BACCALAUREAT BLANC. Session Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7

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1 BACCALAUREAT BLANC Session 2014 Série : S Épreuve : Mathématiques ( candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité ) Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7 MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée Aucun échange de matériel autorisé Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6 Rendre les Annexes 1 et 2 avec la copie Terminale S non spé maths Bac Blanc avril 2014 page 1/6

2 Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats Partie A Soit un réel strictement positif. L espérance d une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre est définie par : = lim. 1. Soit et les fonctions définies sur [0; + [ par = et = Montrer que la fonction est une primitive de sur [0;+ [..De montrer que = 1 Partie B Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second. La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second. 1. Le responsable choisit au hasard un composant électronique dans son stock. On note : l évènement «le composant est défectueux»; l évènement «le composant provient du premier fournisseur»; l évènement «le composant provient du second fournisseur». a. Dessiner un arbre pondéré. b. Calculer la probabilité de l événement, puis démontrer que la probabilité de est 0,0225. c. Sachant qu un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu il provienne du premier fournisseur? Dans toute la suite de l exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à près. 2. La durée de vie, exprimée en années, de l un de ces composants est une variable aléatoire notée qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c est-à-dire une loi exponentielle de paramètre, avec un réel strictement positif. a. Déterminer sachant que > 5 = 0,325. Pour les questions suivantes, on prendra =,. b. Quelle est la probabilité qu un composant dure moins de 8 ans? plus de 8 ans? c. Quelle est la probabilité qu un composant dure plus de 8 ans sachant qu il a déjà duré plus de 3 ans? d. Calculer la durée de vie moyenne d un composant. Terminale S non spé maths Bac Blanc avril 2014 page 2/6

3 Exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats Les parties B et C sont indépendantes. On note R l ensemble des nombres réels et on considère la fonction définie sur R par : = +1 On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé ;,. Partie A : étude de la fonction 1. Déterminer la limite de en. Que peut-on en déduire pour la courbe? 2. Déterminer la limite de en On admet que est dérivable sur R, et on note sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel on a = Étudier les variations de sur R et dresser son tableau de variation sur R. Partie B : recherche d une tangente particulière Soit un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s il existe une tangente à la courbe au point d abscisse, qui passe par l origine du repère. 1. On appelle la tangente à au point d abscisse. Donner une équation de. 2. Démontrer qu une tangente à en un point d abscisse strictement positive passe par l origine du repère si et seulement si vérifie l égalité : 1 =0. 3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l évaluation. Démontrer que 1 est l unique solution sur l intervalle ]0; + [ de l équation 1 =0 4. Donner alors une équation de la tangente recherchée. Partie C : calcul d aire Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe de la fonction dans un repère orthonormé ;,. 1. Construire sur ce graphique la droite d équation = 2. On admet que la courbe est au-dessus de la droite. Hachurer sur l Annexe 1 le domaine D limité par la courbe, la droite, la droite d équation =1 et l axe des ordonnées. 2. On admet que la fonction : 1 soit une primitive de h: sur R. On pose =. Montrer que = 1 3. En déduire la valeur exacte (en unités d aire) de l aire du domaine. Terminale S non spé maths Bac Blanc avril 2014 page 3/6

4 Exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats On considère une droite munie d un repère ; Soit la suite de points de la droite ainsi définie : est le point ; est le point d abscisse 1 ; pour tout entier naturel, le point est le milieu du segment [ ] Partie A On considère l algorithme suivant : Entrée : Saisir Initialisation : Affecter à la valeur 0 Traitement : Sorties : Affecter à la valeur 0 Affecter à la valeur 1 Tant que < Fin Tant Que Afficher Afficher Affecter à la valeur + 1 Affecter a la valeur + 2 Affecter à la valeur Affecter à la valeur On exécute cet algorithme en saisissant =2. Compléter le tableau donné en Annexe 2 donnant l état des variables au cours de l exécution de l algorithme. Partie B 1. a. Placer sur un dessin la droite, les points,,,, et. On prendra 10 cm comme unité graphique. b. Pour tout entier naturel, on note l abscisse du point. Calculer,, et... Pour tout entier naturel, justifier l e galite = + 2. En de duire par re currence,que pour tout entier naturel, = Soit la suite de finie,pour tout entier naturel, par = 2 3 De montrer que est une suite ge ome trique de raison 1 2.De terminer la limite de la suite,puis celle de la suite. Terminale S non spé maths Bac Blanc avril 2014 page 4/6

5 Exercice 4 ( 5 points ) pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ;, On réalisera sur une feuille à petits carreaux une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. On considère les points, et du plan complexe d affixes respectives 1. Placer les points, et sur le graphique...montrer que =. = 1+2 ; = 2 ; = 3+. b. En déduire la nature du triangle. Justifier avec précision..on conside re l application qui a tout point d affixe avec,associe le point d affixe de finie par a. Calculer l affixe du point, image de par et placer le point sur la figure. b. Déterminer l ensemble des points d affixe avec, tels que = 1. c. Justifier que contient les points et. Tracer. 4. Soit et les points d affixes respectives 2 + i et 1 3i. On note le milieu de [ ]. Démontrer que la médiane issue de du triangle est la hauteur issue de du triangle. Terminale S non spé maths Bac Blanc avril 2014 page 5/6

6 Nom, Prénom : Exercice 2 Annexe 1 Courbe représentative de la fonction Exercice 3 Annexe Terminale S non spé maths Bac Blanc avril 2014 page 6/6