E2 : MATHÉMATIQUES I ÉPREUVE OBLIGATOIRE

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1 SESSION 00 E : MATHÉMATIQUES I Durée : 3 heures Coefficient : ÉPREUVE OBLIGATOIRE Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. Page / 4

2 EXERCICE N (6 points) Partie A On donne les matrices suivantes (α et désignant des réels) : A =, B =, C =. α 0 β 0 0 ) On admet que BC = Calculer les coefficients de la première colonne, en fonction dea et b. ) Déterminer α et tels que BC = A. 3) Calculer A. Que remarque-t-on vis-à-vis de la matrice C? Partie B ) Dessiner un graphe G orienté, de sommets a, b, c, d, dont la matrice adjacente est A. ) a) Dresser la liste de tous les chemins de longueur allant de a jusqu à c. b) Expliquer comment, en utilisant la partie A, on peut trouver sans en dresser la liste le nombre de chemins de longueur allant jusqu à c, et donner ce nombre. 3) Compléter le dessin de la question B)), en utilisant une couleur différente, de manière à obtenir une représentation de la fermeture transitive du graphe G. E MATHÉMATIQUES I Page / 4

3 EXERCICE N (6 points) Partie A Dans une algèbre de Boole, on définit l opérateur binaire par a b = ab + ab. ) Calculer a 0, ad et a a. ) Etablir la table de vérité de a b sont (,0 ) et ( 0, ). et montrer que les couples (, ) a b pour lesquels on a a b = Partie B Dans cette partie, A, B, C désignent des variables aléatoires indépendantes telles que : A suit la loi normale n ( 50, 7 ), B suit la loi de Poisson p( 5 ), C désigne le nombre de boule(s) rouge(s) obtenues au cours du tirage au hasard d une boule dans une urne contenant 0 boules blanches et N boules rouges, toutes indiscernables au toucher. (C prend donc soit la valeur 0, soit la valeur ). Des variables booléennes a, b et c sont définies de la façon suivante : a = si A > 59, b = si B 4, c = si C =. ) Calculer chacune des probabilités suivantes : (les deux premiers résultats seront arrondis à 0 près et le dernier sera donné en fonction de N) a) p( a = ) ; b) p( b = ) ; c) p( c = ). ) a) Montrer que p( a b = ) 0,45. Dans la question suivante, on pourra utiliser les résultats de la question ) de la partie A). b) On suppose que p( ( a b) c = ) = 0,5 et on pose x p ( c ) = =. Montrer que x vérifie l équation 0,55x + 0,45( x) = 0,5. Résoudre cette équation et en déduire le nombre N de boules rouges. E MATHÉMATIQUES I Page 3/ 4

4 EXERCICE N 3 (8 points) Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A. Partie A Une entreprise fabrique et commercialise un produit rare. Sa production mensuelle, qui ne peut excéder 7 tonnes, est notée X (en tonnes) ; le coût total de cette production mensuelle est noté Y (en MF). 6 On rappelle que MF = 0 F. On pose Z = e 00 Y 5. On a établi le tableau suivant : X Y 9, 0, 7,5 3, 40,6 57,3 Z 5,33 4,43 8,7 5,06 0,76 5,5 3 ) Calculer, à 0 près, les coefficients de corrélation linéaire entre X et Y d une part, entre X et Z d autre part, et commenter les résultats obtenus. ) Déterminer une équation de la droite de régression de Z en X. (On arrondira chacun des coefficients à 0 près). 3) Utiliser le résultat de la question précédente pour obtenir une expression de Y en fonction de X. Partie B On se propose, dans cette partie, d étudier la fonction f, définie pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 7] par f ( x) = 00 5ln(3 4 x). ) Montrer que f est croissante sur [0 ; 7]. ) Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités : cm sur l axe des abscisses et mm sur l axe des ordonnées). Partie C On considère dans cette partie que la fonction f, étudiée dans la partie B, est la fonction «coût total de production mensuelle» du produit rare fabriqué par l entreprise évoquée dans la partie A. On a donc : f ( x) = 00 5ln(3 4 x), avec x exprimé en tonnes et f ( x ) en MF. ) Déterminer par le calcul à quelle production mensuelle correspond un coût de 50 MF? (Donner la réponse au kg le plus proche). ) Le prix de vente d une tonne de produit est 9 MF. La recette mensuelle totale, en MF, fonction du g x = x. nombre de tonnes x vendues, est donc donnée par : ( ) 9 a) Tracer la droite représentant g sur le graphique précédent. b) Par lecture graphique, indiquer à quel intervalle la production mensuelle x, en tonnes, doit appartenir pour que l entreprise réalise un bénéfice. E MATHÉMATIQUES I Page 4/ 4

5 CORRIGE DE L ÉPREUVE OBLIGATOIRE SUJET NATIONAL SESSION 00 Question Correction Barème proposé Exercice I A)) α β 0 α 0 BC =. β 0 0 α 0 0 A)) α β = α = 0,5 BC = A α = 0. β = β = A)3) A = ; On remarque que B)) A = C avec les valeurs trouvées pour α et β à la question précédente. a b c d B))a) B))b) B)3) D après le calcul obtenu à la question A)3), il y a trois chemins de longueur allant de a vers c : a-a-c ; a-d-c ; a-c-c. Il suffit de calculer, dans la matrice A obtenue à la question A)3), la somme des éléments de la troisième colonne : on trouve 7. 0,5 a b c d E MATHÉMATIQUES I CORRIGÉ - Page /3

6 Exercice II A)) a 0 = a0 + a = a A)) B))a) B))b) B))c) B))a) a = a + a0 = a 0,5 a a = aa + aa = a + a = a b b = 0 b = On constate que a = 0 0 a b = ( a, b) {(,0 ),( 0,) }. 0,5 a = 0 A 50 9 p ( a = ) = P( A > 59) = P > = Π (, 9) = 0, k = 4 k 5 5 p ( b = ) = P( B 4) = e = 0, 44. k! k = 0 N p ( c = ) = P ( C = ) = N + 0 (nombre de cas favorables : N, nombre de cas possibles : N + 0) Avec le résultat de la question A)3) et puisque les deux variables A et B sont indépendantes : p a b = = p a = et b = 0 + p a = 0 et b=, d où : ( ) (( ) ) (( ) ( )) ( = ) = ( = ) ( = ) + ( = ) ( = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p a b p a p b p b p a, soit : p a b = = p a = + p b = p a = p b = = 0,0 + 0,44 0,088 = 0, 45 (à 0 près). B))b) Notons y = p ( a b = ). (( ) ) ( ) ( ) ( x) On a : p a b c = 0,5 y x + y x = 0,5 On en déduit : x = 0,6 et 0,45 + 0,55x = 0,5 0x N = = 30. x E MATHÉMATIQUES I CORRIGÉ - Page /3

7 Exercice III A)) On a les résultats intermédiaires (non demandés) suivants : X = 3,5 σ X =,708 σ XY =, 390 rxy = 0, 953 Y = 3, 87 σy = 3,38. σ XZ =, 930 rxz = 0, 989 Z = 6, 546 σ Z = 7, 06 Les deux corrélations sont bonnes, l ajustement de Z en X étant toutefois meilleur que celui de Y en X. A)) On écrit l'équation cherchée sous la forme classique Z = ax + b A)3) B)) σ XZ avec : a = = 4, 09 et b = Z ax = 30, 86. ( σ ) X L'équation cherchée est donc : Z = 4,09X + 30, Y 5 Avec Z = e, on déduit Y = 00 5 ln Z, puis avec ce qui précède : ( X ) Y = 00 5 ln 30,86 4, 09. ( ) ( ) 4 00 f '( x) = 5 =. 3 4x 3 4x Pour x appartenant à l'intervalle [0 ; 7], 4x 8 et 3 4x > 0. Sur [0 ; 7], f ' x > 0 et la fonction f est strictement croissante. B)) Dessin. C)) 3 e On résout f ( x) = 50 ln ( 3 4x) = 3 4 x = e x =. (à peu près six 4 tonnes). Au kg le plus près, on trouve 5903 kg. C))a) Dessin. C))b) L entreprise réalise un bénéfice lorsque : g ( x) f ( x). Par lecture graphique, on trouve l intervalle [,9 ; 6,3]. y=f(x) y=g(x) O,9 6,3 E MATHÉMATIQUES I CORRIGÉ - Page 3/3