Chapitre 4 Trigonométrie

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1 Chapitre 4 Trigonométrie I. Radian cercle trigonométrique 1) Le radian On appelle radian (symbole : rad) la mesure d'un angle qui intercepte un arc dont la longueur est égale à son rayon R. Cte définition ne dépend pas du rayon R de l'arc. Le rapport de la longueur de l'arc par le rayon correspondant est constant : L 1 R 1 = L R La longueur l d'un arc de cercle intercepté par un angle, exprimé en radians, est donné par : l=r α La mesure en radians d'un angle plein (tour compl) est de radians. Démonstrations : L'angle de mesure radians intercepte l'arc de longueur l. L'angle de mesure 1 radian intercepte l'arc de longueur R. Donc par proportionnalité, on obtient : α 1 = l R Donc : l=r α Ainsi pour l= R, on a α= ) Cercle trigonométrique Le plan est dit orienté lorsque l'on a choisi un sens positif de rotation. Dans le plan, par convention, on définit le sens positif comme l'inverse de celui des aiguilles d'une montre. Il est appelé sens trigonométrique. 1

2 Dans le plan muni d'un repère (O ; i, j) orienté, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O de rayon 1. 3) Repérage sur le cercle trigonométrique Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i, j), on considère le cercle trigonométrique c. Soit A le point tel que OA= i d la droite orientée, perpendiculaire à l'axe des abscisses, qui passe par A, munie du repère (A ; j). En «enroulant» cte droite d autour du cercle c, on obtient une correspondance entre un point N de la droite d un unique point M du cercle c. Le point A 1 de d d'abscisse dans le repère (A ; j) se rrouve ainsi en A. Sur la figure ci-contre, le point N d'abscisse 3 sur la droite orientée d, se rrouve, après «enroulement» de d sur c, en M tel que la longueur de l'arc AMest égale à la longueur AN. Propriété : Tout point de c est l'image d'une infinité de réels. Si t est l'un d'eux, les autres sont réels t+ k, où k est un entier relatif (k Z). Comme le cercle trigonométrique est de rayon 1, son périmètre est de longueur. Le point de d d'abscisse t+ se rrouve donc, après enroulement, au même endroit que le point de d d'abscisse t. Il en est de même si on ajoute à t un multiple de.

3 II. Mesure d'un angle orienté mesure principale 1) Angle orienté de vecteurs unitaires Soit u un vecteur deux points A B tels que u= AB. On appelle norme de u le réel positif ou nul, noté u, défini par u =AB. Soit u v deux vecteurs de norme 1 (vecteurs unitaires). Dans le plan orienté, muni d'un repère orthonormé (O ; i, j), on considère : les points M 1 M tels que OM 1 = u OM = v, le cercle trigonométrique c le point A tel que OA= i d la droite orientée, perpendiculaire à l'axe des abscisses, qui passe par A, muni du repère (A ; j). Soit N 1 N deux points de la droite d qui, par enroulement de cte droite autour du cercle c, se rrouvent respectivement en M 1 M. Dans le repère (A ; j), notons n 1 l'abscisse de N 1 n l'abscisse de N. Une mesure de l'angle orienté ( u ; v) est la différence n n 1. Sur la figure ci dessus, on a : ( i ; u)= 6 0= 6 ; ( i ; v)= 3 4 0= 3 4 ; ( u ; v)= = 7 1 Conventions : La notation ( u ; v) désignera l'angle orienté ou une mesure de l'angle orienté. Codage ( OM ; ON ) ( ON ; OM ) 3

4 Propriété : Si est une mesure de l'angle orienté ( u ; v), les autres mesures de ( u ; v ) sont égales à α+ k avec k un entier relatif quelconque. Soit N 1 N 1 ' deux points différents de la droite d qui se rrouvent après enroulement en M 1, N N ' deux points différents de la droite d qui se rrouvent après enroulement en M '. n n 1 n ' n 1 ' sont donc deux mesures de ( u ; v). On a donc vu que n 1 '=n 1 + k 1 avec k 1 entier relatif n '=n + k avec k entier relatif. D'où n ' n 1 '=n n 1 + (k k 1 ). Comme k k 1 est un entier relatif, les mesures n ' n 1 ' n n 1 diffèrent de k avec k entier relatif. Dans l'exemple précédent, on a : ( i ; u)= 6 0= 6 donc également ( i ; u)= + = ou encore ( i ; u)= 6 = 11 6 ) Angle orienté de vecteurs quelconques Soit u 1 v 1 deux vecteurs non nuls. Les deux vecteurs u= 1 u 1 u 1 v= 1 v 1 v 1 sont de norme 1. Une mesure de l'angle orienté ( u ; v) est égale à une mesure de l'angle orienté ( u 1 ; v 1 ). La notion d'angle des deux vecteurs u v n'est définie que lorsque ces vecteurs sont non nuls. 3) Mesure principale d'un angle orienté Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, celle qui se situe dans l'intervalle ] ; ] est appelée la mesure principale. On considère l'angle orienté ( OM ; ON ) une mesure de l'angle est ( OM ; ON )=3. On sait que, -, 5 sont également des mesures de ( OM ; ON ). La mesure principale de ( OM ; ON ) est. 4

5 4) Relation de Chasles Propriété (admise) : Soit O, M, N P quatre points du plan tels que O M, O N O P. On a la relation suivante : ( OM ; OP)+ ( OP ; ON )=( OM ; ON )+ k où k est un entier relatif quelconque. Cte propriété est la relation de Chasles. Remarques : La relation de Chasles perm : de décomposer un angle de vecteurs. de simplifier une somme d'angles de vecteurs. Soit O, M N trois points deux à deux distincts. La relation de Chasles perm d'écrire : ( OM ; ON )+ ( ON ; OM )= k D'où, en parlant de mesure principale : ( OM ; ON )= ( ON ; OM ) Soit A, B C trois points quelconques distincts deux à deux. Calculer la somme des mesures des trois angles orientés codés sur la figure. ( AC ; AB)+ ( BA ; BC )+ ( CB ; CA)=( AC ; AB)+ ( BA ; AB)+ ( AB ; BC )+ k 1 + ( CB ; BC )+ ( BC ; CA)+ k ( AC ; AB)+ ( BA ; BC )+ ( CB ; CA)=( AC ; AB)+ + ( AB ; BC)+ + ( BC ; CA)+ k 3 ( AC ; AB)+ ( BA ; BC )+ ( CB ; CA)=( AC ; AB)+ ( AB ; BC)+ ( BC ; CA)+ k 4 ( AC ; AB)+ ( BA ; BC )+ ( CB ; CA)=( AC ; BC)+ ( BC ; CA)+ k ( AC ; AB)+ ( BA ; BC )+ ( CB ; CA)=( AC ; CA)+ k ( AC ; AB)+ ( BA ; BC )+ ( CB ; CA)=+ k 5) Angle orienté angle géométrique Un angle de vecteurs ( OM ; ON ) correspond à l'angle «géométrique» MON, auquel on ajoute l'information supplémentaire de son orientation par rapport au sens positif défini dans le plan. Si est la mesure principale de l'angle ( OM ; ON ) alors α est la mesure de l'angle géométrique MON. Dans le triangle équilatéral BAC, l'angle géométrique BAC vaut 3. La mesure principale de l'angle ( AB ; AC ) vaut 3. La mesure principale de l'angle ( AC ; AB) vaut 3. 5

6 III. Cosinus sinus d'un angle 1) Cosinus sinus d'un angle orienté Définitions : Soit M l'image d'un réel sur le cercle trigonométrique c. Le cosinus de, noté cosα, est l'abscisse de M. Le sinus de, noté sin α, est l'ordonnée de M. Les coordonnées du point M, situé sur le cercle trigonométrique, sont (cosα; sin α). Pour tout réel pour tout entier relatif k : cos α+ sin α=1 1 cosα 1 1 sin α 1 cos(α+ k )=cosα sin(α+ k )=sin α 0 cosα 1 sin α 0 Valeurs particulières Démonstrations : Soit K le projé orthogonal de M sur l'axe (O ; j). Le théorème de Pythagore donne OK + KM =OM soit sin α+ cos α=1. Le cercle trigonométrique est de rayon 1 ; on a donc 1 cosα 1 1 sin α 1. Définitions : Soit u v deux vecteurs non nuls une mesure quelconque de l'angle ( u ; v ). Le cosinus de l'angle orienté ( u ; v) est le cosinus d'une de ses mesures se note cos( u ; v). Le sinus de l'angle orienté ( u ; v) est le sinus d'une de ses mesures se note sin( u; v). On notera cosα pour cos( u ; v) sin α pour sin( u; v) où est une mesure, en radians, de l'angle orienté ( u ; v). Dans le repère (O ; i, j), A est un point distinct de O, tel qu'une mesure, en radians, de l'angle ( i, OA) soit égale à. Les coordonnées de A sont (OA cos α;oasin α). 6

7 Soit M le point d'intersection de la demi-droite [OA) du cercle trigonométrique. Les coordonnées de M sont (cosα; sin α). Les coordonnées du vecteur OM sont donc (cosα ; sin α) Or OA=OA OM donc les coordonnées du vecteur OA sont (OAcosα;OAsin α), qui sont également les coordonnées du point A. ) Cosinus sinus d'angles associés cos( α)=cosα sin( α)= sin α Les angles de mesure - sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. cos(α+ )= cosα sin(α+ )= sin α Les angles de mesure + sont symétriques par rapport à l'origine. cos( α)= cosα sin( α)=sin α Les angles de mesure - sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. 7

8 cos ( α ) =sin α sin ( α ) =cosα Les angles de mesure α sont symétriques par rapport à la première bissectrice. cos ( + α ) = sin α sin ( + α ) =cosα Les angles de mesure + α α sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. En eff, on a + α= ( α ). Donc cos ( + α ) =cos ( ( α )) = cos ( α ) = sin α sin ( + α ) =sin ( ( α )) =sin ( α ) =cosα 8

9 IV. Équation trigonométrique 1) Équations cos x=cos a Propriété : Soit a un nombre réel l'équation d'inconnue x, cos x=cos a. Si cos a est différent de 1 ou de -1, les solutions de l'équation cos x=cos a sont les nombres a+ k a+ k ' où k k' sont des entiers relatifs quelconques. Si cos a=1, l'équation est cos x=1 ses solutions sont les nombres k où k est un entier relatif quelconque. Si cos a= 1, l'équation est cos x= 1 ses solutions sont les nombres + k où k est un entier relatif quelconque. Si cos a < 1 : Soit H le point de [ AA' ] d'abscisse cos a. La perpendiculaire en H à la droite (AA ') coupe le cercle trigonométrique en M M' associés aux réels a -a. Les solutions sont donc les réels a+ k a+ k où k Z. Si cos a=1, alors H est en A. Les solutions sont donc les réels 0+ k =k où k Z. Si cos a= 1, alors H est en A'. Les solutions sont donc les réels + k où k Z. ) Équations sin x=sina Propriété : Soit a un nombre réel l'équation d'inconnue x, sin x=sin a. Si sin a est différent de 1 ou de -1, les solutions de l'équation sin x=sin a sont les nombres a+ k a+ k ' où k k' sont des entiers relatifs quelconques. Si sin a=1, l'équation est sin x=1 ses solutions sont les nombres + k où k est un entier relatif quelconque. Si sin a= 1, l'équation est sin x= 1 ses solutions sont les nombres + k où k est un entier relatif quelconque. Si sin a < 1 : Soit K le point de [ BB ' ] d'ordonnée sin a. La perpendiculaire en K à la droite (BB ') coupe le cercle trigonométrique en M M' associés aux réels a a. Les solutions sont donc les réels a+ k a+ k où k Z. Si sin a=1, alors K est en B. Les solutions sont donc les réels + k où k Z. Si sin a= 1, alors K est en B'. Les solutions sont donc les réels + k où k Z. 9