x) 26/51

27 Dérivées des fonctions usuelles f D f f D. de dériv. x Cste R x 0 R x x n (n N ) R x nx n 1 R x 1 x n (n N ) R x n x n+1 R x e x R x e x R x ln(x) ]0,+ [ x 1 x ]0,+ [ x x [0,+ [ x 1 2 x ]0, + [ x 3 x R x x 2 R 27/51

28 Dérivées des fonctions usuelles f D f f D. de dériv. x x α (α R \ Q) ]0,+ [ x αx α 1 ]0,+ [ x cos(x) R x sin(x) R x sin(x) R x cos(x) R x tan(x) k Z ](2k 1) π 2,(2k + 1) π 2 [ x 1 cos 2 (x) k Z ] 2k 1 2 π, 2k+1 2 π[ Remarque 1 cos 2 (x) = 1 + tan2 (x). 28/51

29 Propriétés algébriques de la dérivée Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur I. Alors : (i) f + g est dérivable sur I et (f + g ) = f + g (ii) f g est dérivable sur I et (formule de Leibniz) (f g ) = f g + f g (iii) si g (a) 0, a I, f g est dérivable en a et ( f g ) (a) = f (a)g (a) f (a)g (a) (g (a)) 2. 29/51

30 Dérivée d une fonction composée Exemple Dérivée de la fonction tangente. Soit x ](2k 1) π 2,(2k + 1) π 2 [ avec k Z. On a ( ) sin(x) tan (x) = cos(x) = sin (x)cos(x) sin(x)cos (x) cos 2 (x) cos(x)cos(x) sin(x)( sin(x)) = cos 2 (x) = cos2 (x) + sin 2 (x) = 1 + tan 2 (x) Théorème = cos 2 (x) 1 cos 2 (x). Soient f : I R et g : J R avec f (I) J, et a I. Si f est dérivable en a et g est dérivable en f (a), alors g f est dérivable en a et (g f ) (a) = g (f (a)) f (a). 30/51

31 Dérivée d une fonction composée Exemple (Dériver la fonction x ln(x 2 + 1)e 2x ) x x dérivable sur R (c est un polynôme) pour tout x R, x > 0 ln( ) est dérivable sur ]0, + [ composition = x ln(x 2 + 1) dérivable sur R. x e 2x étant aussi dérivable sur R, par produit, x ln(x 2 + 1)e 2x dérivable sur R. Dérivation d une composée : (ln(x 2 + 1)) = (x 2 + 1) ln (x 2 + 1) = 2x 1 x 2 +1 (e 2x ) = (2x) exp (2x) = 2e 2x Formule (de Leibniz) de dérivation d un produit : (ln(x 2 + 1)e 2x ) = (ln(x 2 + 1)) e 2x + ln(x 2 + 1)(e 2x ) = 2x x 2 +1 e2x ( + ln(x 2 + 1)2e ) 2x = 2e 2x x x ln(x2 + 1). 31/51

32 Quelques formules de dérivées de composées fonction sans condition sur u u n (n N) e u cos(u) sin(u) dérivée nu u n 1 u e u u sin(u) u cos(u) avec conditions sur u u u ln(u) 1 u tan(u) 2 u u u u u 2 u cos 2 (u) = u (1 + tan 2 (u)) 32/51

33 Sens de variations Définiton Soit f une fonction définie sur I. On dit que : (i) f est croissante (resp. strictement croissante) sur I si x, y I, x < y = f (x) f (y)(resp. f (x) < f (y)) (ii) f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur I si x, y I, x < y = f (x) f (y)(resp. f (x) > f (y)) (iii) f est (strictement) monotone sur I si f est (strictement) croissante ou bien (strictement) décroissante sur I. 33/51

34 Sens de variations Proposition Soit f une fonction dérivable sur I. Alors : (i) f est croissante sur I x I, f (x) 0 (ii) f est décroissante sur I x I, f (x) 0 (iii) f est constante sur I x I, f (x) = 0 Remarque Si I n est pas un intervalle, la proposition est FAUSSE. Contre-exemple : la fonction f : R R x 1 x est de dérivée < 0 mais n est pas monotone ; par ex. 2 < 1 < 1 mais f ( 2) = 1 2 >f ( 1) = 1<1 = f (1) 34/51

35 Sens de variations Proposition Soit f une fonction dérivable sur I. Alors : (i) x I, f (x) > 0 = f strictement croissante sur I (ii) x I, f (x) < 0 = f strictement décroissante sur I Remarque Les réciproques sont FAUSSES. Contre-exemple : la fonction f : R R x x 3 est strictement croissante mais sa dérivée f : x 3x 2 s annule en 0. 35/51

36 Sens de variations Définiton Soit f une fonction définie sur D f, a D f. On dit que f admet un point critique en a si f (a) = 0. Dans ce cas, C f admet une tangente horizontale au point (a, f (a)) d équation y = f (a). Remarque On rencontre dans ce cas trois situations différentes : 36/51

37 Extrema d une fonction Définiton Soit f une fonction définie sur D f et a D f. On dit que : (i) f (a) est un minimum (resp. maximum) global de f si x D f, f (x) f (a) (resp. f (x) f (a)) (ii) f (a) est un minimum (resp. maximum) local de f si x D f proche de a, f (x) f (a) (resp. f (x) f (a)) (iii) f (a) est un extremum global (resp. local) de f si f (a) est soit un minimum soit un maximum global resp. local). Exemple f (a) est un maximum local f (b) est un minimum global 37/51

38 Méthode pratique pour déterminer les extrema Proposition Soit f une fonction définie sur D f, et a D f. Si f est dérivable en a et f (a) = 0, alors : (i) f (a) est un minimum local de f si (ii) f (a) est un maximum local de f si { f (x) 0, pour x a, proche de a f (x) 0, pour x a, proche de a { f (x) 0, pour x a, proche de a f (x) 0, pour x a, proche de a Remarque Si f ne change pas de signe en a mais f (a) = 0, la courbe C f a un point d inflexion en (a, f (a)). 38/51

39 Étude d une fonction dérivable Soit f une fonction réelle. Pour déterminer le sens de variations de f et ainsi tracer (une esquisse de) C f, on applique la méthode suivante : (1) on détermine le domaine de définition D f de f ; (2) on détermine la possible parité de f ; (3) on détermine le domaine de dérivabilité de f (qui est contenu dans D f ) et on calcule sa dérivée ; (4) on détermine les points critiques de f, c-à-d les solutions de f (x) = 0 ; (5) on étudie le signe de f sur le domaine de dérivabilité ; (6) on en déduit les variations (la monotonie) de f ; (7) on cherche les limites de f aux bornes de D f ; (8) on déduit du tableaux de variations complet les extrema de f ; (9) avec toutes les informations obtenues, on trace une esquisse de C f. Tous les résultats obtenus de (1) à (7) sont résumés dans le tableau de variations. 39/51

40 Étude d une fonction dérivable Exemple (Étude de la fonction f : x ln(x 2 1)) (1) Domaine de définition de f. La fonction f est définie ssi la composée de ln( ) et x x 2 1 est définie. x x 2 1 est définie sur R car c est un polynôme ln( ) est définie seulement sur ]0,+ [ ; on doit donc restreindre le domaine de définition de x x 2 1 pour que cette fonction soit à valeurs dans ]0,+ [ x 2 1 = (x 1)(x + 1) > 0 x ], 1[ ]1,+ [ Donc D f =], 1[ ]1,+ [. (2) Parité de f. Soit x D f, c-à-d x < 1 ou x > 1. Alors x > 1 ou x < 1. Donc x D f. De plus, f ( x) = ln(( x) 2 1) = ln(x 2 1) = f (x). Donc f est paire. Il suffit donc d étudier f sur l intervalle ]1, + [ et le reste en découlera par parité. En particulier, la courbe représentative C f est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. 40/51

41 Étude d une fonction dérivable Exemple (Étude de la fonction f : x ln(x 2 1)) (3) f est dérivable ssi la composée de ln( ) et x x 2 1 est dérivable. x x 2 1 est dérivable sur R (c est un polynôme) et strictement positive sur ], 1[ ]1,+ [. x ln(x) est dérivable sur ]0,+ [ Donc f est dérivable sur ], 1[ ]1,+ [= D f. Dérivée de f. Pour x D f, f (x) = (ln(x 2 1)) = (x 2 1) ln (x 2 1 1) = 2x x 2 1 = 2x x 2 1. (4) La dérivée f de f s écrit, pour x D f, f (x) = 2x (x 1)(x + 1). Points critiques de f. On a, pour x D f, f (x) = 0 x = 0 D f. Donc f ne s annule jamais sur D f, c-à-d, f n a pas de point critique. 41/51

42 Étude d une fonction dérivable Exemple (Étude de la fonction f : x ln(x 2 1)) (5) Tableau de signes de f x x + 1 x x 1 f (x) (6) Tableau de variations (incomplet) de f x f (x) f?? 42/51

43 Étude d une fonction dérivable Exemple (Étude de la fonction f : x ln(x 2 1)) (7) Limites de f aux bornes de D f. on a lim x 1 +(x 2 1) = 0 par valeurs décroissantes et lim x 0 + ln(x) = ; donc, par composition, lim x 1 +(f (x)) = lim x 1 ln(x 2 1) = et par parité, lim x 1 (f (x)) = lim x 1 ln(x 2 1) = on a lim x + (x 2 1) = + et lim x + ln(x) = + ; donc, par composition, lim x + (f (x)) = lim x ln(x 2 1) = + et par parité, lim x (f (x)) = lim x ln(x 2 1) = + (8) Tableau de variations (complété) de f Recherche des zéros de f. f (x) = 0 ln(x 2 1) = 0 x 2 1 = 1 x 2 = 2 x = ± 2. x f (x) f /51

44 Étude d une fonction dérivable Exemple (Étude de la fonction f : x ln(x 2 1)) (9) Esquisse de C f. 44/51

45 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Définiton Soit f une fonction définie sur D f à valeurs dans F R. On dit que f est bijective de D f sur F si tout y F admet un unique antécédent par f. Exemple La fonction f : [0,+ [ [0,+ [ x x 2 est bijective. En effet, pour y [0,+ [, on prend x = y, qui est unique, et on a f (x) = ( y) 2 = y. Par contre, g : R [0,+ [ x x 2 n est pas bijective. Par exemple, 4 a deux antécédents par g : 2 et 2. 45/51

46 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Proposition Si f une fonction bijective sur D f, il existe une unique fonction g définie sur f (D f ) vérifiant : x D f, (g f )(x) = x y f (D f ), (f g )(y) = y. Cette fonction est appelée la réciproque de f et est notée f 1. Exemple (1) exp( ) est la réciproque de ln( ) (2) est la réciproque de (3) 3 est la réciproque de (4) arctan( ) est la réciproque de [0,+ [ [0,+ [ x x 2 R R x x 3 ] π 2, π 2 [ R x tan(x) 46/51

47 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Remarque (i) Ne pas confondre f 1 et 1 f. (ii) La courbe repésentative C f 1 de f 1 est symétrique à la courbe représentative C f de f par rapport à la droite d équation y = x. Par exemple Proposition Si f une fonction définie sur I. Si f est dérivable et strictement monotone sur I, alors f est bijective de I sur f (I). 47/51

48 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Exemple (1) La fonction ln( ) est dérivable sur ]0,+ [. Sa dérivée x 1 x est strictement positive, ainsi ln( ) est strictement croissante sur ]0, + [. Donc elle est bijective. Sa réciproque est exp( ). (2) La fonction x x 2 est dérivable sur [0,+ [ et strictement croissante sur [0,+ [. Donc elle est bijective sur [0,+ [. Sa réciproque est. Théorème Soit f une fonction dérivablesur I, strictement monotone. Soit a I. Si f (a) 0, alors la réciproque f 1 de f et dérivable en f (a) et Autrement dit, si on pose b = f (a), on a : (f 1 ) (f (a)) = 1 f (a). (f 1 ) (b) = 1 f (f 1 (b)). 48/51

49 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Comment retrouver cette formule? Notons g la réciproque de f. On a (f g )(y) = y. On dérive cette expression et on obtient g (y) f (g (y)) = 1. On a donc bien (f 1 ) (y) = g (y) = 1 f (g (y)) = 1 f (f 1 (y)). 49/51

50 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Exemple (1) La fonction ln( ) est dérivable et bijective sur ]0, + [ de dérivée jamais nulle. En effet x > 0, ln (x) = 1 x 0. Donc la réciproque exp( ) de ln( ) est dérivable sur ln(]0,+ [) = R. On a, pour y R, exp 1 (y) = ln (e y ) = 1 = e y. 1 e y 50/51

51 Dérivée de la réciproque d une fonction bijective Exemple (2) La fonction x tan(x) est dérivable et strictement croissante sur ] π 2, π 2 [. Donc elle est bijective sur ] π 2, π 2 [. Sa réciproque est notée arctan( ). De plus la dérivée de tan( ) n est jamais nulle sur ] π 2, π 2 [. En effet, x ] π 2, π 2 [, tan (x) = 1 + tan 2 (x) 1 > 0. Donc la réciproque arctan( ) de tan( ) est dérivable sur tan(] π 2, π 2 [) = R. On a, pour y R, arctan (y) = 1 tan (arctan(y)) = tan 2 (arctan(y)) = y 2. 51/51