Chapitre 2 : Ordre. Valeur absolue

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1 Chapitre : Ordre. Valeur absolue I. Ordre et comparaison Comparaison de deu réels : Comparer deu réels a et b, c est chercher à savoir quel est le plus grand Règle de base : a < b équivaut à dire que a b < 0 ( ou s ils sont égau ). Remarque : Comparer a et b revient à étudier le signe de a b. E : 6 60, ,0 0 0,0 > ; < ; < en effet < et > Dans la suite on considère des inégalités strictes ( a < b ) mais tous le énoncés restent valables avec des inégalités «larges» ( a b ) Ordre et addition : Si a < b alors a + c < b + c a c < b c. Ajouter ( ou soustraire ) un même nombre à chaque membre d une inégalité ne change pas son sens. d où la règle de transposition : si + a < b alors < b a ( on ajoute - a à chaque membre ) Si a < b et c < d alors a + c < b + d. En ajoutant membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens. E : si - alors - 4 ; si < < 6 alors - < 4 <. Ordre et multiplication : a c < b c Si a < b et c > 0 alors a b. < c c Multiplier (ou diviser) chaque membre d une inégalité par un même nombre strictement positif, ne change pas son sens. a c > b c Si a < b et c < 0 alors a b. > c c Multiplier (ou diviser) chaque membre d une inégalité par un même nombre strictement négatif, change le sens de l inégalité. Si a, b, c et d sont des réels positifs tels que a < b et c < d alors a c < b d. En multipliant membre à membre des inégalités de même sens, entre nombres positifs, on obtient une inégalité de même sens. E : si et y alors y ainsi y 6 est un réel tel que - < <. On pose B = - ; trouver un encadrement de B Règle des signes : le produit et le quotient de deu nombres de même signe est toujours positif. le produit et le quotient de deu nombres de signes contraires est toujours négatif. Conséquence : si C = AB et si A > 0 alors B et C sont de même signe. si C = AB et si A < 0 alors B et C sont de signes contraires.

2 II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses Passage au carré, à la racine carrée : a et b étant deu nombres positifs distincts, a < b équivaut à a < b. a < b équivaut à a < b. Preuve : on sait que a b = ( a b ) ( a + b ) a et b étant deu nombres positifs distincts, j en déduis que a + b > 0 il en résulte d après la conséquence de la règle des signes que : ( a b ) et a b sont de même signe. Si a < b alors a b < 0 donc a b < 0 et par suite a < b Si a < b alors a b < 0 donc a b < 0 et par suite a < b Ainsi ( a < b ) ( a < b ) autrement dit : deu nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. ( a < b ) ( ( a ) < ( b ) ) ( a < b ) Remarque : l inégalité - < est vraie, mais (-) < c et fau. Si a et b sont tous deu négatifs a < b équivaut à a > b. Passage à l inverse : a et b étant deu nombres strictement positifs, a < b équivaut à a > b. Preuve : a > b équivaut à a b > 0. Or a b = b a et ab > 0 car a > 0 et b > 0 ab il en résulte d après la conséquence de la règle des signes que : a et b a sont de même signe. b a > 0 équivaut à b a > 0 c est-à-dire a < b. b autrement dit : deu nombres strictement positifs sont rangés dans l ordre contraire de leurs inverses. est un réel tel que < < 5. donner un encadrement de A = + III. Comparaison de a, a et a lorsque a 0 Théorème : a R * +, si a > alors a > a > a ; si 0 < a < alors a < a < a. Preuve : Si a > alors d une part a > a ( on multiplie les deu membres par a > 0 ) et d autre part a > a ( on multiplie les deu membres par a > 0 ) donc a > a > a. Si 0 < a < alors de la même façon : a < a < a. E : est un réel tel que < < 4. On pose A = 4. Comparer les nombres A, A et A. -4 < - < - donc 0 < 4 < par suite 0 < A < et A < A < A.

3 IV. Valeur absolue Distance entre deu réels : la distance entre deu réels et y est la différence entre le plus grand et le plus petit. Cette distance est notée y ou encore y. y se lit «valeur absolue de moins y». Remarque : la distance entre deu réels est toujours un nombre positif E : Interprétation graphique de y : Valeur absolue d un réel : lorsque y = 0, y =. Le nombre réel est donc la distance entre et 0 ; lorsque 0 = - lorsque 0 Remarque :. 0 = 0 car c est la distance entre 0 et 0. E :. est le plus grand des deu nombres ou -. 5 = 5 car 5 R+ - = car - R si est un réel : = car 0. Propriétés :. = 0 équivaut à dire que = 0. E :. - =.. = y équivaut à dire que = y ou = -y. Trouver les réels tels que =. Il s agit de trouver les réels tels que la distance entre et est égale à. ( - ) = et 5 = donc = 5 ou = - Méthode : = peut s écrire = ce qui équivaut à = ou = -. Trouver les réels tels que.c est-à-dire les réels tels que la distance entre et est inférieure ou égale à. - 5

4 V. Intervalles et valeur absolue Définition : a et b sont deu réels tels que a < b. Le tableau ci-dessous résume les différents types d intervalles. Remarque : + se lit «plus l infini» - se lit «moins l infini» L ensemble R de tous les réels est un intervalle : R = ] ; [ Vocabulaire : [ a ; b ], ] a ; b [, ] a ; b ], [a ; b [ sont des intervalles d etrémités a et b ( a < b ) Le centre, ou milieu de l intervalle est le nombre a + b ; son rayon est b a Sa longueur, ou amplitude : b a. E : Trouver les réels, s il en eiste, appartenant à la fois à l intervalle [ ; 8 ] et à l intervalle [ -5 ; [ Même question avec les intervalles ] ; ] et ] ; 4 ] Intervalles et valeur absolue : a est un réel, r est un réel positif. a r équivaut à dire que [ a r ; a + r ]. Preuve : a r signifie que la distance de à a est inférieure ou égale à r ; c est-à-dire que : a r a + r E : Résoudre dans R : > L ensemble solution est l intervalle S = ] ; -6 [ ] - ; [ [ -4 ; -4 + ] c est-à-dire [ -6 ; - ]

5 VI. Inéquations. Signe de a + b Inéquations du premier degré : a et b sont deu réels donnés. Résoudre l inéquation a + b 0, c est trouver tous les nombres tels que a + b est négatif. les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l inéquation. E : L inéquation + 0 s écrit - S = ; - - Signe de a + b : Trouver le signe de a + b, c est trouver les valeurs de telles que a + b > 0 et celles telles que a + b < 0. a et b sont des réels avec a 0. Le signe de a + b suivant les valeurs du réel est donné par : si a > 0 si a < 0 -b a -b a a + b + a + b Preuve : a + b = 0 équivaut à = -b a ( ici a 0 ) si a > 0 ; a + b > 0 a > -b > -b a si a < 0 ; a + b > 0 a > -b < -b a a + b < 0 a < -b < -b a a + b < 0 a < -b > -b a E :. signe de Trouver le signe de E() = ( 4 ) ( 5 + ) suivant les valeurs du réel.. On pose pour - 4, F() = trouver le signe de F() suivant les valeurs du réel. F() = A B Lorsque B 0 : A B où A = 4 et B = 5 + et A.B sont toujours de même signe E() > 0 SSI E() > 0 SSI E() ; 5-4 ; ; 5