Rappel. Viennent ensuite les nombres entiers que l on désigne par Z. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }

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1 les nombres réels Rappel Cette première section servira de rappel à certaines notions mathématiques indispensables à l étude du calcul différentiel. Le rappel portera sur: - le sstème des nombres réels, - les eposants, - l algèbre des polnômes, - la factorisation, - les epressions algébriques rationnelles, - les epressions algébriques irrationnelles, - les fonctions. Il est essentiel de bien comprendre ces notions et de les revoir au besoin. À cet effet, il est fortement conseillé à tous les étudiants de compléter les eercices de ce module. les nombres réels L ensemble des nombres réels peut être considéré comme une etension de d autres ensembles de nombres. Le sstème des nombres réels comprend plusieurs sous-sstèmes. Les nombres qu on emploie pour compter s appellent les nombres naturels. L ensemble des nombres naturels est désigné par N. N = {, 2, 3, 4,... } Viennent ensuite les nombres entiers que l on désigne par Z. Z = {..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,... } Puis, les quotients de nombres entiers que l on appelle nombres rationnels et que l on note par Q. Q = { p/q p et q sont des nombres entiers et q 0 } L etension du dernier ensemble de nombres est d une représentation beaucoup plus difficile que les précédentes. Contentons-nous d appeler nombre irrationnel tout nombre pouvant s écrire sous une forme décimale non périodique. Cet ensemble de nombres est noté I r. Ainsi, π = 3, , 2 =, ou 3 =, sont des nombres irrationnels. Finalement, l ensemble des nombres réels noté R correspond à l union des deu derniers ensembles de nombres. R = Q I r André Lévesque 0 -

2 les nombres réels eemple Placer les nombres à l endroit approprié sur le diagramme. N Z Q R I r - 2 2,3 4-0,3 _ π , la droite des nombres réels L ensemble des nombres réels peut être représenté à l aide d une droite orientée. On détermine d abord le point de la droite associé à la valeur zéro puis, on définit la longueur du segment de droite correspondant à l unité. 0 Chaque point de la droite représente un nombre réel et chaque nombre réel est associé à un point de la droite. notations particulières N 0 = N {0} (les entiers naturels), 0 est ni positif, ni négatif Z + = {, 2, 3, 4,...} (les entiers positifs), Z - = {... -4, -3, -2, -} (les entiers négatifs), Z = Z - {0} Z + R + représente l ensemble des nombres réels positifs, R - représente l ensemble des nombres réels négatifs. André Lévesque 0-2

3 la valeur absolue intervalle ouvert Soit a et b deu nombres réels tels que a < b. L intervalle ouvert ]a, b[ correspond à l ensemble des nombres réels situés entre a et b. ]a,b[ a b intervalle fermé Soit a et b deu nombres réels tels que a < b. L intervalle fermé [a, b] correspond à l ensemble des nombres réels situés entre a et b incluant a et b. [a,b] a b intervalle semi-ouvert (semi-fermé) D autres intervalles peuvent être semi-ouverts (semi-fermés). [a,b[ ]a,b] a b a b intervalle non borné les smboles et - ne sont pas des nombres réels, ils ne servent qu à smboliser l infiniment grand Certains intervalles ne sont pas bornés. a [a, [ ]-,b] b a ] -, [ = R ]a, [ ]-,b[ b voisinage (voisinage troué) si le point c est au milieu de l intervalle on parlera d un voisinage smétrique du point c On appelle voisinage d un nombre réel c tout intervalle ouvert ]a, b[ qui contient le point c. Un voisinage du point c est noté V(c). a Lorsque d un voisinage de c on eclut le point c, on obtient un voisinage troué du point c que l on note V o (c). a c c b b voisinage à gauche et voisinage à droite L intervalle ]a, c[ est appelé voisinage à gauche du point c. a Il est noté V - (c). c L intervalle ]c, b[ est appelé voisinage à droite du point c. c Il est noté V + (c). b André Lévesque 0-3

4 la valeur absolue eemple valeur absolue Vrai ou fau: a) ]0, 5[ est un voisinage de 4, b) [0, 5[ = V(3), c) ]2, 4[ = V(π), d) ]3, 6[ \ {4} = V o (4) e) [-4, 4] est un voisinage smétrique de 0, f) ], 3[ = V - (3), g) [-, 2[ = V + (-). rép: a) V ; b) F ; c) V ; d) V ; e) F ; f) V ; g) F La valeur absolue d un nombre a est la distance qui sépare ce nombre de 0 sur la droite des nombres réels. -7 = 7 5 = Pour obtenir la valeur absolue d un nombre négatif, il suffit de changer son signe. La valeur absolue d un nombre positif est le nombre lui-même. définition a = a si a 0 -a si a < 0 eemple 3 = 3-2/3 = 2/3 propriétés de la valeur absolue Soit les nombres réels a, b et n.. -a = a 3. a b = a b (si b 0) 2. ab = a. b 4. a n = a n (si a n eiste) 5. a + b a + b (inégalité du triangle) eemple -5 = -5. = 5 3 = 3 André Lévesque 0-4

5 Les eposants les eposants eposant entier Soit a un nombre réel et n un nombre entier positif.. a n = a a a a a... a (n fois) 2. a -n = a n si a 0 (-2) -3 = eemple attention! -2-3 = -2 3 et (-2) = = 6 (-4) 3 = (-4) (-4) (-4) = = 2 5 = = ( + 4) - = 3( + 4) -4 eposant nul Soit a un nombre réel non nul. 3. a 0 = eemple 5 0 = (-4) 0 = 0 0 n eiste pas (2) 0 = si 0 (3 - ) 0 = si 3 André Lévesque 0-5

6 les eposants eposant fractionnaire (radical) Soit a un nombre réel et soit m et n deu nombres entiers positifs. 4. a m/n = n a m 5. a -m/n = où a 0 n a m ( pourvu que n a m eiste) eemple 8 2/3 3 = 8 2 = 3 64 = 4 4-3/2 = 4 3/2 = = = 8-3/5 = 3/5 = ( - ) 7 = ( - ) 7/4 lois des eposants Soit a, b, m et n des nombres réels.. a m+n = a m. a n 2. a m-n = am a n si a 0 3. (a m ) n = a mn 4. (ab) n = a n b n 5. a b n= an b n si b 0 (pourvu que chaque terme eiste) André Lévesque 0-6

7 les eposants lois des radicau le radical est un eposant fractionnaire, en conséquence les lois des eposants s appliquent. Soit a, b des nombres réels et m, n des nombres entiers. 6. ( ) n a n = a 7. n ab = n a. n b a 8. n b = n a n b 9. n a m = ( ) n a m si b 0 0. n m a = nm a (pourvu que chaque radical eiste) eemple 3 /3. 3 /6 = 3 /3 + /6 = 3 /2 = 3, 3. 2 = = 5, = 22-8 = 2 4 = 6 ( + 2) 4/3 ( + 2) 5/6 = ( + 2)4/3-5/6 = ( + 2) /2 = + 2 (a 2/3 ) 3/4 = a (2/3)(3/4) = a /2 = a (4) /2 = 4 /2. /2 = 4. = = = 8 2 = 8. 2 = ( - ) 0 = 3 ( - ) 0 = ( - ) 9 ( - ) = ( - ) = 6 64 = 2 André Lévesque 0-7

8 L algèbre des polnômes l algèbre des polnômes Poursuivons le rappel en eplorant l algèbre des polnômes et son problème fondamental, la factorisation. les polnômes Les epressions algébriques 5-3, ou sont tous des eemples de polnômes à une variable. définition d un polnôme Un polnôme à une variable est une somme de termes où chaque terme est constitué d une constante réelle multipliée par une puissance entière non négative de la variable. Lorsqu un polnôme comporte un seul terme, on dit que c est un monôme. S il possède deu termes on parlera d un binôme. Un polnôme à trois termes s appelle un trinôme. eemple 2 3 et 5 sont des monômes 4-3 et 3 - sont des binômes et sont des trinômes 2 + et ne sont pas des polnômes degré d un polnôme Le degré d un polnôme à une variable dont les coefficients sont non nuls correspond à la puissance la plus élevée de la variable pour l ensemble des termes. eemple est un polnôme de degré 3, 8 5 est un polnôme de degré 5, 2 est un polnôme de degré 0, 0 est un polnôme sans degré. André Lévesque 0-8

9 l algèbre des polnômes opérations sur les polnômes Les polnômes s additionnent, se soustraient, se multiplient et se divisent eactement comme le font les nombres entiers. addition de polnômes Pour additionner des polnômes, il suffit d additionner les coefficients des monômes de puissances identiques. eemple Effectuer ( ) + ( ) ( ) + ( ) = soustraction de polnômes Pour soustraire des polnômes, on additionne le premier polnôme à l opposé du second polnôme. eemple Effectuer ( ) - ( ) ( ) - ( ) = ( ) + ( ) ( ) - ( ) = André Lévesque 0-9

10 l algèbre des polnômes multiplication de polnômes Pour multiplier des polnômes, on multiplie chaque terme du premier polnôme par chacun des termes du second polnôme. On effectue ensuite l addition des termes de puissances identiques. eemple Effectuer ( ) (2-5) ( ) (2-5) = division de polnômes La division de deu polnômes est analogue à la division de deu nombres entiers. eemple (2 Effectuer ) ( + 4) ( ) ( ) 0 ( ) ( + 4) = 2-3 André Lévesque 0-0

11 l algèbre des polnômes eemple 3 Effectuer ( ) ( 2-2 ) ( 2-4 ) 5 donc = équation polnomiale Une équation polnomiale est une équation de la forme P() = 0 où P() est un polnôme. racine d une équation polnomiale Une solution ou racine d une équation polnomiale est une valeur r telle que P(r) = 0. Cette quantité r est aussi appelée un zéro du polnôme. Résoudre une équation consiste à trouver les racines de l équation. eemple Résoudre l équation polnomiale: 2-5 = 0 Lorsque le polnôme est de degré, on résout l équation en isolant simplement la variable. 2-5 = 0 2 = 5 = 5/2 L ensemble-solution de l équation est { 5/2 } André Lévesque 0 -

12 l algèbre des polnômes eemple on étudiera par la suite d autres méthodes permettant de résoudre une telle équation; la factorisation est l une d elles. Résoudre l équation polnomiale: = 0 Lorsque le polnôme est de degré 2, on peut utiliser la formule du second degré pour résoudre l équation. -b ± b 2-4ac 2a On obtient les deu racines avec a = 3, b = -, c = 6 = = = = 3 2 = = = = 2 3 L ensemble-solution de l équation est { 2/3; 3 } eemple Résoudre l équation polnomiale: = 0 rép: L ensemble-solution de l équation est { -4; 3/2 } André Lévesque 0-2

13 La factorisation la factorisation Décomposer en facteurs (ou factoriser) un polnôme signifie le mettre sous la forme d un produit de polnômes et consiste donc à faire le travail inverse de la multiplication. facteur commun Quand il s agit de factoriser une epression, on devrait toujours commencer par chercher s il a un facteur commun à tous les termes. eemple Factoriser = 4 3 ( ) eemple Factoriser 8( - ) 3 ( + 2) - 2( - ) 2 ( + 2) 2 8( - ) 3 ( + 2) - 2( - ) 2 ( + 2) 2 = 2( - ) 2 ( + 2) (4( - ) - ( + 2)) = 2( - ) 2 ( + 2)(3-6) = 6( - ) 2 ( + 2)( - 2) méthode des groupements Dans certaines epressions algébriques, en groupant des termes, il est possible de mettre en évidence un facteur commun. eemple Factoriser = ( ) + ( 4-6) = 2 (2-3) + 2(2-3) = (2-3)( 2 + 2) André Lévesque 0-3

14 la factorisation factorisations utiles Différence de carrés a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) Somme ou différence de cubes a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) eemple Factoriser = (4) 2 - (3) 2 = (4-3)(4 + 3) (différence de carrés: a = 4 et b = 3) eemple Factoriser = (2) 3 + (3) 3 = (2 + 3)( ) (somme de cubes: a = 2 et b = 3) eemple Factoriser rép: ( - 2)( + 2)( ) André Lévesque 0-4

15 la factorisation factorisation du trinôme a 2 + b + c Pour factoriser le trinôme a 2 + b + c, a) on transforme le terme du milieu b en une somme (ou une différence) de deu termes: - le produit P de ces termes devra être égal à ac, - la somme S de ces termes devra être égale à b, b) on factorise à l aide de la méthode des groupements le polnôme obtenu. eemple Factoriser a) Le trinôme a la forme de celui du haut. Ses coefficients sont: a = 3, b = 3 et c = -0. P = ac S = b = (3)(-0) = 3 = -30 Les valeurs cherchées sont 5 et -2 car (5)(-2) = -30 et (5) + (-2) = 3. Le terme du milieu 3 devient (5-2). b) = = 3( + 5) - 2( + 5) = ( + 5)(3-2) eemple Factoriser 2a 2 + 5a - 2 rép: (a + 4)(2a - 3) André Lévesque 0-5

16 la factorisation eemple Factoriser rép: ( - 7)( + 3) remarque Lorsque a =, il est inutile de passer à la seconde étape. Dans ce cas, si les valeurs cherchées à la première étape sont p et q alors les facteurs du trinôme seront ( + p)( + q). eemple Factoriser a) Les coefficients du trinôme sont: a =, b = -2 et c = -24. P = ac S = b = -24 = -2 Les valeurs cherchées sont -6 et 4 car (-6)(4) = -24 et (-6) + (4) = -2. Puisque a =, il est inutile de passer à la seconde étape = ( - 6)( + 4) André Lévesque 0-6

17 la factorisation factorisation d un trinôme se ramenant à la forme a 2 + b + c Lorsqu un trinôme se ramène à l aide d un changement de variable à la forme a 2 + b + c, ) on factorise le trinôme obtenu après changement de variable en utilisant la méthode précédente, 2) on replace la variable originale puis, on complète si nécessaire la factorisation. eemple Factoriser ) On pose u = 2. Le polnôme devient 4u 2-2u + 5. En utilisant les méthodes précédentes, on factorise le trinôme obtenu. a) a = 4, b = -2 et c = 5 P = ac S = b = (4)(5) = -2 = 20 Les valeurs cherchées sont -20 et - Le terme du milieu -2u devient (-20u - u). b) 4u 2-2u + 5 = 4u 2-20u - u + 5 = 4u(u - 5) - (u - 5) = (u - 5)(4u - ) 2) On remplace u par 2 et on obtient = ( 2-5)(4 2 - ) puis on complète la factorisation = ( - 5)( + 5)(2 - )(2 + ) La méthode de factorisation somme-produit est efficace dans les cas où il est facile d obtenir deu termes dont le produit P est ac et la somme S est b. Il sera toujours possible de factoriser dans les réels le trinôme a 2 + b + c à l aide de la formule permettant d obtenir les racines d une équation du second degré à la condition bien entendu que b 2-4ac 0 Si p = -b + b2-4ac 2a et q = -b - b2-4ac 2a alors a 2 + b + c = a( - p)( -q) André Lévesque 0-7

18 la factorisation Lorsque b 2-4ac < 0, le trinôme a 2 + b + c sera alors irréductible dans R c est-à-dire non factorisable dans les réels. factorisation complète dans R La factorisation d un polnôme est complète dans les réels si tous les facteurs du polnôme sont du premier degré et/ou irréductibles du second degré. eemple Factoriser Utilisons ici la formule permettant d obtenir les racines d une équation du second degré plutôt que d utiliser la méthode somme-produit. -b ± b 2-4ac 2a -5 ± et p = 3 = -5 ± 49 6 q = -2 = -5 ± 7 6 on ne doit pas oublier de placer le coefficient de 2 devant les facteurs donc = 3( - p)( - q) = 3( - 3 ) ( - (-2)) = 3( - 3 ) ( + 2) = ( + 2) 3 = (3 - )( + 2) eemple Factoriser rép: le trinôme est irréductible dans R André Lévesque 0-8

19 la factorisation factorisation de polnômes quelconques En général la factorisation d un polnôme de degré quelconque n est pas un problème simple. Cependant dans certains cas, il sera possible d obtenir une factorisation sans l utilisation de techniques avancées. eemple Factoriser D abord on met en évidence le facteur = ( ) On factorise ensuite le trinôme en utilisant la méthode somme-produit. Les coefficients de sont: a = 2, b = et c = -6. P = ac S = b = -72 = Les valeurs cherchées sont 9 et -8 car (9)(-8) = -72 et (9) + (-8) =. Le terme du milieu devient (9-8) = ( ) = ( ) = (3(4 + 3) - 2(4 + 3)) = (3-2)(4 + 3) Lorsqu on connaît un des facteurs du polnôme, il est alors préférable de diviser ce polnôme par le facteur connu. eemple Factoriser sachant que + 2 est un facteur du polnôme. On divise le polnôme par ( ) (- - 2) 0 et = ( + 2)(3 - ) André Lévesque 0-9

20 la résolution d équations eemple Factoriser sachant que + 3 est un facteur du polnôme. rép: ( + 3)( + )(2 - ) résolution d équations par la factorisation La factorisation est un élément important dans la résolution d équa-tions. Pour résoudre une équation polnomiale de la forme P() = 0 il est recommandé de toujours commencer par essaer de factoriser le polnôme du membre de gauche. Si une factorisation complète est possible alors on obtient les racines de l équation en annulant chacun des facteurs. eemple Résoudre l équation 2 = Écrivons d abord l équation sous la forme P() = = 0 Factorisons ensuite le membre de gauche de l équation. (-) = 0 L équation est satisfaite pour: = 0 ou = L ensemble-solution est donc {0; } André Lévesque 0-20

21 la résolution d équations eemple Résoudre l équation = 3 rép: {0; 3/2; -} eemple Résoudre l équation 5 3 = rép: {-; -/5; } André Lévesque 0-2

22 la résolution d inéquations résolution d inéquations L ensemble-solution d une inéquation polnomiale de la forme P() < 0, P() 0, P() > 0 ou P() 0 correspond en général à un intervalle. eemple lorsqu on divise chaque membre d une inégalité par un nombre négatif, on doit alors changer le sens de l inégalité Trouver l ensemble-solution de l inéquation 2-3 < < < < 2 > 2-6 > -2 L ensemble-solution correspond à l ensemble de tous les nombres dans l intervalle ]-2, [. eemple Trouver l ensemble-solution de l inéquation 2 < 6 Trouver l ensemble-solution de 2 < 6 est équivalent à trouver l ensemble-solution de 2-6 < 0 ( - 4)( + 4) < 0 Le facteur ( - 4) est positif lorsque > 4 et négatif lorsque < 4. Le facteur ( + 4) est positif lorsque > -4 et négatif lorsque < -4. On constate en eaminant le tableau du bas que ( - 4)( + 4) est négatif sur l intervalle ]-4, 4[ ( - 4) ( + 4) ( - 4)( + 4) L ensemble-solution correspond à l ensemble de tous les nombres dans l intervalle ]-4, 4[. André Lévesque 0-22

23 la résolution d inéquations l ensemblesolution des inéquations 2 < a 2 > a Soit a > 0; l ensemble-solution de l inéquation a) 2 < a est ]- a, a[, b) 2 > a est ]-, - a[ ] a, [. eemple Déterminer l ensemble-solution des inéquations suivantes a) 2 < b) 2 5 rép: a) ]-, [ ; b) ]-, - 5] [ 5, [ eemple Déterminer l ensemble-solution de l inéquation ( + 2)( - )( - 3) > 0 rép: ]-2, [ ]3, [ André Lévesque 0-23

24 Les fractions algébriques rationnelles les fractions algébriques rationnelles Le quotient de deu polnômes constitue ce qu on appelle une fraction algébrique rationnelle. eemple et - sont deu fractions algébriques rationnelles. forme réduite Une fraction algébrique est eprimée sous forme réduite si le numérateur et le dénominateur ne possèdent pas de facteurs communs. Cette forme réduite est obtenue par la simplification des facteurs communs non nuls de l epression. eemple - Simplifier pour ε R \ { -/2, } à noter que ( - ) = - ( - ) et - a b = a - b = - a b = ( - )( + ) (2 + )( - ) = - ( -)( + ) (2 + )( - ) = eemple ( Simplifier )( ) ( )(9-3 ) pour ε R \ { -3, 0,, 3} erreurs à éviter: / + 3 = 3 / ou / - 4 / + 2 = -2 ( + 2)( + 4) rép: - ( - )( + 3) André Lévesque 0-24

25 les fractions algébriques rationnelles L addition et la soustraction de fractions algébriques est à l image des mêmes opérations sur les nombres entiers. Avant d effectuer une somme ou une différence de fractions algébriques, on doit s assurer que tous les dénominateurs sont identiques. Dans le cas contraire, on cherchera le plus petit commun multiple des dénominateurs (le PPCM) eemple Effectuer On cherche d abord le PPCM des dénominateurs. On l obtient en factorisant complètement chacun de ceu-ci. 8 2, ( - )( + ), 2( + ) Le PPCM est la plus petite epression qui divise chacun des termes du haut. Le PPCM est donc 24 2 ( - )( + ) On eprime ensuite chaque fraction à l aide de ce PPCM puis, on effectue. 3( - )( + ) 82 3( - )( + ) ( - ) 2( - ) = 3( - )( + ) ( - ) 24 2 ( - )( + ) = ( - )( + ) = ( - )( + ) eemple Effectuer 2 ( + ) - ( + 3) ( 2 - ) pour ε R \ { -,0, } (indiquer le PPCM des dénominateurs) rép: le PPCM est 2 ( 2 - ) ; - ( + ) 2 ( - ) André Lévesque 0-25

26 les fractions algébriques rationnelles Certaines fractions algébriques plus complees ont à la fois au numérateur et au dénominateur des epressions fractionnaires. eemple + Simplifier 2 - pour ε R \ { -, 0, } = on divise deu fractions en multipliant le numérateur par l inverse multiplicatif du dénominateur a b c d = a b d c = = = ( + )(2 - + ) 2 = ( - ) ( - )( + ) eemple Simplifier pour ε R \ { -2, 0, 2} rép: + 2 André Lévesque 0-26

27 Les epressions algébriques irrationnelles les epressions algébriques irrationnelles Une epression algébrique qui possède au moins une variable (ou un groupe de termes) avec un eposant fractionnaire ou irrationnel est une epression irrationnelle. 3 eemple et + + sont deu epressions algébriques irrationnelles. si n est pair et a est positif n a > 0 Tout nombre réel positif possède deu racines carrées; une positive et une négative. Pour désigner la racine positive (la racine principale) on utilise le smbole et pour désigner la racine négative on utilise le smbole - Le nombre 4 possède deu racines carrées: 2 et -2. On dira que - 4 = -2 et 4 = 2. Si a est un nombre positif alors a correspond toujours à un nombre positif. Il en est de même pour toute racine paire. Par ailleurs, à tout nombre réel a est associé une seule racine réelle impaire du même signe que a. racine paire et racine impaire d un nombre réel Si a est un nombre réel et n est un entier positif a) pair alors n a n = a, b) impair alors n a n = a. eemple Simplifier: a) 2 b) si < 0 a) 2 = c) si 0 < < = = si > 0 - = - si < 0 André Lévesque 0-27 rép: b) 0 ; c) -

28 les epressions algébriques irrationnelles rationalisation La rationalisation est une opération qui a pour but d éliminer les radicau du dénominateur (ou du numérateur) d une fraction algébrique irrationnelle. Pour cela il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par une même quantité. eemple Rationaliser le dénominateur: a) 2 ; b) a ; c) 2 3 a) b) 2 = = 2 2 c) Lorsque l epression à rationaliser est un binôme de la forme a ± b ou a ± b ou a ± b il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique par le conjugué de l epression. Le conjugué du binôme - est + et vice versa. Le conjugué de 5-3 est Le conjugué de + est - Le conjugué de est eemple Rationaliser le a) dénominateur de b) numérateur de a) = = 2(3 + 2) 9-2 = 2(3 + 2) 7 b) = = 5-3 2( 5-3) = 5-3 André Lévesque 0-28

29 les epressions algébriques irrationnelles eemple on multiplie seulement les deu facteurs conjugués Rationaliser le dénominateur et simplifier = = ( - 4)( + 2) - 4 pour ε [0, [ \ {4} = + 2 eemple Rationaliser le dénominateur et simplifier + - pour ε [, [ rép: - - eemple Rationaliser le numérateur et simplifier pour ε [-7, [ \ { 2 } ( + ) - 2 rép: - ( + 3) ( + ) André Lévesque 0-29

30 les epressions algébriques irrationnelles simplification La simplification des formes irrationnelles obéit au mêmes règles que les formes rationnelles. L epression simplifiée ne devra jamais contenir d eposants fractionnaires mais plutôt des radicau. Il est souhaitable de toujours rationaliser les dénominateurs. eemple Simplifier ( + 3) ( - 2) 3 pour ε [-, /2] (-2) 2 = -2 puisque dans l epression à simplifier ( - 2) 0 on a donc ( + 3)\r( - 2) - \r(( - 2) 3 ) = ( + 3)\r( - 2) - \r(( - 2) 2 ( - 2)) = ( + 3) = ( + 3) ( - 2) - 2 (-2) 2 = -2 = - 2 (( + 3) - ( - 2)) = - 2 ( ) = 5-2 eemple Simplifier = = = pour ε ]0, [ \ { } /2. / = ( - ) ( - ) = = = André Lévesque 0-30

31 les epressions algébriques irrationnelles eemple Montrer que = pour ε ]-, [ ( - 2 ) - 2 eemple Montrer que ( - ) = 2 - pour ε ]-,[ André Lévesque 0-3

32 Eercices eercices. a) Donner trois voisinages du point 3. b) Donner trois voisinages smétriques du point Dites si l intervalle peut être considéré comme étant un voisinage du point indiqué. a) ]0, 5[ ; 3 d) [-2, 2] ; 0 b) ]2, 4[ ; π e) ]-3, 5[ ; -4 c) ]-, 4[ ; 4 f) ]0, ] ; /2 3. Déterminer (s il a lieu) de quelle valeur l intervalle est-il un voisinage smétrique. a) ]-, 2[ c) ]a, b[ (a < b) b) [-4, 4] 4. Vrai ou fau a) ]-7, -5[ est un voisinage à gauche de -5, b) ], 6[ = V + (6), c) V o (2) = ], 2[ ]2, 5[, d) V(0) = ]-a, a], (a > 0) 5. Évaluer (sans utiliser votre calculatrice). a) 3 4 f) k) /2 b) -2-2 g) 9 3/2 l) c) (-2) -2 h) 8-2/3 m) d) i) /3 n) e) (27) j) (2 /2. 2 -/3 ) 3 o) ( 3 4 ) 2. ( ) André Lévesque 0-32

33 6. Simplifier. eercices a) ( 3-4 ) -2 c) b b 3 e) (2 a+2 ) 2 2 2a+ b) (2 2 ) d) ( 2/3 ) 3/4 4 ab 3 3/4 f) b 7. Trouver parmi les epressions algébriques suivantes, celles qui sont des polnômes et dans le cas d un polnôme, indiquer son degré. a) e) 2 b) f) c) 5 g) 0 d) - h) Effectuer. a) ( ) + ( ) h) ( )( ) b) ( ) - ( ) i) ( 2-4)(3 - ) - 4( - 2) c) (2 2-3)( ) j) ( ) (3-2) d) (5-3) 2 k) ( ) ( 2-2) e) (2 - )( ) l) ( ) ( + 3) f) ( + ) 3 m) ( 5 + ) ( + ) g) ( -)( 2 + )( +) n) ( ) ( - 3)(+) 9. Factoriser. a) 3 + i) b) j) c) k) d) a 2 - a - 72 l) e) m) 7-4 f) n) g) o) (2 - ) 4 - (2 - ) 3 h) p) ( - 3) 2 (5-3) 5 - (5-3) 4 ( - 3) 3 André Lévesque 0-33

34 0. Résoudre. eercices a) = 0 h) = 0 b) (5-3)( + 2) = 0 i) = 0 c) = 0 j) 5 = 9 d) = 0 k) 3 3 = e) 3-64 = 0 l) (2-3) = 5 f) = 0 m) ( - 2) 4 (5-2) - ( - 2) 5 = 0 g) = 0 n) 2 3 ( - 4) 2 + 8( - 4) 3 = 0. Factoriser et ensuite trouver les racines des équations suivantes. a) = 0 si - est un facteur du polnôme, b) = 0 si - 3 et + sont des facteurs du polnôme. 2. Déterminer l ensemble-solution des inéquations suivantes. a) - 3 < e) b) 2-0 f) ( + )( - 5) 0 c) 2 < 36 g) 2 - < 0 d) > 0 h) Simplifier. a) d) b) c) e) ( ) f) André Lévesque 0-34

35 4. Trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs (le PPCM). eercices a) 3 4 2, 5 6, 9 ; b) , 2 +, ; c) , , ; d) 3 2 -, , Effectuer puis simplifier. a) d) b) e) c) f) Simplifier. a) b) Simplifier. a) ( + ) 2 c) ( + 3) 3 b) (-2) 3 d) si < 0 8. Rendre le dénominateur rationnel puis simplifier. a) 6 3 c) b) - + d) ( - 4) André Lévesque 0-35

36 9. Rendre le numérateur rationnel, puis simplifier. eercices a) b) ( - ) Montrer. a) - 2 = 2 pour 0 ; b) = ( - 4)( - ) ; c) 2(3 - ) ( - 2) 3 = 5 ( - 2) ; d) 2 ( - ) 3-3( -2) - ( - 4) 2 = ; e) - (2 - ) 3 = 3. André Lévesque 0-36

37 eercices Réponses au eercices. a) ]2, 4[, ]/2, 7[, ]-2, 5[ b) ]-2, 0[, ]-3/2, -/2[, ]-6, 4[ 2. a) oui d) non b) oui e) non c) non f) non 3. a) 2 b) aucune valeur c) a + b 2 4. a) vrai c) vrai b) fau d) fau 5. a) 8 f) 64 k) /6 b) -/4 g) 27 l) 5 c) /4 h) /4 m) 3/4 d) 27/8 i) 9/6 n) 2 e) j) 2 o) 6 6. a) 2 c) 9b 4 e) 8 b) 8 5 d) -/4 f) ab 7. a) polnôme (degré 2) e) polnôme (degré 0) b) polnôme (degré 4) f) ce n est pas un polnôme c) polnôme (degré 5) g) polnôme (aucun degré) d) ce n est pas un polnôme h) polnôme (degré 3) André Lévesque 0-37

38 eercices 8. a) h) b) i) c) j) d) k) e) l) f) m) g) 4 - n) a) ( 2 + ) i) ( + 2)( ) b) (3 - )( - 2)( + 2) j) ( - 2)( + 2)( - 3)( + 3) c) ( + 5)( + 3) k) est irréductible d) (a - 9)(a + 8) l) est irréductible e) ( - 4)( - 3) m) 4 ( - )( ) f) (2-3)(3 + ) n) ( - 2)( + 2)( ) g) ( + 7)(3-2) o) 2( - )(2 - ) 3 h) (8-5)(8 + 5) p) 4(2 - )( - 3) 2 (5-3) 4 0. a) {-5/6} h) { } b) {-/2; 3/5} i) {-2; 2} c) {0; 3/2} j) {- 3; 0; 3} d) {-/3; /3} k) {-/3; 0; 2} e) {4} l) {-2; 3/4} f) {-7; 3} m) {0; 2} g) {-3/2; 2} n) {-2; 0; 4/3; 4}. a) ( + 2)( - )( - 7) {-2,, 7} b) ( + )( - 3)( 2 + ) {-, 3} André Lévesque 0-38

39 eercices 2. a) ]-5, [ e) [- 3, 3] b) ]-, -] [, [ f) ]-, -] [5, [ c) ]-6, 6[ g) ]0, [ d) R h) [-2, 4[ 3. a) + 2 ( 2, 0) d) ( ±/2, -3) b) ( 2) e) ( - 2) 2 ( ±2) c) 6(2 + ) ( -2, 0) f) ( + 2) 2 ( 2) 4. a) 36 2 c) 3 (2 - )( - 2) 2 b) d) ( - )( + )( 2 + ) 5. a) ( -3/2) d) b) - ( ) e) ( - 2)( - 3) 3-4 ( - )( - 2) ( 5) ( - 4/3) c) - 2 ( -2) f) 0-7 ( - 2) 2 ( + 2) 6. a) - 2 ( ) b) ( 0) 7. a) + c) 0 si -3 ; -2-6 si < -3 b) - 2 d) - 8. a) 2 3 c) - ( + 6)( + - ) ( 2) b) - ( ) d) ( + 2)( ( - 4)) - 9 ( 2) 9. a) ( 7) b) ( - ) - - (, 2) André Lévesque 0-39

40 Les fonctions les fonctions fonction domaine et image Une fonction ƒ est une règle qui associe à tout élément d un ensemble de départ A au plus un élément d'un ensemble d'arrivée B. L ensemble A est appelé le domaine de la fonction ƒ (dom ƒ) tandis que l ensemble B est appelé l image de la fonction ƒ (ima ƒ). fonction réelle Nous limiterons notre étude à une catégorie de fonctions dont le domaine et l image sont des sous-ensembles des nombres réels. Cette catégorie de fonctions porte le nom de fonctions réelles. Les éléments du domaine seront représentés à l aide d une lettre (souvent cette lettre sera ) appelée variable indépendante ceu de l image par une autre lettre (en général la lettre ) appelée variable dépendante. La règle définissant la fonction est donnée à l aide d une équation de la forme =ƒ(). eemple Soit ƒ une fonction réelle définie par l équation = 2 +. La fonction ƒ associe à la valeur = 2, la valeur = 5. On dira dans ce cas que ƒ(2) = 5. Pour toute autre valeur réelle de, il eiste une valeur réelle de. Le domaine de la fonction ƒ (dom ƒ) est donc dom ƒ = R Il est évidemment possible d utiliser d autres lettres pour définir une fonction (g, h, ƒ, ƒ 2,...) et ses variables (u, v, t,, z,...). eemple Soit g une fonction réelle définie par l équation u = 3t + 5 t - 3 La fonction g associe à la valeur t =, la valeur u = -4. On dira dans ce cas que g() = -4. Pour toute autre valeur réelle de t, il eiste une valeur réelle de u sauf si t = 3 (cette valeur de t annule le dénominateur). dom g = R \ {3} André Lévesque 0-40

41 les fonctions Le domaine d une fonction correspond à l ensemble des valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la fonction peut être évaluée. Lorsqu on cherche à trouver le domaine d une fonction, on doit porter une attention particulière au dénominateurs ainsi qu au racines paires. Les valeurs de la variable indépendante ne doivent jamais: a) annuler un dénominateur, b) rendre négative une epression sous une racine paire. Par la suite, afin d alléger la notation, on parlera de la fonction = ƒ() plutôt que de la fonction réelle ƒ définie par l équation = ƒ(). eemple Trouver le domaine de la fonction ƒ() = À cause de la racine paire au numérateur, et à cause du dénominateur, Donc ± 2. dom ƒ = [-, [ \ {2} eemple Trouver le domaine de la fonction h() = rép: dom h = [ -5, 3 ] \ { -, /2 } André Lévesque 0-4

42 les fonctions eemple Trouver le domaine de la fonction ƒ() = rép: dom ƒ = [-3, 3] graphe Soit ƒ une fonction réelle. Le graphe de ƒ est l ensemble des points (,) tels que = ƒ(). Dans le cas d une fonction réelle, il est possible de représenter graphiquement le comportement de la fonction à l aide d un plan cartésien. Il suffit pour cela de considérer les éléments du graphe de la fonction et de les porter sur le plan cartésien. La variable indépendante sera placée en abscisse tandis que la variable dépendante sera placée en ordonnée. Cette représentation graphique porte simplement le nom de graphique de la fonction. Dans les cas simples, quelques points suffiront pour obtenir le tracé. eemple Tracer le graphique de la fonction ƒ() = -. On trouve d abord quelques points du graphe de la fonction. ƒ = { (0, -), (, 0), (2, ), (-, -2),... } Puis on porte ces points sur un plan cartésien. On remarque rapidement qu ils forment une droite. André Lévesque 0-42

43 les fonctions eemple Quels sont les graphiques représentant une fonction? Dans le cas où le graphique représente une fonction, trouver le domaine et l image de cette fonction. -- ƒ ƒ 2 il est facile de savoir si un graphique représente une fonction; si une droite verticale coupe une courbe plus d une fois, cette courbe ne représente pas une fonction 2-2 ƒ 3 ƒ ƒ 5 ƒ 6 rép: ƒ ; dom(ƒ ) = R ; ima(ƒ ) = [0, [ ƒ 2 ; dom(ƒ 2 ) = R \ {0} ; ima(ƒ 2 ) = {-, } ƒ 3 ; dom(ƒ 3 ) = R ; ima(ƒ 3 ) = ]-2, 2[ ƒ 6 ; dom(ƒ 6 ) = R \ {0} ; ima(ƒ 6 ) = R \ {0} André Lévesque 0-43

44 les fonctions Classification des fonctions réelles polnomiale algébrique rationnelle irrationnelle fonction réelle eponentielle logarithmique non algébrique * trigonométrique trigonométrique inverse etc... Les fonctions algébriques fonction polnomiale Une fonction polnomiale est définie à partir d une équation de la forme = P() où P() est un polnôme c est-à-dire une epression algébrique de la forme a 0 + a + a a a n n (a 0, a, a 2,... a n sont des constantes réelles et n un nombre naturel) eemple Les fonctions suivantes sont toutes des fonctions polnomiales. a) ƒ () = 3-2 b) ƒ 2 () = c) ƒ 3 () = * Le rappel portera uniquement sur les fonctions algébriques puisque pour les quatre premiers chapitres, seules les fonctions de ce tpe seront considérées. À partir du cinquième chapitre, on s intéressera au fonctions non algébriques. Le rappel sur ces notions viendra à ce moment. André Lévesque 0-44

45 les fonctions Les fonctions linéaires et les fonctions quadratiques sont deu tpes de fonctions polnomiales. fonction linéaire Une fonction polnomiale de la forme ƒ() = m + b où m et b sont des nombres réels est appelée fonction linéaire. caractéristiques de la fonction linéaire f() = m + b a) Le graphique d une fonction linéaire est une droite. b) Puisque ƒ(0) = b alors la droite coupe l ae des en = b (b est l ordonnée à l origine). c) m représente la pente de la droite. pente d une droite (, ) La pente d une droite passant par les points distincts (, ) et ( 2, 2 ) est donnée par le rapport ( 2, 2 ) m = m<0 Lorsque = 2, la droite est verticale (la pente n est pas définie), = 2, la droite est horizontale (la pente est nulle). m=0 m n' est pas déf inie m>0 équation de la droite de pente m passant par le point (, ) Lorsqu on connaît la pente m d une droite et un point (, ) sur cette droite, l équation de cette droite sera = m + b. La droite de pente m passant par le point (, ) est donnée par l équation = m( - ) + André Lévesque 0-45

46 les fonctions eemple Tracer le graphique de chacune des fonctions a) ƒ() = 3 - b) g() = 2 eemple Déterminer la pente de la droite passant par les points (-,2) et (, -). rép: m = -3/2 eemple Trouver l équation de la droite passant par a) le point (-3, 2) et dont la pente est 5, b) les points (-, ) et (0, 3). rép: a) = ; b) = André Lévesque 0-46

47 les fonctions fonction quadratique Une fonction polnomiale de la forme ƒ() = a 2 + b + c où a, b et c sont des nombres réels et a 0 est appelée fonction quadratique. caractéristiques de la fonction quadratique ƒ() = a 2 +b+c intersection de la parabole avec l ae des abscisse du sommet a) Le graphique d une fonction quadratique est une parabole. b) Si a > 0 alors la parabole est orientée vers le haut; si a < 0 alors la parabole est orientée vers le bas. c) Les intersections de la parabole avec l ae des (s il en a), sont les racines réelles de l équation a 2 + b + c = 0. On obtient ces valeurs, en factorisant le polnôme ou en utilisant la formule du second degré = -b ± b2-4ac 2a d) L abscisse du point correspondant au sommet de la parabole est = - b 2a eemple Tracer le graphique de chacune des fonctions. Identifier s il a lieu, l intersection du graphique avec l ae des ainsi que le sommet du graphique. a) ƒ() = b) g() = rép: racines {-3,} maimum (-, 4) rép: racine { } minimum (-, ) André Lévesque 0-47

48 les fonctions Graphiques des fonctions polnomiales de la forme ƒ() = n (n =, 2, 3, 4, 5,...) ƒ() = ƒ() = 2 ƒ() = 3 ƒ() = 4 ƒ() = 5 Lorsque la valeur de n est supérieure à, les graphiques de ƒ() = n sont uniquement de deu formes de plus en plus aplaties autour de =0. fonction rationnelle Toute fonction pouvant s écrire sous la forme P() ƒ() = Q(), Q() 0 où P() et Q() sont deu polnômes est appelée fonction rationnelle. eemple Les fonctions suivantes sont toutes des fonctions rationnelles. a) ƒ () = 2 b) ƒ 2 () = c) ƒ 3 () = (la dernière fonction peut se ramener à la forme d un quotient de deu polnômes) eemple Tracer le graphique de la fonction rationnelle ƒ() =. Le graphique de cette fonction peut être obtenu en se donnant suffisamment de points. On note que zéro ne fait pas partie du domaine (ni de l image). André Lévesque 0-48

49 les fonctions translations horizontales et verticales Soit c > 0. Pour obtenir le graphique de a) = ƒ() + c, on déplace de c unités vers le haut le graphique de = ƒ(), b) = ƒ() - c, on déplace de c unités vers le bas le graphique de = ƒ(), c) = ƒ( - c), on déplace de c unités vers la droite le graphique de = ƒ(), d) = ƒ( + c), on déplace de c unités vers la gauche le graphique de = ƒ(), compression, étirement et rotation Soit c >. Pour obtenir le graphique de a) = c ƒ( ), on étire le graphique de = ƒ() verticalement d un facteur c, b) = ƒ(), on comprime le graphique de = ƒ() verticalement d un facteur c, c c) = -ƒ(), on fait une rotation du graphique de = ƒ() par rapport à l ae des, d) = ƒ(-), on fait une rotation du graphique de = ƒ() par rapport à l ae des. André Lévesque 0-49

50 les fonctions eemple en se servant des règles de la page précédente, on obtient à partir du graphique de ƒ() = / le tracé des 8 courbes suivantes ƒ() = + ƒ() = - 2 toute fonction pouvant s écrire sous la forme ƒ() = a + b c + d où c 0, -d/c est appelée fonction homographique ƒ() = - ƒ() = + 2 ƒ() = ƒ() = ƒ() = - ƒ() = 3 André Lévesque 0-50

51 les fonctions fonction irrationnelle On appelle fonction irrationnelle une fonction algébrique qui n est pas de tpe polnomial ou de tpe rationnel. eemple Les fonctions suivantes sont toutes des fonctions irrationnelles. a) ƒ () = b) ƒ 2 () = -3/4 + 2 c) ƒ 3 () = 2 - eemple Tracer le graphique de la fonction irrationnelle ƒ() = en vous donnant suffisamment de points. Puis, en vous servant de ce graphique, tracer les autres graphiques. ƒ() = ƒ() = - ƒ() = On rappelle que les fonctions d équations = ƒ() et = - ƒ() sont des fonctions smétriques par rapport à l ae des tandis que les fonctions d équations = ƒ() et = ƒ(-) sont des fonctions smétriques par rapport à l ae des. André Lévesque 0-5

52 les fonctions eemple ƒ() = ƒ() = - ƒ() = - ƒ() = 5-2 = /2 eemple Identifier sur le tableau du bas chacune des fonctions algébriques. ƒ() = ƒ() = /3 ƒ() = 5 ƒ() = ƒ() = 3 ƒ() = π ƒ() = ( - )( + ) ƒ() = ƒ() = polnomiale linéaire quadratique autres rationnelle irrationnelle André Lévesque 0-52

53 les fonctions fonction en branches Certaines fonctions sont définies en utilisant plus d une équation. On les appelle des fonctions en branches. eemple Tracer le graphique de chacune des fonctions en branches suivantes. a) ƒ() = si > 0 si < 0 b) g() = 2 - si < si 0 < -3 si > les fonctions et 2 = 2 Une fonction en branches très utile en mathématiques est la fonction valeur absolue ƒ() = = si 0 - si < 0 Rappelons que ƒ() = et g() = 2 sont deu fonctions égales. eemple Tracer le graphique de chacune des fonctions en vous servant du graphique de ƒ() = ( ƒ() = 2 ) ƒ() = + André Lévesque 0-53

54 les fonctions ƒ() = ƒ() = - - ƒ() = ƒ() = + ( + 2) 2 eemple Tracer le graphique de ƒ() = 2 -. On trace d abord le graphique de = 2 - puis on fait faire une rotation de la partie négative de ce graphique autour de l ae des. ƒ() = 2 - André Lévesque 0-54

55 les fonctions À partir de fonctions, il est possible d en créer d autres en utilisant les opérations algébriques: somme, différence, produit et quotient. opérations sur les fonctions Soit ƒ() et g() deu fonctions. La fonction ) somme correspond à la fonction (ƒ+g)() = ƒ() + g() ; 2) différence correspond à la fonction (ƒ-g)() = ƒ() - g() ; 3) produit correspond à la fonction (ƒg)() = ƒ() g() ; 4) quotient correspond à la fonction (ƒ/g)() = ƒ()/g(), g() 0. Le domaine des fonctions somme, différence, produit et quotient est le domaine commun des fonctions ƒ() et g() dom ƒ dom g sans oublier la restriction pour la fonction quotient que le dénominateur g() ne peut être nul. eemple Trouver a) (ƒ+g)() b) (g-ƒ)() c) (ƒg)() d) (g/ƒ)() si ƒ() = - et g() = D abord trouvons le domaine des fonctions ƒ() et g(). dom f = R \ {} et dom g = R \ {0} a) (ƒ+g)() = ƒ() + g() = - + = ( - ) pour dans R \ {0, } b) (g-ƒ)() = g() - ƒ() = - - = ( - ) pour dans R \ {0, } André Lévesque 0-55

56 les fonctions c) (ƒg)() = ƒ() g() = - = - pour dans R \ {0, } b) (g\ƒ)() = g() ƒ() = / /( - ) = - 2 pour dans R \ {0, } composition de fonctions Une autre façon de construire une fonction consiste à transformer les images d une première fonction à l aide d une seconde fonction. C est ce qu on appelle la composition de fonctions. Par eemple la fonction définie par l équation = 3 + peut être obtenue en considérant les deu fonctions: ƒ() = 3 + et g() = Pour comprendre le mécanisme derrière le procédé de composition de fonctions, notons d abord que la fonction associée à = 3 + transforme = en = 2. Il est possible d obtenir le même résultat en utilisant les fonctions ƒ() et g(). D abord ƒ() = 3 + transforme = en ƒ() = 4 puis, g() = transforme ƒ() = 4 en g(ƒ()) = g(4) = 2 ƒ() = 3 + g() = ƒ() = 4 g(ƒ()) = g(4) = 2 Par cette double transformation, = est associé à = 2. D une façon générale, ƒ() = 3 + ƒ() = 3 + g() = g(ƒ()) = g(3 + ) = 3 + André Lévesque 0-56

57 les fonctions On dira que la fonction définie par l équation = 3 + est le résultat de la composition de g() et ƒ(). Elle sera notée goƒ(). goƒ() = 3 + Le domaine de la fonction goƒ() correspond au valeurs du domaine de ƒ() pour lesquelles ƒ() est élément du domaine de g(). fonction composée Soit ƒ() et g() deu fonctions. La fonction composée goƒ() est définie par goƒ() = g(ƒ()) dom goƒ = { dans le dom ƒ et ƒ() dans le dom g } eemple Soit ƒ() = - 3 et g() = 2. Trouver a) ƒog() b) goƒ() c) ƒoƒ() a) Par définition ƒog() = ƒ(g()) = ƒ( 2 ) = - 3( 2 ) = pour dans R rép: b) où dans R ; c) 9-2 où dans R André Lévesque 0-57

58 les fonctions eemple Déterminer ƒ() et g() si h() = goƒ() et: a) h() = b) h() = ( 2 + 3) 5 c) h() = 3 + rép: a) ƒ() = et g() = ; b) ƒ() = et g() = 5 c) ƒ() = 3 + et g() = André Lévesque 0-58

59 les fonctions eemple Trouver la fonction = ƒ() définie par la composition des fonctions suivantes. a) = u 3 -, u = ; b) = u, u = - ; c) = u, u = 3 + v, v = 2. rép: a) = 3 - ; b) = - ; c) = André Lévesque 0-59

60 eercices Eercices. Parmi les droites ci-contre, identifier celle(s) dont la pente est d 3 d4 a) positive, d b) nulle, c) négative, d) la plus grande, d 2 e) la plus petite. d 5 2. Tracer le graphique de chacune des droites (déterminer s il a lieu, la pente et l ordonnée à l origine). a) = 3-2 c) = 2 b) = 7-2(3 + ) d) = Trouver l équation de la droite a) dont l ordonnée à l origine est 3 et la pente est, b) qui passe par le point (2, -) et dont la pente est 3, c) qui passe par les points (-2, 3) et (2, - 5). 4. Tracer le graphique de chacune des paraboles (déterminer s il a lieu, les points où la parabole coupe l ae des ainsi que le point maimal ou minimal). a) = 2 - c) = b) = d) = Trouver le domaine des fonctions suivantes: a) ƒ () = e) ƒ 5 () = 2 + b) ƒ 2 () = c) ƒ 3 () = - + d) ƒ 4 () = 2-4 f) ƒ 6 () = g) ƒ 7 () = h) ƒ 8 () = ( + ) (2 2 - )( - ) André Lévesque 0-60

61 eercices i) ƒ 9 () = o) ƒ 5 () = j) ƒ 0 () = - p) ƒ 6 () = k) ƒ () = 2 - q) ƒ 7 () = l) ƒ 2 () = 3 - r) ƒ 8 () = m) ƒ 3 () = 4-2 s) ƒ 9 () = n) ƒ 4 () = 2-9 t) ƒ 20 () = Vrai ou fau. a) ƒ () = 2 est une fonction quadratique, b) ƒ 2 () = 2 - est une fonction polnomiale, c) ƒ 3 () = est une fonction irrationnelle, d) ƒ 4 () = (3-2) 2 est une fonction quadratique, e) ƒ 5 () = f) ƒ 6 () = est une fonction rationnelle, est une fonction linéaire, g) ƒ 7 () = -/2 est une fonction rationnelle, h) ƒ 8 () = ( 3-2) est une fonction polnomiale. 7. Tracer le graphique de ƒ() = 2 puis, à l aide de ce graphique, tracer les graphiques suivants: a) ƒ () = - 2 d) ƒ 4 () = ( - ) 2 b) ƒ 2 () = 2-3 e) ƒ 5 () = ( + 2) 2 c) ƒ 3 () = 2-2 f) ƒ 6 () = ( - 2) André Lévesque 0-6

62 8. Tracer le graphique de ƒ() = 3 puis, à l aide de ce graphique, tracer les graphiques suivants: a) ƒ () = ( - ) 3 c) ƒ 3 () = - 3 b) ƒ 2 () = - 3 d) ƒ 4 () = ( + 2) 3-3 eercices 9. Tracer le graphique de chacune des fonctions (déterminer le domaine et l image de ces fonctions) a) ƒ () = - 3 f) ƒ 6 () = 2 b) ƒ 2 () = 2 g) ƒ 7 () = c) ƒ 3 () = + h) ƒ 8 () = (3 + 2) 2 d) ƒ 4 () = 2 - i) ƒ 9 () = e) ƒ 5 () = 3 j) ƒ 0 () = Tracer chacun des graphiques (déterminer le domaine et l image des fonctions) - si - a) ƒ () = + 2 si < - b) ƒ 2 () = ( - ) 2 si > 0 si < 0 c) ƒ 3 () = d) ƒ 4 () =. Si ƒ() = alors trouver: a) ƒ(2) e) ƒ(a) b) ƒ(3) f) ƒ(a - b) c) ƒ(2 + 3) g) ƒ(a) - ƒ(b) d) ƒ(2) + ƒ(3) h) peut-on dire que ƒ(a - b) = ƒ(a) - ƒ(b)? 2. Soit ƒ() = - si < - 2 si - < si > a) Tracer le graphique de la fonction. b) Évaluer si possible les images suivantes: ƒ(-/2), ƒ(2), ƒ(-), ƒ(-2), ƒ(), ƒ(/2). André Lévesque 0-62

63 3. Soit ƒ() = ( + ) /. a) En utilisant votre calculatrice, compléter (si possible) le tableau suivant. eercices 0 0,00 0,0 0, ƒ() b) Que deviennent les images de cette fonction lorsque la valeur de augmente? c) Que deviennent les images de cette fonction lorsque la valeur de s approche de 0 (tout en demeurant positive)? d) À l aide du tableau, tracer le graphique de la fonction pour Pour chaque paire de fonctions ƒ et g, trouver: (ƒ+ g)(), (g - ƒ)(), (ƒg)(), (ƒ/g)(), (g/ƒ)(). Donner le domaine de chacune des fonctions. a) ƒ() = - 5, g() = 2 - b) ƒ() =, g() = 5. Soit ƒ() = + 2 et g() = 2, trouver a) (ƒog)() b) (goƒ)() 6. Soit ƒ() = - 2 et g() = + 3, trouver a) (ƒog)() et dom ƒog, b) (goƒ)() et dom goƒ, c) (ƒoƒ)() et dom ƒoƒ, d) (gog)() et dom gog, e) (ƒoƒoƒ)() et dom ƒoƒoƒ. 7. Déterminer les fonctions g() et h() si a) (goh)() = + - b) (goh)() = ( ) 7 c) (goh)() = ( 2 + ) 3 8. Trouver la fonction = ƒ() définie par la composition des fonctions suivantes: a) = u 3, u = 2 - ; b) = v 2, v = 2 + ; c) = r + r, r = ; d) = u, u = v2, v = ; e) = r, r = 3u 2 -, u = - 2. André Lévesque 0-63

64 9. Simplifier le plus possible l epression a) si ƒ() = 2 + b) si ƒ() = 2-3 ƒ(b) - ƒ(a) b - a (a b) eercices 20. Simplifier le plus possible l epression a) si ƒ() = b) si ƒ() = + ƒ( + h) - ƒ() h (h 0) André Lévesque 0-64

65 Réponses au eercices eercices. a) d 4, d 5 b) d 2 c) d,d 3 d) d 5 e) d 2. a) c) b) m = 3 ; b = -2 d) m et b ne sont pas définies m = -2 ; b = m = - 4/3 ; b = 4 3. a) = + 3 b) = 3-7 c) = -2 - André Lévesque 0-65

66 eercices 4. a) c) racines: -, ; minimum (0, -) racines:, 3 ; maimum (2, 2) b) d) racines: /3, ; minimum (2/3, -/3) aucune racine réelle ; minimum (7/8,5/6) 5. a) R k) ]/2, [ b) R \ {0} l) R c) R \ {-} m) [-2, 2] d) R \ {-2, 2} n) ]-, -3] [3, [ e) R o) R \ {- 6/2, 6/2} f) R \ {- 2/2,, 2/2} p) ]-, 5[ g) R \ {3/2,4} q) R h) R r) ]-, - 5[ ] 5, [ i) R \ {-} s) ]-, -3] [3, [ \ {4} j) [, [ t) ]-, -] ]2, [ 6. a) vrai b) vrai c) fau d) vrai e) fau f) vrai g) fau h) vrai André Lévesque 0-66

67 eercices 7. a) d) b) e) c) f) André Lévesque 0-67

68 eercices 8. a) c) b) d) André Lévesque 0-68

69 eercices 9. a) e) b) dom ƒ = R \ {0} ima ƒ = R \ {0} f) dom ƒ 5 = R ima ƒ 5 = R c) dom ƒ 2 = R \ {0} ima ƒ 2 = ]0, [ g) dom ƒ 6 = R ima ƒ 6 = [0, [ d) dom ƒ 3 = [-, [ ima ƒ 3 = [0, [ h) dom ƒ 7 = R ima ƒ 7 = [0, [ dom ƒ 4 = ]-,2] ima ƒ 4 = [0, [ dom ƒ 8 = R ima ƒ 8 = [0, [ André Lévesque 0-69

70 eercices i) j) dom ƒ 9 = R ima ƒ 9 = [0, [ dom ƒ 0 = R ima ƒ 0 = [0, [ 0 a) c) dom ƒ = R ima ƒ = ]-,2] dom ƒ 3 = R \ {-} ima ƒ 3 = R \ {-2} b) d) dom ƒ 2 = R \ {0} ima ƒ 2 = [0, [ dom ƒ 4 = R \ {0} ima ƒ 4 = {-, }. a) 7 e) 2a 2 - b) 7 f) 2a 2-4ab + 2b 2 - c) 49 g) 2(a - b)(a + b) d) 24 h) non André Lévesque 0-70

71 eercices 2.a) - b) ƒ(-/2) = /4 ƒ(2) = /2 ƒ(-) = ƒ(-2) = - ƒ() n eiste pas ƒ(/2) = /4-3. a) 0 0,00 0,0 0, ƒ() - 2,77 2,705 2,594 2,732,27,047,007 b) elles semblent s approcher de la valeur c) elles semblent s approcher d une valeur d environ 2,7 d) a) dom ƒ = R dom g = R (ƒ+g)() = dom (ƒ+g) = R ; (g-ƒ)() = dom (g-ƒ) = R ; (ƒg)() = dom (ƒg) = R ; (ƒ/g)() = (g/ƒ)() = dom (ƒ/g) = R \ {-, } dom (g/ƒ) = R \ {5} André Lévesque 0-7

72 eercices b) dom ƒ = [0, [ dom g = ]0, [ (ƒ+g)() = ( + 2 ) dom (ƒ+g) = ]0, [ (g-ƒ)() = ( - 2 ) dom (g-ƒ) = ]0, [ (ƒg)() = dom (ƒg) = ]0, [ (ƒ/g)() = 2 dom (ƒ/g) = ]0, [ (g/ƒ)() = 2 dom (g/ƒ) = ]0, [ 5. a) (ƒog)() = b) (goƒ)() = ( + 2) 2 6. a) pour dans [-3, [ b) 4-2 pour dans ]-, 2 ] c) 4 - pour dans R +3 pour dans [-3, [ e) 3-8 pour dans R d) a) g() = et h() = + - b) g() = 7 et h() = c) g() = 3/2 et h() = a) = (2 - ) 3 b) = ( 2 + ) 2 c) = + d) = (2 3-5) 2 e) = 3(-2) 2-9. a) 2 b) b + a 20. a) 2 + h + b) - (+h) André Lévesque 0-72