Module et argument d un nombre complexe non nul.

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1 Chapitre 9 Module et argument d un nombre complexe non nul. I Module d un nombre complexe. Le plan est toujours rapporté à un repère orthonormal direct,,. Définition. Rappel: Soit = x+i.y un nombre complexe écrit sous forme algébrique. n a vu que. = x +y. Qu est ce que cette formule rappelle? Définition Soit = x + i.y un nombre complexe écrit sous forme algébrique. Le nombre. = x +y est le module du nombre complexe. y x+iy = x +y wx+iy 3 4 x5 6 Remarque Le module de est donc en fait la norme du vecteur image de. Notation: n note le module de. Avec cette notation : 89

2 90 CHAPITRE 9. MDULE ET ARGUMENT D UN NMBRE CMPLEXE NN NUL. =. = x +y Exemple Si = 3+5i, alors = 3 +5 = 34. Exercice. Déterminer le module des nombres complexes suivants : +i ; 3 i ; + i ; i ; 9 Propriétés algébriques du module. n a déjà vu que =. n en déduit que : Propriété et sont des nombres complexes. Alors :. =. ; = ; = ; n = n pour n N Preuve: Pour la première égalité :. =... =. =. = Remarque n peut, avec la même idée, en utilisant les autres propriétés algébriques du conjugué, faire les preuves des deux propriétés suivante. La dernière se fait par récurrence. Exemple Si = 3+i et = i, calculons le module de et de : = ; = n a alors :. = = 4 = Exercices sur le livre : faire les exercices n 7 à n 74 page Applications géométriques. a. La géométrie élémentaire. Tous les exercices de géométrie élémentaire par exemple utiliser le théorème de Pythagore, nature d un triangle, etc peuvent se traiter à l aide des modules de nombres complexes. En effet, Si le point A a pour affixe A et le point B a pour affixe B, alors : AB = x B x A +y B y A = AB = B A

3 II. FRME TRIGNMÉTRIQUE D UN NMBRE CMPLEXE DIFFÉRENT DE ZÉR. 9 Exercice sur le livre : faire l exercice n 89 page 9. b. Médiatrice d un segment. Rappel: Soient deux points A et B du plan. La médiatrice du segment [AB] est l ensemble des points M situés à égale distance des points A et B. Propriété M tels que Si A a pour affixe A et B a pour affixe B, la médiatrice du segment [AB] est l ensemble des points A = B c. équation d un cercle. Rappel: Soit A un point et r un réel strictement positif. Le cercle de centre A et de rayon r est l ensemble des points M tels que AM = r Propriété SiAapour affixe A, le cercle de centreaet de rayonrest l ensemble des points M tels que : A = r Exercice.. n considère le nombre complexe = 3+i. Calculer le module de.. a Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation +4 = 0. b Donner le module des solutions de cette équation. 3. Le plan est muni du repère orthonormal direct,, d unité graphique cm. n considère les nombres complexes = +i et 3 = i. n note M, M etm les points d affixes respectives, et 3. a i. Montrer que les points M,M etm 3 sont sur le cercle C de centre et de rayon. ii. Placer les points M, M et M 3 dans le repère,, en utilisant le cercle C et la forme algébrique des nombres complexes. b Soit 4 = 3+ i. Soit M 4 le point d affixe 4. i. Donner l affixe des vecteurs M M et M 3 M 4. ii. Que peut-on en déduire pour le quadrilatèrem M M 4 M 3? II Forme trigonométrique d un nombre complexe différent de éro. Les coordonnées polaires. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ; ;. Au lieu de repérer un point M du plan par son couple de coordonnées x;y, on le repère par : la longueur M ; l angle orienté Θ formé par et M. 3 y = M sinθ Mx+iy M = x+iy Θ x = M cosθ

4 9 CHAPITRE 9. MDULE ET ARGUMENT D UN NMBRE CMPLEXE NN NUL. n peut noter dans alors :M[M;Θ]. Propriété SiMx;y, alors M = x +y. Ainsi, cosθ = x x +y ; sinθ = y x +y Argument d un nombre complexe. Définition Soit un nombre complexe non nul. Soit M l image de dans le plan. Soient [r;θ] les coordonnées polaires du point M. Le nombre Θ est un argument du nombre complexe. Notation: n note arg = Θ[π]. y = y sinθ M = Θ = arg M x = cosθ Exercice 3. Faire l exercice n 55 page 88. Remarque SiM etm, on a vu que ces points sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. n en déduit que arg = arg. y M = Θ = arg M 3 y 3 4 Θ = arg x 5 6 M 3 Méthode de calcul de l argument. Avec les notations de la définition, si = x+i.y, on a = x +y. En notant arg = Θ, cosθ = x x +y = x ; sinθ = y x +y = y Exemple Soit = +i 3. n commence par calculer le module du nombre comlexe : = + 3 = +3 =.

5 II. FRME TRIGNMÉTRIQUE D UN NMBRE CMPLEXE DIFFÉRENT DE ZÉR. 93 Puis on identifie un cosinus et un sinus avec les formules précédentes : cosθ = x sinθ = y = 3 = soit Θ = π 3 [π] x = M+i 3 M = α = π 3 Remarque Comme, avec les notations précédentes,x = cosθ et y = sinθ, on obtient = cosθ+i.sinθ. Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe. Exemple Ainsi, avec l exemple précédent, = cos π 3 +isin π = 3 Exercices sur le livre : faire les exercices n 6 et n 6 page 89 ; faire l exercice n 64 page 89 ; faire l exercice n 55 page 88 ; faire l exercice n 60 page 89 ; faire l exercice n 58 page Module et argument d un inverse, d un produit, d un quotient de nombres complexes. a. L inverse. Rappel:cos Θ = cosθ ; sin Θ = sinθ.

6 94 CHAPITRE 9. MDULE ET ARGUMENT D UN NMBRE CMPLEXE NN NUL. Soit = cos Θ + i. sin Θ un nombre complexe non nul donné sous forme trigonométrique. = cosθ+i.sinθ = cosθ i.sinθ cosθ+i.sinθcosθ i.sinθ = cosθ i.sinθ cos Θ+sin Θ = cosθ i.sinθ = }{{} Le module de l inverse cos Θ }{{} L argument de l inverse +i.sin Θ }{{} L argument de l inverse Théorème Soit un nombre complexe non nul. = ; arg = arg. b. Le produit. Rappel: n possède deux formules de duplication pour les sinus et cosinus : cosθ+θ = cosθ.cosθ sinθ.sinθ ; sinθ+θ = sinθ.cosθ +cosθ.sinθ Examinons les conséquences de ces formules sur le produit de deux nombres complexes. Soit = cosθ + i.sinθ et = cosθ + i.sinθ deux nombres complexes non nuls donnés sous forme trigonométrique. = cosθ+i.sinθ cosθ +i.sinθ =. cosθ.cosθ sinθ.sinθ +i.sinθ.cosθ +cosθ.sinθ =. cos Θ+Θ +i.sin Θ+Θ }{{}}{{} }{{} Le module L argument L argument du produit du produit du produit Théorème Si et sont deux nombres complexes non nuls, = ; arg = arg+arg.

7 III. LA NTATIN EXPNENTIELLE DES NMBRES CMPLEXES DIFFÉRENTS DE ZÉR. 95 c. Le quotient. Soit et deux nombres complexes non nuls donnés sous forme trigonométrique avec 0. Comme = et arg que arg = arg arg. Théorème = Si et sont deux nombres complexes non nuls, = arg. En utilisant la formule sur le produit, on obtient = ; arg = arg arg. Tableau de synthèse : formules des arguments formules des puissances produit arg = arg+arg a n a m = a n+m inverse arg = arg a n = a n quotient arg = arg arg a n a m = an m puissance arg n = n arg a m n = a n m n note la ressemblance entre le comportement des exposants et celui des arguments. Cette remarque nous fournira une nouvelle manière de noter les nombres complexes dans le prochain paragraphe. Exercice sur le livre : exercice n 7 page 90. Exercice sur le livre : exercice n 9 page 9 pour un calcul decos π et de sin π III La notation exponentielle des nombres complexes différents de éro. Une justification de la notation exponentielle des nombres complexes. Remarque Soit un nombre complexe de module. Soit Θ son argument. sinθ M M = n peut alors noter que = cosθ + isinθ cosθ+isinθ. = Θ cosθ

8 96 CHAPITRE 9. MDULE ET ARGUMENT D UN NMBRE CMPLEXE NN NUL. Considérons la fonction f : Θ cosθ + i sinθ. n va, en utilisant les propriétés algébriques des arguments, examiner les propriétés algébriques de cette fonction. fθ fθ = cosθ +isinθ cosθ +isinθ = cosθ +Θ +isinθ +Θ = fθ +Θ. fθ = = cos Θ+isin Θ = f Θ. cosθ+isinθ En mélangeant ces deux premières propriétés, on obtient fθ fθ = fθ Θ. n n fθ = cosθ+isinθ = cosnθ+isinnθ = fnθ. n constate alors une ressemblance entre les propriétés algébriques de cette fonction et celles des puissances. Formules avec les puissances Formules avec la fonction f produit a n a m = a m+n fθ fθ = fθ +Θ inverse quotient a n = a n fθ = f Θ a m a n = fθ am n fθ = fθ Θ puissance a m n = a n m fθ n = fnθ n va considérer que cette fonction f est en fait une puissance dont l exposant est Θ. C est ce qu on va faire, en utilisant le nombre e que nous avons vu avec la fonction exponentielle. n Remarque la formule fθ = fnθ, qui correspond à porte un nom, c est la formule de Moivre. Une nouvelle notation. Notation: n note e iθ le nombre cosθ+isinθ. Remarque cosθ+isinθ = e iθ. Définition cosθ+isinθ n = cosnθ+isinnθ Un nombre complexe non nul de module r et d argument Θ peut s écrire =.e iθ puisque r.e iθ est la notation exponentielle du nombre complexe non nul de module r et d argumentθ. Remarque Si est de module, = cosθ+i.sinθ = e iθ. Exemple = +i 3 n déterminer son module : = + 3 = 4 =. n détermine un argumentθde : cosθ = 3 sinθ = donc Θ = π 3 [π] n peut alors écrire : = e iπ 3.

9 III. LA NTATIN EXPNENTIELLE DES NMBRES CMPLEXES DIFFÉRENTS DE ZÉR. 97 n possède ainsi trois notations pour un nombre complexenon nul : la notation algébrique : = x+iy ; la notation trigonométrique : = cosθ + isinθ cosθ = x x +y et sinθ = y où = la forme exponentielle : = e iθ avec donc e iθ = cosθ+isinθ. Exercices sur le livre : Faire les exercices n 79 à n 83 page 9. Faire l exercice n 4 page Les formules avec cette notation. Propriété. = r.r.e iθ+θ = r e iθ = r n = r n.e i.nθ = r.e iθ et = r.e iθ sont deux complexes donnés par leur notation exponentielle. r eiθ Θ Exercices sur le livre : faire les exercices n 84 à n 86 page 9. 4 Quelques cas particuliers à savoir. Exercice 4. Donner l écriture algébrique des nombres complexes suivant : e iπ ; e iπ ; e iπ Remarque Comme e iπ =, cette formule peut s écrire sous la forme e iπ + = 0. n retrouve dans cette formule 5 nombres célèbres, 0,,π, e et i.