Correction du bac blanc mars 2012 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats

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1 Correction du bac blanc mars 202 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats Partie A La fonction f est définie sur l intervalle [0 ; + [ par f x = 20x 0 e 2 x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O i, j (unité graphique cm).. Établir que f x = 40 2 x e 2 x 0e 2 x. f x = 20x 0 e 2 x =20xe 2 x 0e 2 x =40 2 xe 2 x 0 e 2 x En déduire la limite de la fonction f en +. lim f x =0 car lim 40 x x 2 x e 2 x = lim 40 X e X =0 et lim 0e 2 x =0 X x 2. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. f ' x = 20x 0 ' e 2 x 20x 0 e 2 x '=20 e 2 x 2 20x 0 e 2 x = 0x 5 e 2 x Tracer la courbe C. 4. Prouver que l équation f (x) = 0 a une unique solution strictement positive α dans l intervalle ]0 ; + [. Donner une valeur décimale approchée à 0 3 près de α. f est une fonction continue et strictement décroissante sur [,5;5[, de plus f(,5)>0>f(5) donc il existe une seule valeur α telle que f(x)=0 sur [,5;5] et 4,673 < α < 4,674 car f(4,673)> 0 > f( 4,674) Partie B On note y(t ) la valeur, en degrés Celsius, de la température d une réaction chimique à l instant t, t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l instant t = 0, est y(0) = 0. On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l intervalle [0 ; + [ associe y(t ), est solution de l équation différentielle (E) : y' 2 y=20e 2 t.. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l équation différentielle (E) sur l intervalle [0 ; + [ et que f vérifie aussi y(0)=0. f ' x 2 f x = 0x 5 e 2 x 2 20x 0 e 2 x =20e 2 x Donc f est solution de E et plus f(0)=0. 2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l unique solution de l équation différentielle (E), définie sur l intervalle [0 ; + [, qui prend la valeur 0 à l instant 0. a. Démontrer que «si g est une solution quelconque de l équation différentielle (E) alors la fonction g f est solution, sur l intervalle [0 ; + [, de l équation différentielle : E ' : y' 2 y=0.» g sol de E donc g' 2 g=20e 2t et f solution de E donc f ' 2t f =20e 2

2 g f ' 2 g f =g' f ' 2 g 2 f =g' 2 g f ' 2 f =20e 2 x 20e 2 x =0 Réciproquement, démontre que «si h est une solution de l'équation différentielle E ' : y' 2 y=0 alors h+f est solution de l'équation différentielle (E)» si h solution de E' alors h ' 2 h=0 et donc h f ' 2 h f =h' f ' 2 h 2 f =h ' 2 h f ' 2 f =0 20e 2 x =20e 2 x b. Résoudre l équation différentielle (E' ). Les solutions de E' sont les solutions de y '= 2 y et donc les fonctions c. Conclure sur les solution de (E). donc les solutions de E sont les fonctions de la forme f x C e 2 x donc h+f solution de E. Et comme on veut que la solution prenne la valeur 0 à l instant 0, il faut que f 0 C e 0 =0 et donc C=0 (puisque f(0)=0). Finalement f(x) est donc bien la seule solution. 3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-t-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondi à la minute. D'après la partie, la valeur est environ 4,673h ce qui signifie 4h et 4 minutes Exercice II Commun à tous les candidats. L'équation e 2x 3 e x 4=0 admet dans R : Réponse b) (étudier la fonction ) a: 0 solution b: solution c: 2 solutions d: plus de deux solutions 2. L'expression e x : Réponse b) (l'exponentielle est toujours positive donc moins l'exponentielle est toujours négative) a: n'est jamais négative b: est toujours négative c: n'est négative que si x est positive d: n'est négative que si x est négative e 2x 3. lim x e x 2 = réponse d) e 2x lim x e x 2 = lim e 2x e 2x x e x 2 e x = lim x a: 2 b. c. 2 d: e x e 2x = 2 e x 4. L'équation différentielle y = 2 y ' - a pour solutions: Réponse d) (cours f x =e ax b a ) a: f x =e 2x avec R b: f x =e 2 x avec R c: f x =e 2 x avec R d: f x =e 2x 2 avec R

3 Exercice III Partie A : On pose z=x+iy. On rappelle que z = x² + y² ) z z=(x+iy) (x iy)=x²+y²= z 2 2) z+ z=(x+iy)+(x iy)=2x qui est un réel. 3) z z=(x+iy) (x iy)=2iy qui est un imaginaire pur. Partie B : ) z z'=(2 3i)( i 2)= 7+4i z z' = i z² z' ² = (z+z')(z z') =z z '=4 2i z+z ' z+z ' 3 i 2) () : = 3, les deux racines sont : z '= 3 2 (2) z= 4+2i =+2i 2i Partie C : et 3+i 3 z '= 2 Calculons les trois distances AB, AC et BC : AB= a b = 3i = 0 AC= a c = 2 4i = 20 BC= b c = 3 i = 0 Le triangle est isocèle de sommet B (AB=BC). AB²+BC²=AC²=20, donc d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle est aussi rectangle en B. Le triangle ABC est donc isocèle rectangle de sommet B.

4 Exercice IV ) 2) La suite semble être croissante et converger vers 2. 3) Démontrons par récurrence que la suite est bornée par - et 2 : u n 2 Initialisation : u 0 =-, donc la propriété est vraie au rang 0. Hypothèse de récurrence : on suppose cette propriété vraie pour une valeur : u < u + 2 < u + 2 < 4 u + 2 < 4 car la fonction racine carrée est croissante u < 2 + u + < 2 La propriété est héréditaire (vérifiée au rang +), elle est donc vraie pour tout entier naturel n. 4) Prouvons par récurrence que la suite est strictement croissante : un < un+ Initialisation : les deux premiers termes sont - et donc la propriété est vraie pour n=0 Hypothèse de récurrence : on suppose cette propriété vraie pour une valeur : u < + u + 2 < u u + 2 < u + 2 car la fonction racine carrée est croissante u + u + < u + 2 La propriété est héréditaire (vérifiée au rang +), elle est donc vraie pour tout entier naturel n. 5) La suite est strictement croissante et majorée par 2 : elle converge donc. Appelons sa limite l. l vérifie l'équation l=f(l). On va résoudre cette équation O l = l + 2 l² = l + 2 et l > 0 On va donc chercher à résoudre l équation du second degré : l²-l-2=0. Son discriminant est 9 et ses deux racines sont - et 2. La limite est donc l=2

5 Exercice V Pour les élèves faisant la spécialité Math (5 points) Étant donné un entier naturel n 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² y² z² 2 n modulo 2 n. Partie A : Etude de deux cas particuliers. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que, 3 et 5 satisfont à la condition précédente. ² 3² 5²= 9 25=35= modulo 4 2. Dans cette question, on suppose n = 3. a) Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8. r R b) Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² 7 modulo 8? Aucune somme de trois nombres parmi 0 4 ne peut faire 7 modulo 8 Partie B : Etude du cas général où n 3. Supposons qu'il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² 2 n - modulo 2 n.. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs. Si x² + y² + z² 2 n - modulo 2 n alors x² + y² + z² N* 2 n + 2 n - = 2 n (N+) - = impair Pour faire un impaire en ajoutant 3 nombres il faut que ces 3 nombres soient impairs ou que deux seulement le soient. Cela signifie que x², y² et z² sont impairs tous les 3, c'est à dire que x, y et z soient impairs tous les trois (Car si x² impair alors x impair) OU BIEN que seulement 2 parmi x²,y², et z² sont pairs et dans ce cas cela signifie que seulement 2 parmi x, y et z sont pairs (même raisons). 2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r, z = 2s + où q, r, s sont des entiers naturels. a) Montrer que x² + y² +z² modulo 4. x² + y² + z²= (2q)²+(2r)²+(2s+)²= 4q²+4r²+4s² +4s + = 4(q²+r²+s²+s) + modulo 4. b) Montre que «si 3 nombres entiers naturels vérifient x² + y² + z² 2 n - modulo 2 n avec n entier et n 3 alors» Si x² + y² + z² 2 n - modulo 2 n alors x² y² z²=n 2 n 2 n =2 n N =4 2 n 2 N modulo 4 c) En déduire une contradiction. Conclure. On ne peut pas avoir x² + y² + z² qui est congru à et - modulo 4 donc on ne peut pas avoir x et y sont pairs et que z est impair. 3. On suppose que x, y, z sont impairs. a) Prouver que, pour tout entier naturel non nul, ² + est divisible par 2.

6 4. ²+=(+) est le produit de deux nombres consécutifs donc d'un pair et d'un impair, donc ²+ est pair. b) En déduire que x² + y² + z² 3 modulo 8. x² + y² + z²= (2q+)²+(2r+)²+(2s+)²= 4q² + 4q + +4r² +4r + +4s² +4s + = 4(q² +q +r²+ r+s²+s) + 3 = 4 (2a+2b+2c)+3=8(a+b+c)+3 3 modulo 8. c) Montre que si «si 3 nombres entiers naturels vérifient x² + y² + z² 2 n - modulo 2 n avec n entier et n 3 alors x² + y² + z² - modulo 8» Si x² + y² + z² 2 n - modulo 2 n alors x² y² z²=n 2 n 2 n =2 n N =8 2 n 3 N modulo 8 d) Conclure. On ne peut pas avoir x² + y² + z² qui est congru à 3 et - modulo 4 donc on ne peut pas avoir x et y et z impairs tous les 3 non plus. Conclusion: x² y² z² 2 n modulo 2 n n'a pas de solution pour n 3

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