BACCALAUREAT GENERAL

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1 BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 9 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire France métropolitaine EXERCICE ) a) Soit n un entier naturel. v n+ u n+ 6 u n u n u n 6) v n. La suite v n ) est une suite géométrique de raison. b) On sait alors que pour tout entier naturel n v n v Or v u 6 5 et donc pour tout entier naturel n on a u n v n ) n. ) n + 6. Pour tout entier naturel n, u n 5 ) n + 6. c) Puisque < <, on sait que lim n + ) n. On en déduit que la suite u n ) converge et que lim u n 6. n + ) a) w w et donc w. w. b) Il semblerait que pour tout entier naturel n, on ait w n n +. Prouvons-le par récurrence. Pour n, on a + w. L égalité est donc vraie quand n. Soit n. Supposons que w n n ) + ou encore w n n. w n n + )w n + n n + )n ) + n n + n n n +. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, on ait w n n +. En particulier la suite w n ) n N est arithmétique de raison et w Si on n aime pas passer de n à n et que l on préfère passer de n à n +, on doit commencer par se réécrire la relation de récurrence : pour tout entier naturel n, n + )w n+ n + )w n +. La démonstration principale s écrit alors http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

2 w n+ n + )w n + n + )n + ) + n + 5n + n + )n + ) n + n + ) +. n + n + n + n + http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

3 EXERCICE PARTIE I e x ) D après un théorème de croissances comparées, on a lim x + x +. On en déduit que Puis lim x + ln + xe x ) ln + ). lim x + xe x lim x + x e x lim x + lim fx). x + e x /x. ) La fonction x + xe x est dérivable sur [, + [ et est strictement positive sur cet intervalle et la fonction y ln y est dérivable sur ], + [. On en déduit que f est dérivable sur [, + [. De plus, pour tout réel x, Maintenant, pour tout réel positif x, ) On en déduit le tableau de variations de f. f x) + xe x ) + xe x e x + x e x ) x)e x + xe x + xe x. e x + xe x >. On en déduit que pour tout réel positif x, f x) est du signe de x. x + f x) + f ln + e ) PARTIE II ) Première méthode. a) Soit λ un réel strictement positif. La fonction f est continue et positive sur [, λ]. Donc Aλ) est l aire exprimée en unités d aire, du domaine compris entre l axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d équations respectives x et x λ. f) O R Aλ) Q P λ http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

4 b) Puisque la fonction f admet un maximum en d après la question I.), le domaine considéré est contenu dans le rectangle OPQR où Pλ, ), Qλ, f)) et R, f)). Son aire Aλ) est donc inférieure ou égale à l aire de ce rectangle ou encore Aλ) λf). Pour tout réel strictement positif λ, Aλ) λf). ) Deuxième méthode. a) Pour x dans [, λ], posons ux) x et vx) e x. Les fonctions u et v sont dérivables sur [, λ] et pour x dans [, λ] on a ux) x u x) vx) e x v x) e x De plus, les fonctions u et v sont continues sur [, λ]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient λ xe x dx [ x e x ) ] λ λ e x ) dx λe λ + [ e x] λ λe λ e λ +. Pour tout réel λ, λ xe x dx λe λ e λ +. b) Soit λ un réel strictement positif. Pour tout réel x de [, λ], le réel u xe x est positif. On en déduit que pour tout réel x de [, λ], ln + xe x ) xe x. Par croissance de l intégrale, on obtient alors Aλ) λ ln + xe x ) dx λ xe x λe λ e λ +. Pour tout réel strictement positif λ, Aλ) λe λ e λ +. ) Application numérique. Quand λ 5, la majoration de la question )b) fournit A5) 5ln + e ), et donc A5), 57. La majoration de la question )b) fournit quant à elle A5) 5e 5 e 5 +, et donc A5), 96. Dans le cas où λ 5, la méthode de la question ) fournit un meilleur majorant que la méthode de la question ). http :// 4 c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

5 EXERCICE PARTIE I Restitution organisée de connaissances Soient n et p deux entiers naturels tels que p n. ) ) n n n )! + p p p )!n ) p ))! + n )! p!n ) p)! n )! p )!n p)! + n )! p!n p )! n )! p )! n p) n p )! + n )! p p )! n p )! p n )! p p )! n p) n p )! + n p) n )! p p )! n p) n p )! p n )! n p) n )! p n )! + n p) n )! + p! n p)! p! n p)! p! n p)! ) p + n p) n )! n n )! p! n p)! p! n p)! n! n p! n p)!. p Pour tous entiers naturels n et p tels que p n, ) n p ) n + p n p ). PARTIE II ) a) Les différents tirages de deux jetons sont supposés équiprobables. Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de tirer simultanément deux jetons parmi dix jetons. Il y en a ) Le nombre de cas favorables est le nombre de façons de tirer simultanément les deux jetons parmi les sept jetons blancs. Il y en a ) On en déduit que pa) b) Il y a toujours 45 cas possibles. D autre part, il y a 4 jetons blancs portant un numéro impair,, 5 et 7) et jetons noirs portant un numéro impair et ) et donc 6 jetons portant un numéro impair. Le nombre de cas favorables est le nombre de façons de tirer simultanément les deux jetons parmi les six jetons portant un numéro impair. Il y en a On en déduit que ) pb) c) pa) pb) D autre part, l événement A B est l événement «obtenir deux jetons blancs portant des 45 ) 4 numéros impairs». Il y a 4 jetons blancs portant des numéros impairs et donc 4 6 tirages de deux jetons blancs portant des numéros impairs. On en déduit que Comme pa B) pa) pb), on a montré que pa B) les événements A et B ne sont pas indépendants. http :// 5 c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

6 ) a) X prend trois valeurs :, et. ) ) 7 px ) ) 45 ) ) 7 px ) ) 7 45 ) ) 7 px ) ) px ) 5, px ) 7 7 et px ) 5 5. b) EX) px ) + px ) + px ) , EX), 4. http :// 6 c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

7 EXERCICE 4 ) a) Soit M un point distinct de O dont l affixe est notée z. OM OM z z z z, et u ) ), OM argz M ) arg argz) u ), OM z Pour tout point M O, OM OM et [π]. u ), OM u ), OM [π]. b) Le point A est défini par OA OA et u ), OA u ), OA le point A et enfin le point A est le milieu du segment [AA ]. [π]. Ces égalités permettent de construire B B A A 4 4 A C C ) a) Soit M un point distinct de O. z z M z M + z M ) z + ). z b) et z B z B + ) i + ) i) i) z B i 4i 4i 4i 4i i) i 4, z C z C + ) i + ) i) + i z C i 4i 4. http :// 7 c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

8 z B i 4 et z C i 4. ) Soit M un point distinct de O. M M z z z + ) z z + z z z z z z z ou z. Les points M tels que M M sont les points de coordonnées, ) et, ). 4) Soit M un point distinct de O dont l affixe est notée z. ère solution. Si M est sur le cercle de centre O et de rayon, on a z et donc il existe un réel θ tel que z e iθ. Mais alors z e iθ + ) e iθ eiθ + e iθ ) cosθ + i sinθ + cos θ) + i sin θ)) cosθ + i sin θ + cosθ i sinθ) cosθ. Ainsi, z est un réel élément de l intervalle [, ] et donc M est élément du segment [KL]. ème solution. Posons z x + iy où x et y sont deux réels tels que x + y car OM ). z x + iy + ) x + iy + x iy ) x + iy x + y x + iy + x iy) x. Or x x x + y et on retrouve le fait que z est un réel élément de l intervalle [, ]. http :// 8 c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.