TRIGONOMÉTRIE ET ANGLES ORIENTÉS

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1 TRIGONOMÉTRIE ET ANGLES ORIENTÉS Première S - Chapitre 5 Table des matières I Le cercle trigonométrique et le radian 2 I 1 Le cercle trigonométrique I 2 Le radian II Cosinus et sinus d un réel II 1 Cosinus, sinus et cercle trigonométrique II 2 s II Valeurs particulières à connaître II 4 Formules de correspondances III Angles orientés 5 III III 2 s III 2 a Vecteurs colinéaires et angles orientés III 2 b Relation de Chasles III 2 c Conséquences de la relation de Chasles III Mesure principale d un angle IV Résolution d équations trigonométriques 7 N. Peyrat Lycée Saint-Charles 1/ 7

2 Dans tout le chapitre, le plan est muni d un repère orthonormé (O ; i, j). I Le cercle trigonométrique et le radian I 1 Le cercle trigonométrique On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1 sur lequel on choisit un sens de parcours, appelé le sens direct. Enroulement de la droite des réels : Soit d la tangente à C au point I(1 ; 0). Alors tout point N de d est repéré par un unique réel x. (d peut être assimilé à un axe gradué) En enroulant la droite d sur le cercle C, on associe à tout réel x un unique point M(x) du cercle C et on dit que x est une mesure de l angle IOM. Remarque : La longueur d un cercle de rayon R est donnée par la formule 2πR. Or le cercle trigonométrique a pour rayon R = 1, donc sa longueur est de 2π. Son demi-cercle a donc pour longueur π et son quart de cercle a pour longueur π 2. Tracer un cercle trigonométrique et placer les points I(0), J( π 2 ), K(π), L(π 2 ), M(2π), N( π 2 ), P ( π 4 ). Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, les points M(x) et M (x + k 2π) du cercle trigonométrique sont confondus. Dans l exemple précédent, I et M sont confondus, et N et L sont confondus. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 2/ 7

3 I 2 Le radian Le radian est l unité de mesure des angles tel que la mesure en radian d un angle est égale à la longueur de l arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 1. Faire un cercle trigo et placer un point M(x) tel que IOM = α. L angle IOM de mesure α degrés intercepte l arc ĪM de longueur x. On dit alors que l angle IOM mesure x radians. Remarques : Un angle plat mesure π radians. Un angle droit mesure π 2 radians. Un angle nul mesure 0 radians. (admise) Les mesures en degré et en radian d un angle sont proportionnelles. degré π π π π radian 0 π II Cosinus et sinus d un réel II 1 Cosinus, sinus et cercle trigonométrique Soit C le cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé direct (O ; i, j). Soit x un réel et M le point de C tel que ( i, OM) = x radians. Le point M a alors pour coordonnées : M(cos x ; sin x) Autrement dit : OM = cos x i + sin x j. Démonstration : Trigonométrie dans un triangle rectangle. N. Peyrat Lycée Saint-Charles / 7

4 II 2 s Pour tout réel x, on a : 1 cos x 1 ; 1 sin x 1 ; cos 2 x + sin 2 x = 1 Démonstration : Faire une démonstration rapide et à l aide du triangle rectangle. (admise) x R, sin( x) = sin x. x R, cos( x) = cos x. x R, cos(x + k 2π) = cos(x) et sin(x + k 2π) = sin(x). II Valeurs particulières à connaître II 4 Formules de correspondances (admise) Pour tout réel x : π π sin 2 x = cos x ; cos 2 x = sin x π π sin 2 + x = cos x ; cos 2 + x = sin x sin(π x) = sin x ; cos(π x) = cos x sin(π + x) = cos x ; cos(π + x) = sin x N. Peyrat Lycée Saint-Charles 4/ 7

5 III Angles orientés III 1 Soit C un cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé direct (O ; i, j). Pour tous points M et N de C, on appelle mesure de l angle orienté ( OM, ON) la famille de nombres sous la forme x + k 2π (k Z), où x est la longueur de l arc MN. Faire une figure. III 2 III 2 a s Vecteurs colinéaires et angles orientés u et v sont colinéaires et de même sens ( u, v) = 0 + k 2π, k Z. u et v sont colinéaires et de sens contraire ( u, v) = π + k 2π, k Z. u et v sont colinéaires ( u, v) = 0 + k π, k Z. III 2 b Relation de Chasles Pour tous vecteurs u, v et w non nuls du plan, on a : ( u, w) = ( u, v) + ( v, w) III 2 c Conséquences de la relation de Chasles Pour tous vecteurs u et v non nuls : 1) ( u, v) = ( v, u). 2) ( u, v) = ( u, v) + π. ) ( u, v) = ( u, v) + π. 4) ( u, v) = ( u, v). Faire une figure en-dessous de chaque propriété. N. Peyrat Lycée Saint-Charles 5/ 7

6 Démonstration : 1) ( u, u) = 0 ( u, v) + ( v, u) = 0 ( u, v) = ( v, u). 2) ( u, v) = ( u, v) + ( v, v). Or v et v sont opposés, donc colinéaires de sens contraire, donc ( v, v) = π. Donc ( u, v) = ( u, v) + π. ) ( u, v) = ( u, u) + ( u, v) = π + ( u, v). 4) ( u, v) = ( u, u) + ( u, v) + ( v, v) = π + ( u, v) + π = ( u, v) + 2π. C est-à-dire ( u, v) = ( u, v). Remarque importante : ( u, u) a pour mesure π radian, mais aussi π radian. Les formules 2) et ) peuvent donc s écrire : 2) ( u, v) = ( u, v) π. ) ( u, v) = ( u, v) π. En pratique, il pourra être utile de faire apparaitre un nombre identique de fois +π et π pour procéder à une simplification immédiate. Par exemple, la démonstration de la propriété 4) peut ainsi s écrire : ( u, v) = ( u, u) + ( u, v) + ( v, v) = π + ( u, v) π = ( u, v). III Mesure principale d un angle Un angle possède en radian une infinité de mesures. En effet, si x est une mesure d angle en radian, alors x + 2π, x 4π,..., x + k 2π (k Z) en sont d autres. La mesure principale d un angle est son unique mesure en radian appartenant à l intervalle ] π ; π]. Exemples : Déterminer les mesures principales de α = 19π et β = 59π 8. 1ère méthode : par intuition, ou en testant plusieurs fois. 19π 19π + 6π = + 18π = π ] π ; π]. Donc π est la mesure principale de α. 2ème méthode : en décomposant la mesure pour faire apparaitre le «bon» multiple de 2π. α = 19π = 18π π = 6π π = 2π π. Or π ] π ; π] donc π est la mesure principale de α. ème méthode : plus «lourde» en calculs mais fonctionne à tous les coups sans chercher. On cherche k Z tel que α + k 2π ] π ; π], c est-à-dire : π < 19π + k 2π π 1 < k 1 N. Peyrat Lycée Saint-Charles 6/ 7

7 < 2k < 2k 8 11 < k. Or , 67 et, 67 et k Z. Donc k =. Il faut donc ajouter 2π à α. Ainsi, 19π + 2π = π ] π ; π]. Donc π est la mesure principale de α. Exemples : Faire les trois méthodes pour β. On obtient 5π 8. IV Résolution d équations trigonométriques (admise) Soit α un réel. cos x = cos α x = α + k 2π, k Z ou x = α + k 2π, k Z Soit α un réel. sin x = sin α x = α + k 2π, k Z ou x = π α + k 2π, k Z N. Peyrat Lycée Saint-Charles 7/ 7