Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S1

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1 1 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S1 Exercice 1 : La période du pendule (3 points) Un pendule simple est constitué d une masse m suspendue à l extrémité d un fil de longueur. La période d un pendule en mouvement est la durée qui sépare deux passages dans le même sens à la verticale. En pysique, on démontre que la période T d un pendule simple est indépendante de la masse m et que T = 2, avec en mètres et T en secondes. 1) Tracer la courbe représentative de la fonction 2 pour 0 4. Unités : 4 cm pour 1 m en abscisses et 2 cm pour 1 s en ordonnée. 2) En utilisant la courbe tracée, lire approximativement la longueur d un pendule de période : a) 1 s b) 1,5 s c) 3 s 3) Lors d une expérience célèbre, en 1851, le pysicien Léon Foucault ( ) mit en évidence le mouvement de la Terre sur elle-même avec un pendule de 68 mètres de long accrocé sous la coupole du Pantéon. Calculer la période de ce pendule. Exercice 2 : (3 points) Soit f la fonction définie sur par f(x) = x² - x. 1) Calculer f(-1) et f(-1 + ). 2) Montrer que f est dérivable en -1 et calculer f (-1). Exercice 3 : (4 points) Soit f la fonction définie sur par f(x) = x². 1) Ecrire une équation de la tangente T au point d abscisse 2 de sa courbe représentative. 2) Tracer la courbe et la droite T.

2 2 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S2 Exercice 1 : (3 points) Soit les fonctions f : x x 3 et g : x x. 1) Tracer les courbes et représentatives de ces fonctions sur l intervalle [-2 ;2]. 2) Déterminer grapiquement les points d intersection de et. En déduire la résolution de l équation x 3 x = 0, puis de l inéquation x 3 x 0. 3) Vérifier les résultats de la question précédente en résolvant l équation et l inéquation correspondantes. Exercice 2 : (3 points) Soit g la fonction définie sur par g(x) = -x² + 2x. 1) Calculer g(2) et g(2 + ). 2) Montrer que g est dérivable en 2 et calculer g (2). Exercice 3 : (4 points) Soit f la fonction définie sur par f(x) = x 3. 1) Ecrire une équation de la tangente T au point d abscisse 1 de sa courbe représentative. 2) Tracer la courbe et la droite T.

3 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S1 Exercice 1 : La période du pendule (3 points) Un pendule simple est constitué d une masse m suspendue à l extrémité d un fil de longueur. La période d un pendule en mouvement est la durée qui sépare deux passages dans le même sens à la verticale. En pysique, on démontre que la période T d un pendule simple est indépendante de la masse m et que T = 2, avec en mètres et T en secondes. 1) Tracer la courbe représentative de la fonction 2 pour 0 4. Unités : 4 cm pour 1 m en abscisses et 2 cm pour 1 s en ordonnée. 2) En utilisant la courbe tracée, lire approximativement la longueur d un pendule de période : b) 1 s b) 1,5 s c) 3 s 3) Lors d une expérience célèbre, en 1851, le pysicien Léon Foucault (1819 1) 1868) mit en évidence le mouvement de la Terre sur elle-même avec un pendule de 68 mètres de long accrocé sous la coupole du Pantéon. Calculer la période de ce pendule. 3

4 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S1 2) On lit les abscisses des points A, B et C de la courbe d ordonnées respectives 1, 1,5 et 2. On lit environ 0,3 m pour 1 s ; 0,6 m pour 1,5 s et 2,3 m pour 3 s. Remarque : on peut calculer les valeurs exactes. Si T = 2 alors l = T 2 ² T² = 4 Application : Pour T = 1 s, on a l = 1² 4 grapiquement = 0,25 m à comparer à la valeur 0,3 m lue Pour T = 1,5s, on a l = 1,5² 4 grapiquement = 0,5625 m à comparer à la valeur 0,6 m lue Pour T = 3s, on a l = 3² 4 grapiquement = 2,25 m à comparer à la valeur 2,3 m lue 3) La période du pendule de Foucault était : T = ,5 secondes. Exercice 2 : (3 points) Soit f la fonction définie sur par f(x) = x² - x. 1) Calculer f(-1) et f(-1 + ). 2) Montrer que f est dérivable en -1 et calculer f (-1). 1) f(-1) = (-1)² - (-1)) = = 2 f(-1 + ) = (-1 + )² - (-1 + ) = (-1)² ² + 1 = ² ) On calcule le rapport : Or lim 0-3 = -3 f(-1 + ) f(-1) Donc f est bien dérivable en -1 et f (-1) = -3. = ² = ² - 3 = 3 4

5 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S1 Exercice 3 : (4 points) Soit f la fonction définie sur par f(x) = x². 1) Ecrire une équation de la tangente T au point d abscisse 2 de sa courbe représentative. 2) Tracer la courbe et la droite T. 1) Une équation de T est de la forme y = f (2)(x 2) + f(2) Or f (x) = 2x ; donc f (2) = 4. f(2) = 2² = 4 Une équation de T est donc : y = 4(x 2) + 4 Soit : y = 4x ; soit y = 4x - 4 5

6 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S2 Exercice 1 : (3 points) Soit les fonctions f : x x 3 et g : x x. 1) Tracer les courbes et représentatives de ces fonctions sur l intervalle [-2 ;2]. 2) Déterminer grapiquement les points d intersection de et. En déduire la résolution de l équation x 3 x = 0, puis de l inéquation x 3 x 0. 3) Vérifier les résultats de la question précédente en résolvant l équation et l inéquation correspondantes. 1) 2) Les points d intersection des deux courbes sont A(1 ;-1) et B(-1 ;-1) et O(0 ;0). Les solutions de l équation x 3 x = 0 sont -1 ; 0 et 1. L ensemble des solutions de l inéquation x 3 x 0 est l intervalle [-1 ;0] [1 ; + [. 3) x 3 x = 0 x(x² - 1) = 0 x = 0 ou x² - 1 = 0 x = 0 ou (x 1)(x + 1) = 0 6

7 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S2 x = 0 ou x = 1 ou x = -1 x 3 x 0 x(x 1)(x + 1) 0 Tableau de signes : x x x x x(x-1)(x+1) Donc x 3 x 0 x [-1 ;0] [1 ; + [. Exercice 2 : (3 points) Soit g la fonction définie sur par g(x) = -x² + 2x. 1) Calculer g(2) et g(2 + ). 2) Montrer que g est dérivable en 2 et calculer g (2). 1) g(2) = -2² = = 0 g(2 + ) = - (2 + )² + 2 (2 + ) = - ( ²) g(2 + ) = -4 4 ² = -2 ² 2) On calcule le rapport Or lim = -2 g(2 + ) g(2) Donc, g est dérivable en 2 et g (2) = -2. = -2 ² = -2 Exercice 3 : (4 points) Soit f la fonction définie sur par f(x) = x 3. 1) Ecrire une équation de la tangente T au point d abscisse 1 de sa courbe représentative. 2) Tracer la courbe et la droite T. 1) Une équation de T est de la forme : y = f (1)(x 1) + f(1) Or f (x) = 3x² ; donc f (1) = 3 1² = 3 f(1) = 1 3 = 1 7

8 Première ES IE3 fonctions numériques et dérivation S2 Une équation de T est donc : y = 3(x 1) + 1 Soit y = 3x Ou encore y = 3x 2 8